{"id":48815,"date":"2026-07-10T11:39:17","date_gmt":"2026-07-10T04:39:17","guid":{"rendered":"https:\/\/mathed.bru.ac.th\/?p=48815"},"modified":"2026-07-10T11:39:17","modified_gmt":"2026-07-10T04:39:17","slug":"e%cf%85%cf%81%ce%b7%ce%ba%ce%b1-%e0%b8%a7%e0%b8%b1%e0%b8%99%e0%b8%97%e0%b8%b5%e0%b9%88%e0%b9%80%e0%b8%81%e0%b8%b2%e0%b8%aa%e0%b9%8c%e0%b8%84%e0%b9%89%e0%b8%99%e0%b8%9e%e0%b8%9a%e0%b8%a7%e0%b9%88","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathed.bru.ac.th\/en\/2026\/07\/10\/e%cf%85%cf%81%ce%b7%ce%ba%ce%b1-%e0%b8%a7%e0%b8%b1%e0%b8%99%e0%b8%97%e0%b8%b5%e0%b9%88%e0%b9%80%e0%b8%81%e0%b8%b2%e0%b8%aa%e0%b9%8c%e0%b8%84%e0%b9%89%e0%b8%99%e0%b8%9e%e0%b8%9a%e0%b8%a7%e0%b9%88\/","title":{"rendered":"EGHPAK! The day Gauss discovered that every number is the sum of up to three triangular digits."},"content":{"rendered":"<hr>\n<h1>EGHPAK! The day Gauss discovered that every number is the sum of up to three triangular digits.<\/h1>\n<h2>\u0e08\u0e38\u0e14\u0e40\u0e23\u0e34\u0e48\u0e21\u0e15\u0e49\u0e19: \u0e1a\u0e23\u0e23\u0e17\u0e31\u0e14\u0e40\u0e14\u0e35\u0e22\u0e27\u0e17\u0e35\u0e48\u0e40\u0e1b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e19\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e27\u0e31\u0e15\u0e34\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c<\/h2>\n<p>\u0e27\u0e31\u0e19\u0e17\u0e35\u0e48 10 \u0e01\u0e23\u0e01\u0e0e\u0e32\u0e04\u0e21 \u0e04.\u0e28. 1796 (\u0e1e.\u0e28. 2339) \u0e04\u0e32\u0e23\u0e4c\u0e25 \u0e1f\u0e23\u0e35\u0e14\u0e23\u0e34\u0e0a \u0e40\u0e01\u0e32\u0e2a\u0e4c (Carl Friedrich Gauss) \u0e19\u0e31\u0e01\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e27\u0e31\u0e22\u0e40\u0e1e\u0e35\u0e22\u0e07 19 \u0e1b\u0e35 \u0e40\u0e1b\u0e34\u0e14\u0e2a\u0e21\u0e38\u0e14\u0e1a\u0e31\u0e19\u0e17\u0e36\u0e01\u0e17\u0e32\u0e07\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e2a\u0e48\u0e27\u0e19\u0e15\u0e31\u0e27 (mathematical diary) \u0e41\u0e25\u0e49\u0e27\u0e40\u0e02\u0e35\u0e22\u0e19\u0e25\u0e07\u0e44\u0e1b\u0e40\u0e1e\u0e35\u0e22\u0e07\u0e1a\u0e23\u0e23\u0e17\u0e31\u0e14\u0e40\u0e14\u0e35\u0e22\u0e27\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e20\u0e32\u0e29\u0e32\u0e01\u0e23\u0e35\u0e01\u0e42\u0e1a\u0e23\u0e32\u0e13\u0e1c\u0e2a\u0e21\u0e2a\u0e31\u0e0d\u0e25\u0e31\u0e01\u0e29\u0e13\u0e4c\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c:<\/p>\n<p>$$ \\text{\u0395\u03a5\u03a1\u0397\u039a\u0391!}\\qquad \\text{num} = \\Delta + \\Delta + \\Delta $$<\/p>\n<p>\u0e04\u0e33\u0e27\u0e48\u0e32 &#8220;\u0395\u03a5\u03a1\u0397\u039a\u0391&#8221; \u0e41\u0e1b\u0e25\u0e27\u0e48\u0e32 &#8220;\u0e02\u0e49\u0e32\u0e1e\u0e40\u0e08\u0e49\u0e32\u0e1e\u0e1a\u0e41\u0e25\u0e49\u0e27&#8221; \u0e22\u0e37\u0e21\u0e21\u0e32\u0e08\u0e32\u0e01\u0e15\u0e33\u0e19\u0e32\u0e19\u0e2d\u0e32\u0e23\u0e4c\u0e04\u0e34\u0e21\u0e34\u0e14\u0e35\u0e2a\u0e17\u0e35\u0e48\u0e27\u0e34\u0e48\u0e07\u0e2d\u0e2d\u0e01\u0e08\u0e32\u0e01\u0e2d\u0e48\u0e32\u0e07\u0e2d\u0e32\u0e1a\u0e19\u0e49\u0e33\u0e14\u0e49\u0e27\u0e22\u0e04\u0e27\u0e32\u0e21\u0e14\u0e35\u0e43\u0e08 \u0e2a\u0e48\u0e27\u0e19 &#8220;num = \u0394 + \u0394 + \u0394&#8221; \u0e04\u0e37\u0e2d\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e1a\u0e17\u0e17\u0e35\u0e48\u0e40\u0e01\u0e32\u0e2a\u0e4c\u0e40\u0e1e\u0e34\u0e48\u0e07\u0e1e\u0e34\u0e2a\u0e39\u0e08\u0e19\u0e4c\u0e44\u0e14\u0e49\u0e2a\u0e33\u0e40\u0e23\u0e47\u0e08 \u0e19\u0e31\u0e48\u0e19\u0e04\u0e37\u0e2d <strong>\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e40\u0e15\u0e47\u0e21\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e17\u0e38\u0e01\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e32\u0e23\u0e16\u0e40\u0e02\u0e35\u0e22\u0e19\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e1c\u0e25\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21 (triangular number) \u0e44\u0e14\u0e49\u0e44\u0e21\u0e48\u0e40\u0e01\u0e34\u0e19\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e15\u0e31\u0e27<\/strong><\/p>\n<p>\u0e2a\u0e21\u0e38\u0e14\u0e1a\u0e31\u0e19\u0e17\u0e36\u0e01\u0e40\u0e25\u0e48\u0e21\u0e19\u0e35\u0e49\u0e21\u0e35\u0e17\u0e31\u0e49\u0e07\u0e2b\u0e21\u0e14 146 \u0e23\u0e32\u0e22\u0e01\u0e32\u0e23 \u0e1a\u0e31\u0e19\u0e17\u0e36\u0e01\u0e44\u0e27\u0e49\u0e15\u0e31\u0e49\u0e07\u0e41\u0e15\u0e48\u0e1b\u0e35 1796 \u0e16\u0e36\u0e07 1814 \u0e41\u0e15\u0e48\u0e44\u0e21\u0e48\u0e40\u0e04\u0e22\u0e16\u0e39\u0e01\u0e15\u0e35\u0e1e\u0e34\u0e21\u0e1e\u0e4c\u0e43\u0e19\u0e0a\u0e48\u0e27\u0e07\u0e0a\u0e35\u0e27\u0e34\u0e15\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e40\u0e01\u0e32\u0e2a\u0e4c \u0e41\u0e25\u0e30\u0e16\u0e39\u0e01\u0e04\u0e49\u0e19\u0e1e\u0e1a\u0e2d\u0e35\u0e01\u0e04\u0e23\u0e31\u0e49\u0e07\u0e43\u0e19\u0e1b\u0e35 1898 \u0e01\u0e27\u0e48\u0e32 40 \u0e1b\u0e35\u0e2b\u0e25\u0e31\u0e07\u0e40\u0e02\u0e32\u0e40\u0e2a\u0e35\u0e22\u0e0a\u0e35\u0e27\u0e34\u0e15<\/p>\n<h2>\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21\u0e04\u0e37\u0e2d\u0e2d\u0e30\u0e44\u0e23<\/h2>\n<p>\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21 $T_n$ \u0e04\u0e37\u0e2d\u0e1c\u0e25\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e19\u0e31\u0e1a\u0e15\u0e31\u0e49\u0e07\u0e41\u0e15\u0e48 1 \u0e16\u0e36\u0e07 $n$<\/p>\n<p>$$ T_n = 1 + 2 + 3 + \\cdots + n = \\frac{n(n+1)}{2} $$<\/p>\n<p>\u0e0a\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e19\u0e35\u0e49\u0e21\u0e32\u0e08\u0e32\u0e01\u0e01\u0e32\u0e23\u0e17\u0e35\u0e48\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e32\u0e23\u0e16\u0e08\u0e31\u0e14\u0e08\u0e38\u0e14\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e23\u0e39\u0e1b\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21\u0e44\u0e14\u0e49\u0e1e\u0e2d\u0e14\u0e35 \u0e40\u0e0a\u0e48\u0e19<\/p>\n<ul>\n<li>$T_1 = 1$<\/li>\n<li>$T_2 = 3$<\/li>\n<li>$T_3 = 6$<\/li>\n<li>$T_4 = 10$<\/li>\n<li>$T_5 = 15$<\/li>\n<li>$T_6 = 21$<\/li>\n<li>$T_7 = 28$<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e1a\u0e17\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e40\u0e01\u0e32\u0e2a\u0e4c\u0e1a\u0e2d\u0e01\u0e27\u0e48\u0e32 \u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e40\u0e15\u0e47\u0e21\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e43\u0e14 \u0e46 \u0e40\u0e02\u0e35\u0e22\u0e19\u0e44\u0e14\u0e49\u0e43\u0e19\u0e23\u0e39\u0e1b $T_a + T_b + T_c$ \u0e42\u0e14\u0e22\u0e17\u0e35\u0e48 $a, b, c \\geq 0$ (\u0e2d\u0e19\u0e38\u0e0d\u0e32\u0e15\u0e43\u0e2b\u0e49 $T_0 = 0$ \u0e44\u0e14\u0e49 \u0e40\u0e1e\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e04\u0e23\u0e2d\u0e1a\u0e04\u0e25\u0e38\u0e21\u0e01\u0e23\u0e13\u0e35\u0e17\u0e35\u0e48\u0e43\u0e0a\u0e49\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21\u0e19\u0e49\u0e2d\u0e22\u0e01\u0e27\u0e48\u0e32\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e15\u0e31\u0e27)<\/p>\n<p><strong>\u0e15\u0e31\u0e27\u0e2d\u0e22\u0e48\u0e32\u0e07:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>$17 = 1 + 6 + 10 = T_1 + T_3 + T_4$<\/li>\n<li>$20 = 3 + 6 + 10 + \\dots$ \u0e25\u0e2d\u0e07\u0e43\u0e2b\u0e21\u0e48: $20 = 10 + 10 + 0 = T_4 + T_4 + T_0$<\/li>\n<li>$50 = 45 + 3 + 1$&#8230; \u0e2b\u0e23\u0e37\u0e2d\u0e07\u0e48\u0e32\u0e22\u0e01\u0e27\u0e48\u0e32\u0e19\u0e31\u0e49\u0e19 $50 = 28 + 21 + 1 = T_7 + T_6 + T_1$<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u0e25\u0e2d\u0e07\u0e15\u0e23\u0e27\u0e08\u0e2a\u0e2d\u0e1a\u0e40\u0e2d\u0e07\u0e14\u0e39\u0e44\u0e14\u0e49\u0e27\u0e48\u0e32\u0e17\u0e38\u0e01\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e15\u0e31\u0e49\u0e07\u0e41\u0e15\u0e48 1 \u0e16\u0e36\u0e07 30 \u0e2a\u0e32\u0e21\u0e32\u0e23\u0e16\u0e40\u0e02\u0e35\u0e22\u0e19\u0e41\u0e1a\u0e1a\u0e19\u0e35\u0e49\u0e44\u0e14\u0e49\u0e08\u0e23\u0e34\u0e07<\/p>\n<h2>\u0e17\u0e33\u0e44\u0e21\u0e40\u0e23\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e07\u0e19\u0e35\u0e49\u0e16\u0e36\u0e07\u0e22\u0e32\u0e01\u0e41\u0e25\u0e30\u0e2a\u0e33\u0e04\u0e31\u0e0d<\/h2>\n<p>\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e1a\u0e17\u0e19\u0e35\u0e49\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e01\u0e23\u0e13\u0e35\u0e1e\u0e34\u0e40\u0e28\u0e29\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e2a\u0e34\u0e48\u0e07\u0e17\u0e35\u0e48\u0e40\u0e23\u0e35\u0e22\u0e01\u0e27\u0e48\u0e32 <strong>\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e1a\u0e17\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e23\u0e39\u0e1b\u0e2b\u0e25\u0e32\u0e22\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e41\u0e1f\u0e23\u0e4c\u0e21\u0e32 (Fermat polygonal number theorem)<\/strong> \u0e0b\u0e36\u0e48\u0e07\u0e1b\u0e35\u0e41\u0e22\u0e23\u0e4c \u0e40\u0e14\u0e2d \u0e41\u0e1f\u0e23\u0e4c\u0e21\u0e32 \u0e40\u0e04\u0e22\u0e01\u0e25\u0e48\u0e32\u0e27\u0e44\u0e27\u0e49 (\u0e42\u0e14\u0e22\u0e44\u0e21\u0e48\u0e21\u0e35\u0e01\u0e32\u0e23\u0e1e\u0e34\u0e2a\u0e39\u0e08\u0e19\u0e4c) \u0e15\u0e31\u0e49\u0e07\u0e41\u0e15\u0e48\u0e04\u0e23\u0e34\u0e2a\u0e15\u0e4c\u0e28\u0e15\u0e27\u0e23\u0e23\u0e29\u0e17\u0e35\u0e48 17 \u0e27\u0e48\u0e32<\/p>\n<ul>\n<li>\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e40\u0e15\u0e47\u0e21\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e17\u0e38\u0e01\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e40\u0e02\u0e35\u0e22\u0e19\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e1c\u0e25\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21\u0e44\u0e14\u0e49\u0e44\u0e21\u0e48\u0e40\u0e01\u0e34\u0e19 3 \u0e15\u0e31\u0e27<\/li>\n<li>\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e40\u0e15\u0e47\u0e21\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e17\u0e38\u0e01\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e40\u0e02\u0e35\u0e22\u0e19\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e1c\u0e25\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e01\u0e33\u0e25\u0e31\u0e07\u0e2a\u0e2d\u0e07\u0e44\u0e14\u0e49\u0e44\u0e21\u0e48\u0e40\u0e01\u0e34\u0e19 4 \u0e15\u0e31\u0e27<\/li>\n<li>\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e40\u0e15\u0e47\u0e21\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e17\u0e38\u0e01\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e40\u0e02\u0e35\u0e22\u0e19\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e1c\u0e25\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e2b\u0e49\u0e32\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21\u0e44\u0e14\u0e49\u0e44\u0e21\u0e48\u0e40\u0e01\u0e34\u0e19 5 \u0e15\u0e31\u0e27<\/li>\n<li>\u0e41\u0e25\u0e30\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e40\u0e0a\u0e48\u0e19\u0e19\u0e35\u0e49\u0e44\u0e1b\u0e40\u0e23\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e22 \u0e46 \u0e2a\u0e33\u0e2b\u0e23\u0e31\u0e1a\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19 $k$-\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21 \u0e43\u0e0a\u0e49\u0e44\u0e21\u0e48\u0e40\u0e01\u0e34\u0e19 $k$ \u0e15\u0e31\u0e27<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u0e01\u0e23\u0e13\u0e35\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e01\u0e33\u0e25\u0e31\u0e07\u0e2a\u0e2d\u0e07 (4 \u0e15\u0e31\u0e27) \u0e44\u0e14\u0e49\u0e23\u0e31\u0e1a\u0e01\u0e32\u0e23\u0e1e\u0e34\u0e2a\u0e39\u0e08\u0e19\u0e4c\u0e42\u0e14\u0e22\u0e42\u0e0c\u0e41\u0e0b\u0e47\u0e1f-\u0e2b\u0e25\u0e38\u0e22\u0e2a\u0e4c \u0e25\u0e32\u0e01\u0e23\u0e2d\u0e07\u0e08\u0e4c \u0e43\u0e19\u0e1b\u0e35 1770 \u0e2a\u0e48\u0e27\u0e19\u0e01\u0e23\u0e13\u0e35\u0e17\u0e31\u0e48\u0e27\u0e44\u0e1b\u0e2a\u0e33\u0e2b\u0e23\u0e31\u0e1a\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19 $k$-\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21\u0e17\u0e38\u0e01\u0e04\u0e48\u0e32\u0e40\u0e1e\u0e34\u0e48\u0e07\u0e44\u0e14\u0e49\u0e23\u0e31\u0e1a\u0e01\u0e32\u0e23\u0e1e\u0e34\u0e2a\u0e39\u0e08\u0e19\u0e4c\u0e2a\u0e21\u0e1a\u0e39\u0e23\u0e13\u0e4c\u0e42\u0e14\u0e22\u0e42\u0e2d\u0e01\u0e38\u0e2a\u0e41\u0e15\u0e47\u0e07-\u0e2b\u0e25\u0e38\u0e22\u0e2a\u0e4c \u0e42\u0e01\u0e0a\u0e35 \u0e43\u0e19\u0e1b\u0e35 1813 \u0e40\u0e01\u0e32\u0e2a\u0e4c\u0e04\u0e37\u0e2d\u0e1c\u0e39\u0e49\u0e1e\u0e34\u0e2a\u0e39\u0e08\u0e19\u0e4c <strong>\u0e01\u0e23\u0e13\u0e35\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21<\/strong> \u0e2a\u0e33\u0e40\u0e23\u0e47\u0e08\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e04\u0e19\u0e41\u0e23\u0e01 \u0e0b\u0e36\u0e48\u0e07\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e01\u0e49\u0e32\u0e27\u0e2a\u0e33\u0e04\u0e31\u0e0d\u0e17\u0e35\u0e48\u0e1b\u0e39\u0e17\u0e32\u0e07\u0e44\u0e1b\u0e2a\u0e39\u0e48\u0e1c\u0e25\u0e25\u0e31\u0e1e\u0e18\u0e4c\u0e17\u0e31\u0e48\u0e27\u0e44\u0e1b<\/p>\n<p>\u0e40\u0e1a\u0e37\u0e49\u0e2d\u0e07\u0e2b\u0e25\u0e31\u0e07\u0e01\u0e32\u0e23\u0e1e\u0e34\u0e2a\u0e39\u0e08\u0e19\u0e4c\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e40\u0e01\u0e32\u0e2a\u0e4c\u0e40\u0e0a\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e21\u0e42\u0e22\u0e07\u0e01\u0e31\u0e1a\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e23\u0e39\u0e1b\u0e41\u0e1a\u0e1a\u0e01\u0e33\u0e25\u0e31\u0e07\u0e2a\u0e2d\u0e07\u0e15\u0e23\u0e35\u0e27\u0e34\u0e20\u0e32\u0e04 (ternary quadratic forms) \u0e0b\u0e36\u0e48\u0e07\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e2b\u0e31\u0e27\u0e02\u0e49\u0e2d\u0e17\u0e35\u0e48\u0e40\u0e02\u0e32\u0e28\u0e36\u0e01\u0e29\u0e32\u0e2d\u0e22\u0e48\u0e32\u0e07\u0e25\u0e36\u0e01\u0e0b\u0e36\u0e49\u0e07\u0e41\u0e25\u0e30\u0e15\u0e48\u0e2d\u0e21\u0e32\u0e01\u0e25\u0e32\u0e22\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e41\u0e01\u0e19\u0e2a\u0e33\u0e04\u0e31\u0e0d\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e2b\u0e19\u0e31\u0e07\u0e2a\u0e37\u0e2d <em>Disquisitiones Arithmeticae<\/em> (\u0e15\u0e35\u0e1e\u0e34\u0e21\u0e1e\u0e4c\u0e1b\u0e35 1801) \u0e1c\u0e25\u0e07\u0e32\u0e19\u0e17\u0e35\u0e48\u0e27\u0e32\u0e07\u0e23\u0e32\u0e01\u0e10\u0e32\u0e19\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e2a\u0e21\u0e31\u0e22\u0e43\u0e2b\u0e21\u0e48\u0e17\u0e31\u0e49\u0e07\u0e2b\u0e21\u0e14<\/p>\n<h2>\u0e40\u0e01\u0e32\u0e2a\u0e4c\u0e43\u0e19\u0e27\u0e31\u0e22 19 \u0e1b\u0e35<\/h2>\n<p>\u0e1b\u0e35 1796 \u0e16\u0e37\u0e2d\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19 &#8220;\u0e1b\u0e35\u0e21\u0e2b\u0e31\u0e28\u0e08\u0e23\u0e23\u0e22\u0e4c&#8221; (annus mirabilis) \u0e02\u0e2d\u0e07\u0e40\u0e01\u0e32\u0e2a\u0e4c\u0e2d\u0e22\u0e48\u0e32\u0e07\u0e41\u0e17\u0e49\u0e08\u0e23\u0e34\u0e07 \u0e1b\u0e35\u0e40\u0e14\u0e35\u0e22\u0e27\u0e01\u0e31\u0e19\u0e19\u0e35\u0e49\u0e40\u0e02\u0e32\u0e22\u0e31\u0e07\u0e04\u0e49\u0e19\u0e1e\u0e1a\u0e27\u0e48\u0e32\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e32\u0e23\u0e16\u0e2a\u0e23\u0e49\u0e32\u0e07\u0e23\u0e39\u0e1b\u0e2a\u0e34\u0e1a\u0e40\u0e08\u0e47\u0e14\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21\u0e14\u0e49\u0e32\u0e19\u0e40\u0e17\u0e48\u0e32 (17-gon) \u0e14\u0e49\u0e27\u0e22\u0e27\u0e07\u0e40\u0e27\u0e35\u0e22\u0e19\u0e41\u0e25\u0e30\u0e2a\u0e31\u0e19\u0e15\u0e23\u0e07\u0e44\u0e14\u0e49 \u0e0b\u0e36\u0e48\u0e07\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e01\u0e32\u0e23\u0e04\u0e49\u0e19\u0e1e\u0e1a\u0e17\u0e35\u0e48\u0e17\u0e33\u0e43\u0e2b\u0e49\u0e40\u0e02\u0e32\u0e15\u0e31\u0e14\u0e2a\u0e34\u0e19\u0e43\u0e08\u0e2d\u0e38\u0e17\u0e34\u0e28\u0e0a\u0e35\u0e27\u0e34\u0e15\u0e43\u0e2b\u0e49\u0e01\u0e31\u0e1a\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e41\u0e17\u0e19\u0e20\u0e32\u0e29\u0e32\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e17\u0e35\u0e48\u0e40\u0e04\u0e22\u0e25\u0e31\u0e07\u0e40\u0e25\u0e08\u0e30\u0e40\u0e25\u0e37\u0e2d\u0e01\u0e40\u0e23\u0e35\u0e22\u0e19<\/p>\n<p>\u0e40\u0e01\u0e32\u0e2a\u0e4c\u0e40\u0e01\u0e34\u0e14\u0e43\u0e19\u0e04\u0e23\u0e2d\u0e1a\u0e04\u0e23\u0e31\u0e27\u0e22\u0e32\u0e01\u0e08\u0e19\u0e17\u0e35\u0e48\u0e40\u0e21\u0e37\u0e2d\u0e07\u0e40\u0e1a\u0e23\u0e32\u0e19\u0e4c\u0e0a\u0e44\u0e27\u0e01\u0e4c (Braunschweig) \u0e1b\u0e23\u0e30\u0e40\u0e17\u0e28\u0e40\u0e22\u0e2d\u0e23\u0e21\u0e19\u0e35 \u0e44\u0e14\u0e49\u0e23\u0e31\u0e1a\u0e17\u0e38\u0e19\u0e2a\u0e19\u0e31\u0e1a\u0e2a\u0e19\u0e38\u0e19\u0e08\u0e32\u0e01\u0e14\u0e22\u0e38\u0e01\u0e41\u0e2b\u0e48\u0e07\u0e40\u0e1a\u0e23\u0e32\u0e19\u0e4c\u0e0a\u0e44\u0e27\u0e01\u0e4c\u0e43\u0e2b\u0e49\u0e40\u0e23\u0e35\u0e22\u0e19\u0e15\u0e48\u0e2d \u0e41\u0e25\u0e30\u0e41\u0e2a\u0e14\u0e07\u0e1e\u0e23\u0e2a\u0e27\u0e23\u0e23\u0e04\u0e4c\u0e17\u0e32\u0e07\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e15\u0e31\u0e49\u0e07\u0e41\u0e15\u0e48\u0e40\u0e14\u0e47\u0e01 \u0e40\u0e23\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e07\u0e40\u0e25\u0e48\u0e32\u0e17\u0e35\u0e48\u0e42\u0e14\u0e48\u0e07\u0e14\u0e31\u0e07\u0e04\u0e37\u0e2d\u0e04\u0e23\u0e39\u0e43\u0e2b\u0e49\u0e40\u0e14\u0e47\u0e01\u0e19\u0e31\u0e01\u0e40\u0e23\u0e35\u0e22\u0e19\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e40\u0e25\u0e02 