{"id":48851,"date":"2026-07-11T10:47:51","date_gmt":"2026-07-11T03:47:51","guid":{"rendered":"https:\/\/mathed.bru.ac.th\/?p=48851"},"modified":"2026-07-11T10:47:51","modified_gmt":"2026-07-11T03:47:51","slug":"%e0%b9%80%e0%b8%88-%e0%b8%94%e0%b8%b1%e0%b8%9a%e0%b9%80%e0%b8%9a%e0%b8%b4%e0%b8%a5%e0%b8%a2%e0%b8%b9-%e0%b9%80%e0%b8%ad%e0%b8%aa-%e0%b9%81%e0%b8%84%e0%b8%aa%e0%b9%80%e0%b8%8b%e0%b8%b4%e0%b8%a5","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathed.bru.ac.th\/en\/2026\/07\/11\/%e0%b9%80%e0%b8%88-%e0%b8%94%e0%b8%b1%e0%b8%9a%e0%b9%80%e0%b8%9a%e0%b8%b4%e0%b8%a5%e0%b8%a2%e0%b8%b9-%e0%b9%80%e0%b8%ad%e0%b8%aa-%e0%b9%81%e0%b8%84%e0%b8%aa%e0%b9%80%e0%b8%8b%e0%b8%b4%e0%b8%a5\/","title":{"rendered":"J.W.S. Castles: A number theorist who connected geometry to Diophantine equations."},"content":{"rendered":"<h1>J.W.S. Castles: A number theorist who connected geometry to Diophantine equations.<\/h1>\n<blockquote><p><strong>Today in the history of mathematics.<\/strong> | 11 \u0e01\u0e23\u0e01\u0e0e\u0e32\u0e04\u0e21 \u0e04.\u0e28. 1922<\/p><\/blockquote>\n<h2>\u0e1a\u0e17\u0e19\u0e33: \u0e08\u0e32\u0e01\u0e1c\u0e39\u0e49\u0e16\u0e2d\u0e14\u0e23\u0e2b\u0e31\u0e2a\u0e2a\u0e39\u0e48\u0e1b\u0e23\u0e21\u0e32\u0e08\u0e32\u0e23\u0e22\u0e4c\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19<\/h2>\n<p>\u0e08\u0e2d\u0e2b\u0e4c\u0e19 \u0e27\u0e34\u0e25\u0e40\u0e25\u0e35\u0e22\u0e21 \u0e2a\u0e04\u0e2d\u0e15\u0e15\u0e4c \u0e41\u0e04\u0e2a\u0e40\u0e0b\u0e34\u0e25\u0e2a\u0e4c (John William Scott Cassels) \u0e40\u0e01\u0e34\u0e14\u0e40\u0e21\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e27\u0e31\u0e19\u0e17\u0e35\u0e48 11 \u0e01\u0e23\u0e01\u0e0e\u0e32\u0e04\u0e21 \u0e04.\u0e28. 1922 \u0e17\u0e35\u0e48\u0e2a\u0e01\u0e2d\u0e15\u0e41\u0e25\u0e19\u0e14\u0e4c \u0e01\u0e48\u0e2d\u0e19\u0e08\u0e30\u0e40\u0e02\u0e49\u0e32\u0e28\u0e36\u0e01\u0e29\u0e32\u0e17\u0e35\u0e48\u0e21\u0e2b\u0e32\u0e27\u0e34\u0e17\u0e22\u0e32\u0e25\u0e31\u0e22\u0e40\u0e2d\u0e14\u0e34\u0e19\u0e1a\u0e30\u0e23\u0e30\u0e41\u0e25\u0e30\u0e40\u0e04\u0e21\u0e1a\u0e23\u0e34\u0e14\u0e08\u0e4c \u0e23\u0e30\u0e2b\u0e27\u0e48\u0e32\u0e07\u0e2a\u0e07\u0e04\u0e23\u0e32\u0e21\u0e42\u0e25\u0e01\u0e04\u0e23\u0e31\u0e49\u0e07\u0e17\u0e35\u0e48\u0e2a\u0e2d\u0e07 \u0e40\u0e02\u0e32\u0e17\u0e33\u0e07\u0e32\u0e19\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e19\u0e31\u0e01\u0e16\u0e2d\u0e14\u0e23\u0e2b\u0e31\u0e2a\u0e43\u0e2b\u0e49\u0e01\u0e31\u0e1a\u0e2b\u0e19\u0e48\u0e27\u0e22\u0e02\u0e48\u0e32\u0e27\u0e01\u0e23\u0e2d\u0e07\u0e2d\u0e31\u0e07\u0e01\u0e24\u0e29 \u0e0b\u0e36\u0e48\u0e07\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e2a\u0e1a\u0e01\u0e32\u0e23\u0e13\u0e4c\u0e23\u0e48\u0e27\u0e21\u0e01\u0e31\u0e1a\u0e19\u0e31\u0e01\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e0a\u0e31\u0e49\u0e19\u0e19\u0e33\u0e2b\u0e25\u0e32\u0e22\u0e04\u0e19\u0e43\u0e19\u0e22\u0e38\u0e04\u0e19\u0e31\u0e49\u0e19 \u0e01\u0e48\u0e2d\u0e19\u0e08\u0e30\u0e01\u0e25\u0e31\u0e1a\u0e21\u0e32\u0e28\u0e36\u0e01\u0e29\u0e32\u0e15\u0e48\u0e2d\u0e1b\u0e23\u0e34\u0e0d\u0e0d\u0e32\u0e40\u0e2d\u0e01\u0e14\u0e49\u0e32\u0e19\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e20\u0e32\u0e22\u0e43\u0e15\u0e49\u0e01\u0e32\u0e23\u0e14\u0e39\u0e41\u0e25\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e2b\u0e25\u0e38\u0e22\u0e2a\u0e4c \u0e21\u0e2d\u0e23\u0e4c\u0e40\u0e14\u0e25\u0e25\u0e4c (Louis Mordell) \u0e17\u0e35\u0e48\u0e40\u0e04\u0e21\u0e1a\u0e23\u0e34\u0e14\u0e08\u0e4c \u0e41\u0e25\u0e30\u0e20\u0e32\u0e22\u0e2b\u0e25\u0e31\u0e07\u0e14\u0e33\u0e23\u0e07\u0e15\u0e33\u0e41\u0e2b\u0e19\u0e48\u0e07 Sadleirian Professor of Pure Mathematics \u0e17\u0e35\u0e48\u0e40\u0e04\u0e21\u0e1a\u0e23\u0e34\u0e14\u0e08\u0e4c<\/p>\n<h2>\u0e40\u0e23\u0e02\u0e32\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19<\/h2>\n<p>\u0e2b\u0e19\u0e36\u0e48\u0e07\u0e43\u0e19\u0e2a\u0e32\u0e02\u0e32\u0e17\u0e35\u0e48\u0e41\u0e04\u0e2a\u0e40\u0e0b\u0e34\u0e25\u0e2a\u0e4c\u0e21\u0e35\u0e1a\u0e17\u0e1a\u0e32\u0e17\u0e2a\u0e33\u0e04\u0e31\u0e0d\u0e04\u0e37\u0e2d <strong>\u0e40\u0e23\u0e02\u0e32\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19 (geometry of numbers)<\/strong> \u0e0b\u0e36\u0e48\u0e07\u0e23\u0e34\u0e40\u0e23\u0e34\u0e48\u0e21\u0e42\u0e14\u0e22\u0e41\u0e2e\u0e23\u0e4c\u0e21\u0e31\u0e19\u0e19\u0e4c \u0e21\u0e34\u0e07\u0e04\u0e2d\u0e1f\u0e2a\u0e01\u0e35 \u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e19\u0e35\u0e49\u0e43\u0e0a\u0e49\u0e40\u0e23\u0e02\u0e32\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e42\u0e04\u0e23\u0e07\u0e02\u0e48\u0e32\u0e22\u0e08\u0e38\u0e14 (lattice) \u0e43\u0e19\u0e1b\u0e23\u0e34\u0e20\u0e39\u0e21\u0e34 $n$ \u0e21\u0e34\u0e15\u0e34 \u0e40\u0e1e\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e28\u0e36\u0e01\u0e29\u0e32\u0e1b\u0e31\u0e0d\u0e2b\u0e32\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19 \u0e15\u0e31\u0e27\u0e2d\u0e22\u0e48\u0e32\u0e07\u0e1e\u0e37\u0e49\u0e19\u0e10\u0e32\u0e19\u0e04\u0e37\u0e2d\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e1a\u0e17\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e21\u0e34\u0e07\u0e04\u0e2d\u0e1f\u0e2a\u0e01\u0e35\u0e17\u0e35\u0e48\u0e01\u0e25\u0e48\u0e32\u0e27\u0e27\u0e48\u0e32 \u0e16\u0e49\u0e32\u0e40\u0e0b\u0e15\u0e19\u0e39\u0e19\u0e2a\u0e21\u0e21\u0e32\u0e15\u0e23 $K \\subset \\mathbb{R}^n$ \u0e21\u0e35\u0e1b\u0e23\u0e34\u0e21\u0e32\u0e15\u0e23<\/p>\n<p>$$ \\text{vol}(K) &gt; 2^n $$<\/p>\n<p>\u0e41\u0e25\u0e49\u0e27 $K$ \u0e08\u0e30\u0e15\u0e49\u0e2d\u0e07\u0e21\u0e35\u0e08\u0e38\u0e14\u0e42\u0e04\u0e23\u0e07\u0e02\u0e48\u0e32\u0e22 (\u0e19\u0e2d\u0e01\u0e40\u0e2b\u0e19\u0e37\u0e2d\u0e08\u0e32\u0e01\u0e08\u0e38\u0e14\u0e01\u0e33\u0e40\u0e19\u0e34\u0e14) \u0e2d\u0e22\u0e39\u0e48\u0e20\u0e32\u0e22\u0e43\u0e19\u0e40\u0e2a\u0e21\u0e2d \u0e41\u0e04\u0e2a\u0e40\u0e0b\u0e34\u0e25\u0e2a\u0e4c\u0e40\u0e02\u0e35\u0e22\u0e19\u0e15\u0e33\u0e23\u0e32 <em>An Introduction to the Geometry of Numbers<\/em> (\u0e04.\u0e28. 1959) \u0e0b\u0e36\u0e48\u0e07\u0e01\u0e25\u0e32\u0e22\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e15\u0e33\u0e23\u0e32\u0e21\u0e32\u0e15\u0e23\u0e10\u0e32\u0e19\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e2a\u0e32\u0e02\u0e32\u0e19\u0e35\u0e49\u0e17\u0e31\u0e19\u0e17\u0e35<\/p>\n<h2>\u0e2a\u0e21\u0e01\u0e32\u0e23\u0e44\u0e14\u0e42\u0e2d\u0e41\u0e1f\u0e19\u0e44\u0e17\u0e19\u0e4c\u0e41\u0e25\u0e30\u0e40\u0e2a\u0e49\u0e19\u0e42\u0e04\u0e49\u0e07\u0e27\u0e07\u0e23\u0e35<\/h2>\n<p>\u0e41\u0e04\u0e2a\u0e40\u0e0b\u0e34\u0e25\u0e2a\u0e4c\u0e21\u0e35\u0e1c\u0e25\u0e07\u0e32\u0e19\u0e2a\u0e33\u0e04\u0e31\u0e0d\u0e14\u0e49\u0e32\u0e19 <strong>\u0e2a\u0e21\u0e01\u0e32\u0e23\u0e44\u0e14\u0e42\u0e2d\u0e41\u0e1f\u0e19\u0e44\u0e17\u0e19\u0e4c (Diophantine equations)<\/strong> and <strong>\u0e40\u0e2a\u0e49\u0e19\u0e42\u0e04\u0e49\u0e07\u0e27\u0e07\u0e23\u0e35 (elliptic