{"id":48803,"date":"2026-07-09T10:30:13","date_gmt":"2026-07-09T03:30:13","guid":{"rendered":"https:\/\/mathed.bru.ac.th\/?p=48803"},"modified":"2026-07-09T10:30:13","modified_gmt":"2026-07-09T03:30:13","slug":"9-%e0%b8%81%e0%b8%a3%e0%b8%81%e0%b8%8e%e0%b8%b2%e0%b8%84%e0%b8%a1-1953-%e0%b8%ad%e0%b9%87%e0%b8%ad%e0%b8%87%e0%b8%a3%e0%b8%b5-%e0%b8%9b%e0%b8%b2%e0%b9%80%e0%b8%94-%e0%b9%80%e0%b8%a1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathed.bru.ac.th\/en\/2026\/07\/09\/9-%e0%b8%81%e0%b8%a3%e0%b8%81%e0%b8%8e%e0%b8%b2%e0%b8%84%e0%b8%a1-1953-%e0%b8%ad%e0%b9%87%e0%b8%ad%e0%b8%87%e0%b8%a3%e0%b8%b5-%e0%b8%9b%e0%b8%b2%e0%b9%80%e0%b8%94-%e0%b9%80%e0%b8%a1\/","title":{"rendered":"July 9, 1953 \u2014 Henri Pade: When the Taylor series isn't enough"},"content":{"rendered":"<hr>\n<h1>9 \u0e01\u0e23\u0e01\u0e0e\u0e32\u0e04\u0e21 1953 \u2014 \u0e2d\u0e47\u0e2d\u0e07\u0e23\u0e35 \u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14: \u0e40\u0e21\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e2d\u0e19\u0e38\u0e01\u0e23\u0e21\u0e40\u0e17\u0e22\u0e4c\u0e40\u0e25\u0e2d\u0e23\u0e4c\u0e44\u0e21\u0e48\u0e1e\u0e2d<\/h1>\n<blockquote><p><strong>\u0e27\u0e31\u0e19\u0e19\u0e35\u0e49\u0e43\u0e19\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e27\u0e31\u0e15\u0e34\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c<\/strong> | \u0e2d\u0e47\u0e2d\u0e07\u0e23\u0e35 \u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14 \u0e16\u0e36\u0e07\u0e41\u0e01\u0e48\u0e01\u0e23\u0e23\u0e21 9 \u0e01\u0e23\u0e01\u0e0e\u0e32\u0e04\u0e21 \u0e04.\u0e28. 1953<\/p><\/blockquote>\n<hr>\n<h2>\u0e1a\u0e17\u0e19\u0e33: \u0e08\u0e38\u0e14\u0e2d\u0e48\u0e2d\u0e19\u0e17\u0e35\u0e48\u0e17\u0e38\u0e01\u0e04\u0e19\u0e21\u0e2d\u0e07\u0e02\u0e49\u0e32\u0e21<\/h2>\n<p>\u0e2d\u0e19\u0e38\u0e01\u0e23\u0e21\u0e40\u0e17\u0e22\u0e4c\u0e40\u0e25\u0e2d\u0e23\u0e4c\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e40\u0e04\u0e23\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e07\u0e21\u0e37\u0e2d\u0e17\u0e35\u0e48\u0e19\u0e31\u0e01\u0e28\u0e36\u0e01\u0e29\u0e32\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e23\u0e31\u0e01\u0e17\u0e35\u0e48\u0e2a\u0e38\u0e14<\/p>\n<p>$$ \\frac{1}{1+x} = 1 &#8211; x + x^2 &#8211; x^3 + x^4 &#8211; \\cdots $$<\/p>\n<p>\u0e41\u0e15\u0e48\u0e25\u0e2d\u0e07\u0e41\u0e17\u0e19 $x = 2$ \u0e14\u0e39\u0e2a\u0e34 \u0e14\u0e49\u0e32\u0e19\u0e0b\u0e49\u0e32\u0e22\u0e44\u0e14\u0e49 $\\tfrac13$ \u0e2a\u0e48\u0e27\u0e19\u0e14\u0e49\u0e32\u0e19\u0e02\u0e27\u0e32\u0e23\u0e30\u0e40\u0e1a\u0e34\u0e14\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e2d\u0e19\u0e31\u0e19\u0e15\u0e4c \u0e40\u0e1e\u0e23\u0e32\u0e30\u0e23\u0e31\u0e28\u0e21\u0e35\u0e01\u0e32\u0e23\u0e25\u0e39\u0e48\u0e40\u0e02\u0e49\u0e32\u0e04\u0e37\u0e2d $|x| &lt; 1$<\/p>\n<p><strong>\u0e1e\u0e2b\u0e38\u0e19\u0e32\u0e21\u0e44\u0e21\u0e48\u0e21\u0e35\u0e27\u0e31\u0e19\u0e40\u0e25\u0e35\u0e22\u0e19\u0e41\u0e1a\u0e1a\u0e40\u0e2a\u0e49\u0e19\u0e01\u0e33\u0e01\u0e31\u0e1a\u0e44\u0e14\u0e49<\/strong> \u0e1e\u0e2b\u0e38\u0e19\u0e32\u0e21\u0e14\u0e35\u0e01\u0e23\u0e35 $n$ \u0e21\u0e35\u0e04\u0e48\u0e32\u0e25\u0e39\u0e48\u0e2d\u0e2d\u0e01\u0e2a\u0e39\u0e48 $\\pm\\infty$ \u0e40\u0e2a\u0e21\u0e2d\u0e40\u0e21\u0e37\u0e48\u0e2d $x \\to \\pm\\infty$ \u0e43\u0e19\u0e02\u0e13\u0e30\u0e17\u0e35\u0e48\u0e1f\u0e31\u0e07\u0e01\u0e4c\u0e0a\u0e31\u0e19\u0e08\u0e23\u0e34\u0e07\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e21\u0e32\u0e01\u0e21\u0e35\u0e40\u0e2a\u0e49\u0e19\u0e01\u0e33\u0e01\u0e31\u0e1a \u0e21\u0e35\u0e02\u0e31\u0e49\u0e27 (pole) \u0e21\u0e35\u0e1e\u0e24\u0e15\u0e34\u0e01\u0e23\u0e23\u0e21\u0e17\u0e35\u0e48\u0e1e\u0e2b\u0e38\u0e19\u0e32\u0e21\u0e15\u0e32\u0e21\u0e44\u0e21\u0e48\u0e17\u0e31\u0e19<\/p>\n<p><strong>\u0e17\u0e32\u0e07\u0e2d\u0e2d\u0e01<\/strong>: \u0e2d\u0e22\u0e48\u0e32\u0e43\u0e0a\u0e49\u0e1e\u0e2b\u0e38\u0e19\u0e32\u0e21 \u2014 \u0e43\u0e0a\u0e49 <strong>\u0e2d\u0e31\u0e15\u0e23\u0e32\u0e2a\u0e48\u0e27\u0e19\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e1e\u0e2b\u0e38\u0e19\u0e32\u0e21<\/strong><\/p>\n<p>\u0e19\u0e31\u0e48\u0e19\u0e04\u0e37\u0e2d\u0e2b\u0e31\u0e27\u0e43\u0e08\u0e02\u0e2d\u0e07 <strong>\u0e01\u0e32\u0e23\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e21\u0e32\u0e13\u0e04\u0e48\u0e32\u0e41\u0e1a\u0e1a\u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14 (Pad\u00e9 approximant)<\/strong> \u0e1c\u0e25\u0e07\u0e32\u0e19\u0e02\u0e2d\u0e07 <strong>\u0e2d\u0e47\u0e2d\u0e07\u0e23\u0e35 \u0e40\u0e2d\u0e2d\u0e41\u0e0c\u0e19 \u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14 (Henri Eug\u00e8ne Pad\u00e9, 1863\u20131953)<\/strong> \u0e1c\u0e39\u0e49\u0e08\u0e32\u0e01\u0e44\u0e1b\u0e43\u0e19\u0e27\u0e31\u0e19\u0e19\u0e35\u0e49<\/p>\n<hr>\n<h2>1. \u0e19\u0e34\u0e22\u0e32\u0e21<\/h2>\n<blockquote><p><strong>\u0e19\u0e34\u0e22\u0e32\u0e21 (Pad\u00e9 approximant)<\/strong> \u0e43\u0e2b\u0e49 $f(x)$ \u0e21\u0e35\u0e2d\u0e19\u0e38\u0e01\u0e23\u0e21\u0e40\u0e17\u0e22\u0e4c\u0e40\u0e25\u0e2d\u0e23\u0e4c\u0e23\u0e2d\u0e1a $x=0$ \u0e01\u0e32\u0e23\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e21\u0e32\u0e13\u0e04\u0e48\u0e32\u0e41\u0e1a\u0e1a\u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14\u0e2d\u0e31\u0e19\u0e14\u0e31\u0e1a $[m\/n]$ \u0e04\u0e37\u0e2d\u0e1f\u0e31\u0e07\u0e01\u0e4c\u0e0a\u0e31\u0e19\u0e15\u0e23\u0e23\u0e01\u0e22\u0e30 $$ [m\/n]_f(x) = \\frac{P_m(x)}{Q_n(x)} = \\frac{p_0 + p_1 x + \\cdots + p_m x^m}{1 + q_1 x + \\cdots + q_n x^n} $$ \u0e17\u0e35\u0e48\u0e17\u0e33\u0e43\u0e2b\u0e49\u0e2d\u0e19\u0e38\u0e01\u0e23\u0e21\u0e40\u0e17\u0e22\u0e4c\u0e40\u0e25\u0e2d\u0e23\u0e4c\u0e02\u0e2d\u0e07 $[m\/n]_f$ \u0e15\u0e23\u0e07\u0e01\u0e31\u0e1a\u0e02\u0e2d\u0e07 $f$ <strong>\u0e08\u0e19\u0e16\u0e36\u0e07\u0e1e\u0e08\u0e19\u0e4c $x^{m+n}$<\/strong><\/p><\/blockquote>\n<p>\u0e21\u0e35\u0e2a\u0e31\u0e21\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e2a\u0e34\u0e17\u0e18\u0e34\u0e4c\u0e17\u0e35\u0e48\u0e44\u0e21\u0e48\u0e17\u0e23\u0e32\u0e1a\u0e04\u0e48\u0e32\u0e17\u0e31\u0e49\u0e07\u0e2b\u0e21\u0e14 $m + n + 1$ \u0e15\u0e31\u0e27 \u0e41\u0e25\u0e30\u0e40\u0e23\u0e32\u0e01\u0e33\u0e2b\u0e19\u0e14\u0e40\u0e07\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e19\u0e44\u0e02 $m+n+1$ \u0e40\u0e07\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e19\u0e44\u0e02 \u2014 \u0e1e\u0e2d\u0e14\u0e35\u0e40\u0e1b\u0e4a\u0e30<\/p>\n<p><strong>\u0e40\u0e07\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e19\u0e44\u0e02\u0e43\u0e19\u0e17\u0e32\u0e07\u0e1b\u0e0f\u0e34\u0e1a\u0e31\u0e15\u0e34<\/strong>: \u0e40\u0e02\u0e35\u0e22\u0e19 $f(x)Q_n(x) &#8211; P_m(x) = O(x^{m+n+1})$ \u0e41\u0e25\u0e49\u0e27\u0e40\u0e17\u0e35\u0e22\u0e1a\u0e2a\u0e31\u0e21\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e2a\u0e34\u0e17\u0e18\u0e34\u0e4c \u0e44\u0e14\u0e49\u0e23\u0e30\u0e1a\u0e1a\u0e2a\u0e21\u0e01\u0e32\u0e23\u0e40\u0e0a\u0e34\u0e07\u0e40\u0e2a\u0e49\u0e19<\/p>\n<hr>\n<h2>2. \u0e15\u0e31\u0e27\u0e2d\u0e22\u0e48\u0e32\u0e07\u0e17\u0e35\u0e48\u0e17\u0e33\u0e43\u0e2b\u0e49\u0e40\u0e2b\u0e47\u0e19\u0e20\u0e32\u0e1e\u0e17\u0e31\u0e19\u0e17\u0e35<\/h2>\n<p><strong>\u0e15\u0e31\u0e27\u0e2d\u0e22\u0e48\u0e32\u0e07\u0e17\u0e35\u0e48 1: $e^x$ \u0e14\u0e49\u0e27\u0e22 $[1\/1]$<\/strong><\/p>\n<p>\u0e08\u0e32\u0e01 $e^x = 1 + x + \\tfrac{x^2}{2} + \\tfrac{x^3}{6} + \\cdots$ \u0e43\u0e2b\u0e49<\/p>\n<p>$$ [1\/1] = \\frac{p_0 + p_1 x}{1 + q_1 x} $$<\/p>\n<p>\u0e08\u0e31\u0e1a\u0e04\u0e39\u0e48\u0e16\u0e36\u0e07 $x^2$ \u0e44\u0e14\u0e49 $p_0 = 1$, $p_1 = \\tfrac12$, $q_1 = -\\tfrac12$ \u0e14\u0e31\u0e07\u0e19\u0e31\u0e49\u0e19<\/p>\n<p>$$ e^x \\approx \\frac{1 + \\frac{x}{2}}{1 &#8211; \\frac{x}{2}} = \\frac{2+x}{2-x} $$<\/p>\n<p>\u0e17\u0e35\u0e48 $x = 1$: \u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14\u0e43\u0e2b\u0e49 $3 \\approx 2.718$ \u0e2a\u0e48\u0e27\u0e19\u0e40\u0e17\u0e22\u0e4c\u0e40\u0e25\u0e2d\u0e23\u0e4c\u0e14\u0e35\u0e01\u0e23\u0e35 2 \u0e43\u0e2b\u0e49 $2.5$ \u2014 <strong>\u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14\u0e0a\u0e19\u0e30<\/strong> \u0e17\u0e31\u0e49\u0e07\u0e17\u0e35\u0e48\u0e43\u0e0a\u0e49\u0e02\u0e49\u0e2d\u0e21\u0e39\u0e25\u0e40\u0e17\u0e48\u0e32\u0e01\u0e31\u0e19<\/p>\n<p><strong>\u0e15\u0e31\u0e27\u0e2d\u0e22\u0e48\u0e32\u0e07\u0e17\u0e35\u0e48 2: \u0e1e\u0e25\u0e31\u0e07\u0e17\u0e35\u0e48\u0e41\u0e17\u0e49\u0e08\u0e23\u0e34\u0e07<\/strong><\/p>\n<p>\u0e25\u0e2d\u0e07\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e21\u0e32\u0e13 $f(x) = \\dfrac{1}{1+x}$ \u0e14\u0e49\u0e27\u0e22 $[0\/1]$<\/p>\n<p>$$ [0\/1] = \\frac{1}{1+x} = f(x) $$<\/p>\n<p><strong>\u0e15\u0e23\u0e07\u0e40\u0e1b\u0e4a\u0e30<\/strong> \u2014 \u0e43\u0e19\u0e02\u0e13\u0e30\u0e17\u0e35\u0e48\u0e2d\u0e19\u0e38\u0e01\u0e23\u0e21\u0e40\u0e17\u0e22\u0e4c\u0e40\u0e25\u0e2d\u0e23\u0e4c\u0e15\u0e49\u0e2d\u0e07\u0e43\u0e0a\u0e49\u0e1e\u0e08\u0e19\u0e4c\u0e2d\u0e19\u0e31\u0e19\u0e15\u0e4c\u0e41\u0e25\u0e30\u0e22\u0e31\u0e07\u0e25\u0e39\u0e48\u0e2d\u0e2d\u0e01\u0e17\u0e35\u0e48 $x=2$ \u0e2d\u0e22\u0e39\u0e48\u0e14\u0e35<\/p>\n<p>\u0e19\u0e35\u0e48\u0e04\u0e37\u0e2d\u0e04\u0e27\u0e32\u0e21\u0e21\u0e2b\u0e31\u0e28\u0e08\u0e23\u0e23\u0e22\u0e4c: <strong>\u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14\u0e08\u0e31\u0e1a &#8220;\u0e02\u0e31\u0e49\u0e27&#8221; \u0e02\u0e2d\u0e07\u0e1f\u0e31\u0e07\u0e01\u0e4c\u0e0a\u0e31\u0e19\u0e44\u0e14\u0e49 \u0e43\u0e19\u0e02\u0e13\u0e30\u0e17\u0e35\u0e48\u0e40\u0e17\u0e22\u0e4c\u0e40\u0e25\u0e2d\u0e23\u0e4c\u0e17\u0e33\u0e44\u0e21\u0e48\u0e44\u0e14\u0e49<\/strong><\/p>\n<hr>\n<h2>3. \u0e15\u0e32\u0e23\u0e32\u0e07\u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14 (Pad\u00e9 table)<\/h2>\n<p>\u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14\u0e08\u0e31\u0e14\u0e40\u0e23\u0e35\u0e22\u0e07\u0e01\u0e32\u0e23\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e21\u0e32\u0e13\u0e04\u0e48\u0e32\u0e17\u0e38\u0e01\u0e2d\u0e31\u0e19\u0e14\u0e31\u0e1a $[m\/n]$ \u0e25\u0e07\u0e43\u0e19 <strong>\u0e15\u0e32\u0e23\u0e32\u0e07\u0e2a\u0e2d\u0e07\u0e21\u0e34\u0e15\u0e34<\/strong> (\u0e41\u0e16\u0e27 $m$ \u0e04\u0e2d\u0e25\u0e31\u0e21\u0e19\u0e4c $n$)<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>&nbsp;<\/th>\n<th>$n=0$<\/th>\n<th>$n=1$<\/th>\n<th>$n=2$<\/th>\n<th>$\\cdots$<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>$m=0$<\/td>\n<td>$[0\/0]$<\/td>\n<td>$[0\/1]$<\/td>\n<td>$[0\/2]$<\/td>\n<td>&nbsp;<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>$m=1$<\/td>\n<td>$[1\/0]$<\/td>\n<td>$[1\/1]$<\/td>\n<td>$[1\/2]$<\/td>\n<td>&nbsp;<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>$m=2$<\/td>\n<td>$[2\/0]$<\/td>\n<td>$[2\/1]$<\/td>\n<td>$[2\/2]$<\/td>\n<td>&nbsp;<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<ul>\n<li><strong>\u0e04\u0e2d\u0e25\u0e31\u0e21\u0e19\u0e4c\u0e41\u0e23\u0e01 ($n=0$)<\/strong> \u0e04\u0e37\u0e2d\u0e1c\u0e25\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e22\u0e48\u0e2d\u0e22\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e2d\u0e19\u0e38\u0e01\u0e23\u0e21\u0e40\u0e17\u0e22\u0e4c\u0e40\u0e25\u0e2d\u0e23\u0e4c<\/li>\n<li><strong>\u0e41\u0e19\u0e27\u0e17\u0e41\u0e22\u0e07<\/strong> $[n\/n]$ \u0e21\u0e31\u0e01\u0e43\u0e2b\u0e49\u0e04\u0e27\u0e32\u0e21\u0e41\u0e21\u0e48\u0e19\u0e22\u0e33\u0e2a\u0e39\u0e07\u0e2a\u0e38\u0e14<\/li>\n<li><strong>\u0e01\u0e32\u0e23\u0e40\u0e14\u0e34\u0e19\u0e15\u0e32\u0e21\u0e41\u0e19\u0e27\u0e17\u0e41\u0e22\u0e07\u0e1a\u0e31\u0e19\u0e44\u0e14<\/strong> \u0e2a\u0e2d\u0e14\u0e04\u0e25\u0e49\u0e2d\u0e07\u0e01\u0e31\u0e1a <strong>\u0e01\u0e32\u0e23\u0e01\u0e23\u0e30\u0e08\u0e32\u0e22\u0e40\u0e28\u0e29\u0e2a\u0e48\u0e27\u0e19\u0e15\u0e48\u0e2d\u0e40\u0e19\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e07<\/strong> \u0e02\u0e2d\u0e07\u0e1f\u0e31\u0e07\u0e01\u0e4c\u0e0a\u0e31\u0e19<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u0e43\u0e19\u0e27\u0e34\u0e17\u0e22\u0e32\u0e19\u0e34\u0e1e\u0e19\u0e18\u0e4c\u0e1b\u0e35 1892 (\u0e20\u0e32\u0e22\u0e43\u0e15\u0e49\u0e01\u0e32\u0e23\u0e04\u0e27\u0e1a\u0e04\u0e38\u0e21\u0e02\u0e2d\u0e07 <strong>Charles Hermite<\/strong>) \u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14\u0e1e\u0e34\u0e2a\u0e39\u0e08\u0e19\u0e4c\u0e04\u0e27\u0e32\u0e21\u0e2a\u0e31\u0e21\u0e1e\u0e31\u0e19\u0e18\u0e4c\u0e40\u0e0a\u0e34\u0e07\u0e42\u0e04\u0e23\u0e07\u0e2a\u0e23\u0e49\u0e32\u0e07\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e15\u0e32\u0e23\u0e32\u0e07\u0e19\u0e35\u0e49 \u0e41\u0e25\u0e30\u0e41\u0e2a\u0e14\u0e07\u0e27\u0e48\u0e32 \u2014 \u0e43\u0e19\u0e04\u0e27\u0e32\u0e21\u0e2b\u0e21\u0e32\u0e22\u0e17\u0e35\u0e48\u0e19\u0e34\u0e22\u0e32\u0e21\u0e2d\u0e22\u0e48\u0e32\u0e07\u0e40\u0e2b\u0e21\u0e32\u0e30\u0e2a\u0e21 \u2014 <strong>\u0e01\u0e32\u0e23\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e21\u0e32\u0e13\u0e04\u0e48\u0e32\u0e41\u0e1a\u0e1a\u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14\u0e04\u0e37\u0e2d\u0e01\u0e32\u0e23\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e21\u0e32\u0e13\u0e17\u0e35\u0e48\u0e14\u0e35\u0e17\u0e35\u0e48\u0e2a\u0e38\u0e14\u0e43\u0e19\u0e1a\u0e23\u0e23\u0e14\u0e32\u0e1f\u0e31\u0e07\u0e01\u0e4c\u0e0a\u0e31\u0e19\u0e15\u0e23\u0e23\u0e01\u0e22\u0e30\u0e17\u0e31\u0e49\u0e07\u0e2b\u0e21\u0e14<\/strong><\/p>\n<hr>\n<h2>4. \u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14\u0e44\u0e21\u0e48\u0e43\u0e0a\u0e48\u0e04\u0e19\u0e41\u0e23\u0e01 \u0e41\u0e15\u0e48\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e04\u0e19\u0e41\u0e23\u0e01\u0e17\u0e35\u0e48\u0e08\u0e31\u0e14\u0e23\u0e30\u0e1a\u0e1a<\/h2>\n<p>\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e27\u0e31\u0e15\u0e34\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e15\u0e23\u0e07\u0e19\u0e35\u0e49\u0e19\u0e48\u0e32\u0e2a\u0e19\u0e43\u0e08\u0e21\u0e32\u0e01\u0e2a\u0e33\u0e2b\u0e23\u0e31\u0e1a\u0e01\u0e32\u0e23\u0e2a\u0e2d\u0e19\u0e40\u0e23\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e07 <em>\u0e04\u0e27\u0e32\u0e21\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e40\u0e08\u0e49\u0e32\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e04\u0e27\u0e32\u0e21\u0e23\u0e39\u0e49<\/em><\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u0e1b\u0e35<\/th>\n<th>\u0e1a\u0e38\u0e04\u0e04\u0e25<\/th>\n<th>\u0e2a\u0e34\u0e48\u0e07\u0e17\u0e35\u0e48\u0e17\u0e33<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>1730<\/td>\n<td>Daniel Bernoulli, James Stirling<\/td>\n<td>\u0e43\u0e0a\u0e49\u0e01\u0e32\u0e23\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e21\u0e32\u0e13\u0e41\u0e1a\u0e1a\u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14\u0e42\u0e14\u0e22\u0e44\u0e21\u0e48\u0e23\u0e39\u0e49\u0e15\u0e31\u0e27<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>~1750<\/td>\n<td>Leonhard Euler<\/td>\n<td>\u0e43\u0e0a\u0e49\u0e2b\u0e32\u0e1c\u0e25\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e2d\u0e19\u0e38\u0e01\u0e23\u0e21<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>1758<\/td>\n<td>Johann Lambert<\/td>\n<td>\u0e1e\u0e1a\u0e15\u0e31\u0e27\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e21\u0e32\u0e13\u0e17\u0e35\u0e48\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14 \u0e41\u0e15\u0e48\u0e44\u0e21\u0e48\u0e2a\u0e23\u0e49\u0e32\u0e07\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e17\u0e31\u0e48\u0e27\u0e44\u0e1b<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>1776<\/td>\n<td>Joseph-Louis Lagrange<\/td>\n<td>\u0e40\u0e0a\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e21\u0e42\u0e22\u0e07\u0e01\u0e31\u0e1a\u0e40\u0e28\u0e29\u0e2a\u0e48\u0e27\u0e19\u0e15\u0e48\u0e2d\u0e40\u0e19\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e07<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>1873<\/td>\n<td>Charles Hermite<\/td>\n<td>\u0e43\u0e0a\u0e49\u0e1e\u0e34\u0e2a\u0e39\u0e08\u0e19\u0e4c\u0e27\u0e48\u0e32 $e$ \u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e2d\u0e14\u0e34\u0e28\u0e31\u0e22<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>~1880s<\/td>\n<td>Ferdinand Frobenius<\/td>\n<td>\u0e2b\u0e32\u0e04\u0e27\u0e32\u0e21\u0e2a\u0e31\u0e21\u0e1e\u0e31\u0e19\u0e18\u0e4c\u0e23\u0e30\u0e2b\u0e27\u0e48\u0e32\u0e07\u0e15\u0e31\u0e27\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e21\u0e32\u0e13<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>1892<\/strong><\/td>\n<td><strong>Henri Pad\u00e9<\/strong><\/td>\n<td><strong>\u0e28\u0e36\u0e01\u0e29\u0e32\u0e2d\u0e22\u0e48\u0e32\u0e07\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e23\u0e30\u0e1a\u0e1a\u0e04\u0e23\u0e31\u0e49\u0e07\u0e41\u0e23\u0e01 + \u0e2a\u0e23\u0e49\u0e32\u0e07\u0e15\u0e32\u0e23\u0e32\u0e07\u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Van Vleck \u0e01\u0e25\u0e48\u0e32\u0e27\u0e44\u0e27\u0e49\u0e43\u0e19\u0e17\u0e35\u0e48\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e0a\u0e38\u0e21 AMS \u0e1b\u0e35 1903 \u0e27\u0e48\u0e32\u0e01\u0e48\u0e2d\u0e19\u0e2b\u0e19\u0e49\u0e32\u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14\u0e44\u0e21\u0e48\u0e21\u0e35\u0e43\u0e04\u0e23\u0e15\u0e23\u0e27\u0e08\u0e2a\u0e2d\u0e1a\u0e15\u0e31\u0e27\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e21\u0e32\u0e13\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e48\u0e32\u0e19\u0e35\u0e49\u0e2d\u0e22\u0e48\u0e32\u0e07\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e23\u0e30\u0e1a\u0e1a \u0e19\u0e2d\u0e01\u0e08\u0e32\u0e01 Frobenius \u0e41\u0e25\u0e30\u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14\u0e01\u0e49\u0e32\u0e27\u0e44\u0e1b\u0e44\u0e01\u0e25\u0e01\u0e27\u0e48\u0e32\u0e14\u0e49\u0e27\u0e22\u0e01\u0e32\u0e23\u0e08\u0e31\u0e14\u0e15\u0e31\u0e27\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e21\u0e32\u0e13\u0e17\u0e31\u0e49\u0e07\u0e2b\u0e21\u0e14\u0e25\u0e07\u0e43\u0e19\u0e15\u0e32\u0e23\u0e32\u0e07<\/p>\n<p>\u0e17\u0e35\u0e48\u0e19\u0e48\u0e32\u0e2a\u0e19\u0e43\u0e08\u0e04\u0e37\u0e2d \u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14\u0e14\u0e39\u0e40\u0e2b\u0e21\u0e37\u0e2d\u0e19\u0e08\u0e30 <strong>\u0e44\u0e21\u0e48\u0e17\u0e23\u0e32\u0e1a<\/strong> \u0e16\u0e36\u0e07\u0e07\u0e32\u0e19\u0e02\u0e2d\u0e07 Frobenius \u0e40\u0e25\u0e22<\/p>\n<hr>\n<h2>5. \u0e0a\u0e35\u0e27\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e27\u0e31\u0e15\u0e34\u0e42\u0e14\u0e22\u0e22\u0e48\u0e2d<\/h2>\n<ul>\n<li>\u0e40\u0e01\u0e34\u0e14\u0e17\u0e35\u0e48\u0e40\u0e21\u0e37\u0e2d\u0e07 <strong>Abbeville<\/strong> \u0e17\u0e32\u0e07\u0e40\u0e2b\u0e19\u0e37\u0e2d\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e1d\u0e23\u0e31\u0e48\u0e07\u0e40\u0e28\u0e2a 17 \u0e18\u0e31\u0e19\u0e27\u0e32\u0e04\u0e21 1863<\/li>\n<li>\u0e40\u0e02\u0e49\u0e32 <strong>\u00c9cole Normale Sup\u00e9rieure<\/strong> \u0e1b\u0e35 1883 \u0e08\u0e1a Agr\u00e9gation de Math\u00e9matiques \u0e1b\u0e35 1886 \u0e41\u0e25\u0e49\u0e27\u0e44\u0e1b\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e04\u0e23\u0e39\u0e21\u0e31\u0e18\u0e22\u0e21<\/li>\n<li>\u0e1b\u0e35 1889 \u0e44\u0e1b\u0e40\u0e22\u0e2d\u0e23\u0e21\u0e19\u0e35 \u0e28\u0e36\u0e01\u0e29\u0e32\u0e01\u0e31\u0e1a <strong>Felix Klein<\/strong> \u0e17\u0e35\u0e48 G\u00f6ttingen \u0e41\u0e25\u0e30 <strong>Hermann Schwarz<\/strong><\/li>\n<li>1892 \u2014 \u0e27\u0e34\u0e17\u0e22\u0e32\u0e19\u0e34\u0e1e\u0e19\u0e18\u0e4c\u0e1b\u0e23\u0e34\u0e0d\u0e0d\u0e32\u0e40\u0e2d\u0e01\u0e20\u0e32\u0e22\u0e43\u0e15\u0e49 <strong>Hermite<\/strong> \u0e0b\u0e36\u0e48\u0e07\u0e1a\u0e23\u0e23\u0e08\u0e38\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e15\u0e31\u0e27\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e21\u0e32\u0e13\u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14<\/li>\n<li>\u0e2a\u0e37\u0e1a\u0e17\u0e2d\u0e14\u0e15\u0e33\u0e41\u0e2b\u0e19\u0e48\u0e07\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e32\u0e08\u0e32\u0e23\u0e22\u0e4c\u0e01\u0e25\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e15\u0e23\u0e23\u0e01\u0e22\u0e30\u0e17\u0e35\u0e48 <strong>\u00c9cole Centrale de Lille<\/strong> \u0e15\u0e48\u0e2d\u0e08\u0e32\u0e01 <strong>\u00c9mile Borel<\/strong><\/li>\n<li>\u0e44\u0e14\u0e49\u0e23\u0e31\u0e1a <strong>Grand Prix des Sciences Math\u00e9matiques<\/strong> \u0e43\u0e19\u0e1b\u0e35 1905<\/li>\n<li>\u0e16\u0e36\u0e07\u0e41\u0e01\u0e48\u0e01\u0e23\u0e23\u0e21\u0e17\u0e35\u0e48 <strong>Aix-en-Provence<\/strong> 9 \u0e01\u0e23\u0e01\u0e0e\u0e32\u0e04\u0e21 1953 \u0e2d\u0e32\u0e22\u0e38 89 \u0e1b\u0e35<\/li>\n<\/ul>\n<hr>\n<h2>6. \u0e1b\u0e32\u0e40\u0e14\u0e43\u0e19\u0e42\u0e25\u0e01\u0e27\u0e31\u0e19\u0e19\u0e35\u0e49<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>\u0e1f\u0e34\u0e2a\u0e34\u0e01\u0e2a\u0e4c\u0e40\u0e0a\u0e34\u0e07\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35<\/strong>: \u0e01\u0e32\u0e23\u0e2b\u0e32\u0e1c\u0e25\u0e23\u0e27\u0e21\u0e2d\u0e19\u0e38\u0e01\u0e23\u0e21\u0e01\u0e27\u0e19 (perturbation series) \u0e17\u0e35\u0e48\u0e25\u0e39\u0e48\u0e2d\u0e2d\u0e01 \u2014 Pad\u00e9 resummation<\/li>\n<li><strong>\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e01\u0e32\u0e23\u0e04\u0e27\u0e1a\u0e04\u0e38\u0e21<\/strong>: Pad\u00e9 approximation \u0e02\u0e2d\u0e07 $e^{-sT}$ \u0e40\u0e1e\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e08\u0e33\u0e25\u0e2d\u0e07\u0e04\u0e27\u0e32\u0e21\u0e2b\u0e19\u0e48\u0e27\u0e07\u0e40\u0e27\u0e25\u0e32\u0e43\u0e19\u0e23\u0e30\u0e1a\u0e1a\u0e40\u0e0a\u0e34\u0e07\u0e40\u0e2a\u0e49\u0e19<\/li>\n<li><strong>\u0e01\u0e32\u0e23\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e21\u0e27\u0e25\u0e1c\u0e25\u0e2a\u0e31\u0e0d\u0e0d\u0e32\u0e13<\/strong>: \u0e01\u0e32\u0e23\u0e2d\u0e2d\u0e01\u0e41\u0e1a\u0e1a\u0e15\u0e31\u0e27\u0e01\u0e23\u0e2d\u0e07 IIR<\/li>\n<li><strong>\u0e40\u0e04\u0e21\u0e35\u0e04\u0e27\u0e2d\u0e19\u0e15\u0e31\u0e21<\/strong>: \u0e01\u0e32\u0e23\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e21\u0e32\u0e13\u0e1e\u0e25\u0e31\u0e07\u0e07\u0e32\u0e19\u0e2a\u0e16\u0e32\u0e19\u0e30\u0e1e\u0e37\u0e49\u0e19<\/li>\n<li><strong>\u0e01\u0e32\u0e23\u0e27\u0e34\u0e40\u0e04\u0e23\u0e32\u0e30\u0e2b\u0e4c\u0e40\u0e0a\u0e34\u0e07\u0e15\u0e31\u0e27\u0e40\u0e25\u0e02<\/strong>: \u0e01\u0e32\u0e23\u0e2b\u0e32\u0e1c\u0e25\u0e40\u0e09\u0e25\u0e22\u0e2a\u0e21\u0e01\u0e32\u0e23\u0e40\u0e0a\u0e34\u0e07\u0e2d\u0e19\u0e38\u0e1e\u0e31\u0e19\u0e18\u0e4c\u0e41\u0e1a\u0e1a stiff (Pad\u00e9-based Runge\u2013Kutta)<\/li>\n<\/ul>\n<hr>\n<h2>\u0e01\u0e34\u0e08\u0e01\u0e23\u0e23\u0e21\u0e0a\u0e27\u0e19\u0e04\u0e34\u0e14<\/h2>\n<ol>\n<li>\u0e2b\u0e32 $[2\/2]$ \u0e02\u0e2d\u0e07 $e^x$ \u0e41\u0e25\u0e49\u0e27\u0e40\u0e1b\u0e23\u0e35\u0e22\u0e1a\u0e40\u0e17\u0e35\u0e22\u0e1a\u0e04\u0e48\u0e32\u0e17\u0e35\u0e48 $x=1$ \u0e01\u0e31\u0e1a\u0e1c\u0e25\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e22\u0e48\u0e2d\u0e22\u0e40\u0e17\u0e22\u0e4c\u0e40\u0e25\u0e2d\u0e23\u0e4c\u0e14\u0e35\u0e01\u0e23\u0e35 4 \u0e2d\u0e31\u0e19\u0e44\u0e2b\u0e19\u0e43\u0e01\u0e25\u0e49 $e = 2.71828\\ldots$ \u0e21\u0e32\u0e01\u0e01\u0e27\u0e48\u0e32?