1 \u0e16\u0e36\u0e07 100 \u0e40\u0e1e\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e16\u0e48\u0e27\u0e07\u0e40\u0e27\u0e25\u0e32 \u0e41\u0e15\u0e48\u0e40\u0e01\u0e32\u0e2a\u0e4c\u0e04\u0e33\u0e19\u0e27\u0e13\u0e04\u0e33\u0e15\u0e2d\u0e1a\u0e44\u0e14\u0e49\u0e41\u0e17\u0e1a\u0e08\u0e30\u0e17\u0e31\u0e19\u0e17\u0e35\u0e14\u0e49\u0e27\u0e22\u0e01\u0e32\u0e23\u0e08\u0e31\u0e1a\u0e04\u0e39\u0e48\u0e15\u0e31\u0e27\u0e40\u0e25\u0e02\u0e2b\u0e31\u0e27\u0e17\u0e49\u0e32\u0e22 \u0e0b\u0e36\u0e48\u0e07\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e2a\u0e39\u0e15\u0e23\u0e40\u0e14\u0e35\u0e22\u0e27\u0e01\u0e31\u0e1a\u0e17\u0e35\u0e48\u0e43\u0e0a\u0e49\u0e2b\u0e32\u0e04\u0e48\u0e32\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21\u0e19\u0e31\u0e48\u0e19\u0e40\u0e2d\u0e07<\/p>\n<h2>\u0e08\u0e32\u0e01\u0e1a\u0e23\u0e23\u0e17\u0e31\u0e14\u0e40\u0e14\u0e35\u0e22\u0e27\u0e2a\u0e39\u0e48\u0e21\u0e23\u0e14\u0e01\u0e17\u0e32\u0e07\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c<\/h2>\n<p>\u0e41\u0e19\u0e27\u0e04\u0e34\u0e14\u0e40\u0e23\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e07\u0e01\u0e32\u0e23\u0e40\u0e02\u0e35\u0e22\u0e19\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e40\u0e15\u0e47\u0e21\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e1c\u0e25\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e43\u0e19\u0e23\u0e39\u0e1b\u0e41\u0e1a\u0e1a\u0e1e\u0e34\u0e40\u0e28\u0e29 (sum of squares, sum of triangular numbers, sum of polygonal numbers) \u0e22\u0e31\u0e07\u0e04\u0e07\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e2a\u0e32\u0e02\u0e32\u0e01\u0e32\u0e23\u0e27\u0e34\u0e08\u0e31\u0e22\u0e17\u0e35\u0e48\u0e21\u0e35\u0e0a\u0e35\u0e27\u0e34\u0e15\u0e0a\u0e35\u0e27\u0e32\u0e43\u0e19\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e2a\u0e21\u0e31\u0e22\u0e43\u0e2b\u0e21\u0e48 \u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e23\u0e39\u0e1b\u0e41\u0e1a\u0e1a\u0e01\u0e33\u0e25\u0e31\u0e07\u0e2a\u0e2d\u0e07 (quadratic forms) \u0e17\u0e35\u0e48\u0e40\u0e01\u0e32\u0e2a\u0e4c\u0e27\u0e32\u0e07\u0e23\u0e32\u0e01\u0e10\u0e32\u0e19\u0e44\u0e27\u0e49 \u0e16\u0e39\u0e01\u0e19\u0e33\u0e44\u0e1b\u0e1e\u0e31\u0e12\u0e19\u0e32\u0e15\u0e48\u0e2d\u0e42\u0e14\u0e22\u0e19\u0e31\u0e01\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e23\u0e38\u0e48\u0e19\u0e2b\u0e25\u0e31\u0e07 \u0e40\u0e0a\u0e48\u0e19 \u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e23\u0e39\u0e1b\u0e41\u0e1a\u0e1a\u0e01\u0e33\u0e25\u0e31\u0e07\u0e2a\u0e2d\u0e07\u0e41\u0e1a\u0e1a\u0e41\u0e22\u0e01\u0e2a\u0e48\u0e27\u0e19 (theory of modular forms) \u0e0b\u0e36\u0e48\u0e07\u0e40\u0e0a\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e21\u0e42\u0e22\u0e07\u0e01\u0e31\u0e1a\u0e01\u0e32\u0e23\u0e1e\u0e34\u0e2a\u0e39\u0e08\u0e19\u0e4c\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e1a\u0e17\u0e2a\u0e38\u0e14\u0e17\u0e49\u0e32\u0e22\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e41\u0e1f\u0e23\u0e4c\u0e21\u0e32\u0e43\u0e19\u0e04\u0e23\u0e34\u0e2a\u0e15\u0e4c\u0e28\u0e15\u0e27\u0e23\u0e23\u0e29\u0e17\u0e35\u0e48 20<\/p>\n<p>\u0e43\u0e19\u0e23\u0e30\u0e14\u0e31\u0e1a\u0e17\u0e35\u0e48\u0e40\u0e02\u0e49\u0e32\u0e16\u0e36\u0e07\u0e07\u0e48\u0e32\u0e22\u0e01\u0e27\u0e48\u0e32\u0e19\u0e31\u0e49\u0e19 \u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e1a\u0e17\u0e19\u0e35\u0e49\u0e22\u0e31\u0e07\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e15\u0e31\u0e27\u0e2d\u0e22\u0e48\u0e32\u0e07\u0e04\u0e25\u0e32\u0e2a\u0e2a\u0e34\u0e01\u0e17\u0e35\u0e48\u0e43\u0e0a\u0e49\u0e2a\u0e2d\u0e19\u0e40\u0e23\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e07 &#8220;\u0e01\u0e32\u0e23\u0e1e\u0e34\u0e2a\u0e39\u0e08\u0e19\u0e4c\u0e01\u0e32\u0e23\u0e21\u0e35\u0e2d\u0e22\u0e39\u0e48&#8221; (existence proof) \u0e41\u0e25\u0e30\u0e04\u0e27\u0e32\u0e21\u0e2a\u0e31\u0e21\u0e1e\u0e31\u0e19\u0e18\u0e4c\u0e23\u0e30\u0e2b\u0e27\u0e48\u0e32\u0e07\u0e40\u0e23\u0e02\u0e32\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e01\u0e31\u0e1a\u0e1e\u0e35\u0e0a\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e43\u0e19\u0e23\u0e30\u0e14\u0e31\u0e1a\u0e21\u0e2b\u0e32\u0e27\u0e34\u0e17\u0e22\u0e32\u0e25\u0e31\u0e22<\/p>\n<h2>\u0e01\u0e34\u0e08\u0e01\u0e23\u0e23\u0e21\u0e2a\u0e33\u0e2b\u0e23\u0e31\u0e1a\u0e1c\u0e39\u0e49\u0e40\u0e23\u0e35\u0e22\u0e19<\/h2>\n<ol>\n<li><strong>\u0e15\u0e23\u0e27\u0e08\u0e2a\u0e2d\u0e1a\u0e14\u0e49\u0e27\u0e22\u0e21\u0e37\u0e2d:<\/strong> \u0e2b\u0e32\u0e01\u0e32\u0e23\u0e41\u0e22\u0e01\u0e15\u0e31\u0e27\u0e41\u0e1a\u0e1a $T_a + T_b + T_c$ \u0e02\u0e2d\u0e07\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19 1 \u0e16\u0e36\u0e07 20 \u0e17\u0e38\u0e01\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19 (\u0e2d\u0e19\u0e38\u0e0d\u0e32\u0e15\u0e43\u0e2b\u0e49\u0e43\u0e0a\u0e49 $T_0 = 0$)<\/li>\n<li><strong>\u0e40\u0e02\u0e35\u0e22\u0e19\u0e42\u0e1b\u0e23\u0e41\u0e01\u0e23\u0e21:<\/strong> \u0e40\u0e02\u0e35\u0e22\u0e19\u0e42\u0e1b\u0e23\u0e41\u0e01\u0e23\u0e21\u0e2a\u0e31\u0e49\u0e19 \u0e46 (Python) \u0e04\u0e49\u0e19\u0e2b\u0e32\u0e01\u0e32\u0e23\u0e41\u0e22\u0e01\u0e15\u0e31\u0e27\u0e41\u0e1a\u0e1a\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e15\u0e31\u0e27\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e40\u0e15\u0e47\u0e21\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e43\u0e14 \u0e46 \u0e17\u0e35\u0e48\u0e1c\u0e39\u0e49\u0e43\u0e0a\u0e49\u0e1b\u0e49\u0e2d\u0e19\u0e40\u0e02\u0e49\u0e32\u0e21\u0e32 \u0e41\u0e25\u0e49\u0e27\u0e17\u0e14\u0e2a\u0e2d\u0e1a\u0e01\u0e31\u0e1a\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e15\u0e31\u0e49\u0e07\u0e41\u0e15\u0e48 1 \u0e16\u0e36\u0e07 1000<\/li>\n<li><strong>\u0e42\u0e08\u0e17\u0e22\u0e4c\u0e1e\u0e34\u0e2a\u0e39\u0e08\u0e19\u0e4c\u0e23\u0e30\u0e14\u0e31\u0e1a\u0e15\u0e49\u0e19:<\/strong> \u0e1e\u0e34\u0e2a\u0e39\u0e08\u0e19\u0e4c\u0e27\u0e48\u0e32 $8n+3$ \u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e40\u0e15\u0e47\u0e21\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e17\u0e38\u0e01\u0e15\u0e31\u0e27\u0e40\u0e02\u0e35\u0e22\u0e19\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e1c\u0e25\u0e1a\u0e27\u0e01\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e40\u0e25\u0e02\u0e04\u0e35\u0e48\u0e01\u0e33\u0e25\u0e31\u0e07\u0e2a\u0e2d\u0e07\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e15\u0e31\u0e27\u0e44\u0e14\u0e49 (\u0e04\u0e33\u0e43\u0e1a\u0e49: \u0e43\u0e0a\u0e49\u0e04\u0e27\u0e32\u0e21\u0e2a\u0e31\u0e21\u0e1e\u0e31\u0e19\u0e18\u0e4c $8T_n + 1 = (2n+1)^2$ \u0e40\u0e0a\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e21\u0e42\u0e22\u0e07\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21\u0e01\u0e31\u0e1a\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e01\u0e33\u0e25\u0e31\u0e07\u0e2a\u0e2d\u0e07)<\/li>\n<li><strong>\u0e2d\u0e20\u0e34\u0e1b\u0e23\u0e32\u0e22\u0e43\u0e19\u0e0a\u0e31\u0e49\u0e19\u0e40\u0e23\u0e35\u0e22\u0e19:<\/strong> \u0e40\u0e1b\u0e23\u0e35\u0e22\u0e1a\u0e40\u0e17\u0e35\u0e22\u0e1a\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e1a\u0e17\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e2a\u0e32\u0e21\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21 (3 \u0e15\u0e31\u0e27) \u0e01\u0e31\u0e1a\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e1a\u0e17\u0e2a\u0e35\u0e48\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e01\u0e33\u0e25\u0e31\u0e07\u0e2a\u0e2d\u0e07\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e25\u0e32\u0e01\u0e23\u0e2d\u0e07\u0e08\u0e4c (4 \u0e15\u0e31\u0e27) \u0e40\u0e2b\u0e15\u0e38\u0e43\u0e14\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e1e\u0e08\u0e19\u0e4c\u0e17\u0e35\u0e48\u0e15\u0e49\u0e2d\u0e07\u0e01\u0e32\u0e23\u0e08\u0e36\u0e07\u0e15\u0e48\u0e32\u0e07\u0e01\u0e31\u0e19\u0e15\u0e32\u0e21\u0e23\u0e39\u0e1b\u0e2b\u0e25\u0e32\u0e22\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21<\/li>\n<\/ol>\n<h2>References<\/h2>\n<ul>\n<li>Gauss, C. F. (1796). <em>Mathematisches Tagebuch 1796\u20131814<\/em> (Mathematical Diary), entry no. 18.<\/li>\n<li>Gauss, C. F. (1801). <em>Disquisitiones Arithmeticae<\/em>. Leipzig: Gerhard Fleischer.<\/li>\n<li>Cauchy, A.-L. (1813). \u0e02\u0e49\u0e2d\u0e1e\u0e34\u0e2a\u0e39\u0e08\u0e19\u0e4c\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e1a\u0e17\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e23\u0e39\u0e1b\u0e2b\u0e25\u0e32\u0e22\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e35\u0e48\u0e22\u0e21\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e41\u0e1f\u0e23\u0e4c\u0e21\u0e32\u0e43\u0e19\u0e01\u0e23\u0e13\u0e35\u0e17\u0e31\u0e48\u0e27\u0e44\u0e1b \u0e19\u0e33\u0e40\u0e2a\u0e19\u0e2d\u0e15\u0e48\u0e2d Institut de France<\/li>\n<li>Weil, A. (1984). <em>Number Theory: An Approach Through History from Hammurapi to Legendre<\/em>. Boston: Birkh\u00e4user.<\/li>\n<li>Dunnington, G. W. (2004). <em>Carl Friedrich Gauss: Titan of Science<\/em>. Washington, DC: Mathematical Association of America.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-48816 lazyload\" data-src=\"https:\/\/mathed.bru.ac.th\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/ChatGPT-Image-Jul-10-2026-11_37_44-AM-300x200.jpg\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"200\" data-srcset=\"https:\/\/mathed.bru.ac.th\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/ChatGPT-Image-Jul-10-2026-11_37_44-AM-300x200.jpg 300w, https:\/\/mathed.bru.ac.th\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/ChatGPT-Image-Jul-10-2026-11_37_44-AM-1024x683.jpg 1024w, https:\/\/mathed.bru.ac.th\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/ChatGPT-Image-Jul-10-2026-11_37_44-AM-18x12.jpg 18w, https:\/\/mathed.bru.ac.th\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/ChatGPT-Image-Jul-10-2026-11_37_44-AM.jpg 1536w\" data-sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==\" style=\"--smush-placeholder-width: 300px; 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