<\/li>\n<li>\u0e2b\u0e32 $[1\/1]$ \u0e02\u0e2d\u0e07 $\\ln(1+x)$ \u0e41\u0e25\u0e49\u0e27\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e40\u0e21\u0e34\u0e19\u0e17\u0e35\u0e48 $x = 1$ \u0e40\u0e1b\u0e23\u0e35\u0e22\u0e1a\u0e40\u0e17\u0e35\u0e22\u0e1a\u0e01\u0e31\u0e1a $\\ln 2 = 0.6931\\ldots$<\/li>\n<li>\u0e41\u0e2a\u0e14\u0e07\u0e27\u0e48\u0e32 $[n\/n]$ \u0e02\u0e2d\u0e07 $e^x$ \u0e21\u0e35\u0e2a\u0e21\u0e1a\u0e31\u0e15\u0e34 $<a href=\"https:\/\/claude.ai\/chat\/x\">n\/n<\/a> \\cdot <a href=\"https:\/\/claude.ai\/chat\/-x\">n\/n<\/a> = 1$ (\u0e2a\u0e2d\u0e14\u0e04\u0e25\u0e49\u0e2d\u0e07\u0e01\u0e31\u0e1a $e^x e^{-x} = 1$)<\/li>\n<li>\u0e40\u0e02\u0e35\u0e22\u0e19\u0e42\u0e1b\u0e23\u0e41\u0e01\u0e23\u0e21 Python \u0e43\u0e0a\u0e49 <code>scipy.interpolate.pade<\/code> \u0e40\u0e1b\u0e23\u0e35\u0e22\u0e1a\u0e40\u0e17\u0e35\u0e22\u0e1a\u0e01\u0e23\u0e32\u0e1f\u0e02\u0e2d\u0e07 $\\tan x$ \u0e01\u0e31\u0e1a $[3\/3]$ \u0e41\u0e25\u0e30\u0e40\u0e17\u0e22\u0e4c\u0e40\u0e25\u0e2d\u0e23\u0e4c\u0e14\u0e35\u0e01\u0e23\u0e35 6 \u0e1a\u0e19\u0e0a\u0e48\u0e27\u0e07 $[-1.5, 1.5]$ \u0e2a\u0e31\u0e07\u0e40\u0e01\u0e15\u0e27\u0e48\u0e32\u0e2d\u0e31\u0e19\u0e44\u0e2b\u0e19\u0e08\u0e31\u0e1a\u0e02\u0e31\u0e49\u0e27\u0e17\u0e35\u0e48 $x = \\pi\/2$ \u0e44\u0e14\u0e49<\/li>\n<li>\u0e2d\u0e20\u0e34\u0e1b\u0e23\u0e32\u0e22: \u0e40\u0e2b\u0e15\u0e38\u0e43\u0e14\u0e1f\u0e31\u0e07\u0e01\u0e4c\u0e0a\u0e31\u0e19\u0e15\u0e23\u0e23\u0e01\u0e22\u0e30\u0e08\u0e36\u0e07\u0e08\u0e31\u0e1a &#8220;\u0e02\u0e31\u0e49\u0e27&#8221; \u0e44\u0e14\u0e49 \u0e41\u0e15\u0e48\u0e1e\u0e2b\u0e38\u0e19\u0e32\u0e21\u0e17\u0e33\u0e44\u0e21\u0e48\u0e44\u0e14\u0e49?<\/li>\n<\/ol>\n<hr>\n<h2>\u0e40\u0e2d\u0e01\u0e2a\u0e32\u0e23\u0e2d\u0e49\u0e32\u0e07\u0e2d\u0e34\u0e07<\/h2>\n<ul>\n<li>Pad\u00e9, H. (1892). <em>Sur la repr\u00e9sentation approch\u00e9e d&#8217;une fonction par des fractions rationnelles.<\/em> Th\u00e8se, \u00c9cole Normale Sup\u00e9rieure.<\/li>\n<li>Baker, G. A., &amp; Graves-Morris, P. (1996). <em>Pad\u00e9 Approximants<\/em> (2nd ed.). Cambridge University Press.<\/li>\n<li>Brezinski, C. (1996). <em>History of Continued Fractions and Pad\u00e9 Approximants.<\/em> Springer.<\/li>\n<li>Bender, C. M., &amp; Orszag, S. A. (1999). <em>Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers.<\/em> Springer. (\u0e1a\u0e17\u0e17\u0e35\u0e48 8)<\/li>\n<li>O&#8217;Connor, J. J., &amp; Robertson, E. F. <em>Henri Pad\u00e9.<\/em> MacTutor History of Mathematics Archive.<\/li>\n<\/ul>\n<hr>\n<p><em>\u0e0a\u0e38\u0e14\u0e1a\u0e17\u0e04\u0e27\u0e32\u0e21 &#8220;\u0e27\u0e31\u0e19\u0e19\u0e35\u0e49\u0e43\u0e19\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e27\u0e31\u0e15\u0e34\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c&#8221; \u2014 \u0e40\u0e1c\u0e22\u0e41\u0e1e\u0e23\u0e48 9 \u0e01\u0e23\u0e01\u0e0e\u0e32\u0e04\u0e21 2569<\/em><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-48804 lazyload\" data-src=\"https:\/\/mathed.bru.ac.th\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/ChatGPT-Image-Jul-9-2026-10_28_43-AM-300x200.jpg\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"200\" data-srcset=\"https:\/\/mathed.bru.ac.th\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/ChatGPT-Image-Jul-9-2026-10_28_43-AM-300x200.jpg 300w, https:\/\/mathed.bru.ac.th\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/ChatGPT-Image-Jul-9-2026-10_28_43-AM-1024x683.jpg 1024w, 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