curves)<\/strong> \u0e0b\u0e36\u0e48\u0e07\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e2a\u0e21\u0e01\u0e32\u0e23\u0e23\u0e39\u0e1b\u0e41\u0e1a\u0e1a<\/p>\n<p>$$ y^2 = x^3 + ax + b $$<\/p>\n<p>\u0e42\u0e14\u0e22\u0e28\u0e36\u0e01\u0e29\u0e32\u0e42\u0e04\u0e23\u0e07\u0e2a\u0e23\u0e49\u0e32\u0e07\u0e02\u0e2d\u0e07 &#8220;\u0e08\u0e38\u0e14\u0e15\u0e23\u0e23\u0e01\u0e22\u0e30&#8221; \u0e1a\u0e19\u0e40\u0e2a\u0e49\u0e19\u0e42\u0e04\u0e49\u0e07\u0e14\u0e31\u0e07\u0e01\u0e25\u0e48\u0e32\u0e27 \u0e0b\u0e36\u0e48\u0e07\u0e20\u0e32\u0e22\u0e43\u0e15\u0e49\u0e01\u0e32\u0e23\u0e14\u0e33\u0e40\u0e19\u0e34\u0e19\u0e01\u0e32\u0e23\u0e17\u0e32\u0e07\u0e40\u0e23\u0e02\u0e32\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e1e\u0e34\u0e40\u0e28\u0e29 (\u0e01\u0e32\u0e23\u0e25\u0e32\u0e01\u0e40\u0e2a\u0e49\u0e19\u0e15\u0e31\u0e14) \u0e08\u0e38\u0e14\u0e15\u0e23\u0e23\u0e01\u0e22\u0e30\u0e40\u0e2b\u0e25\u0e48\u0e32\u0e19\u0e35\u0e49\u0e08\u0e30\u0e23\u0e27\u0e21\u0e01\u0e31\u0e19\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e42\u0e04\u0e23\u0e07\u0e2a\u0e23\u0e49\u0e32\u0e07\u0e01\u0e23\u0e38\u0e1b\u0e2d\u0e32\u0e1a\u0e35\u0e40\u0e25\u0e35\u0e22\u0e19 \u0e41\u0e04\u0e2a\u0e40\u0e0b\u0e34\u0e25\u0e2a\u0e4c\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e1c\u0e39\u0e49\u0e23\u0e48\u0e27\u0e21\u0e1e\u0e31\u0e12\u0e19\u0e32\u0e41\u0e19\u0e27\u0e04\u0e34\u0e14\u0e40\u0e01\u0e35\u0e48\u0e22\u0e27\u0e01\u0e31\u0e1a <strong>\u0e01\u0e23\u0e38\u0e1b Tate\u2013Shafarevich<\/strong> \u0e0b\u0e36\u0e48\u0e07\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e2b\u0e19\u0e36\u0e48\u0e07\u0e43\u0e19\u0e1b\u0e23\u0e34\u0e28\u0e19\u0e32\u0e2a\u0e33\u0e04\u0e31\u0e0d\u0e17\u0e35\u0e48\u0e2a\u0e38\u0e14\u0e17\u0e35\u0e48\u0e22\u0e31\u0e07\u0e44\u0e21\u0e48\u0e16\u0e39\u0e01\u0e44\u0e02\u0e43\u0e19\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e40\u0e2a\u0e49\u0e19\u0e42\u0e04\u0e49\u0e07\u0e27\u0e07\u0e23\u0e35 \u0e41\u0e25\u0e30\u0e21\u0e35\u0e1a\u0e17\u0e1a\u0e32\u0e17\u0e42\u0e14\u0e22\u0e15\u0e23\u0e07\u0e43\u0e19\u0e01\u0e32\u0e23\u0e04\u0e32\u0e14\u0e04\u0e30\u0e40\u0e19\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e40\u0e1a\u0e34\u0e23\u0e4c\u0e0a-\u0e2a\u0e27\u0e34\u0e19\u0e40\u0e19\u0e2d\u0e23\u0e4c\u0e15\u0e31\u0e19-\u0e44\u0e14\u0e40\u0e2d\u0e2d\u0e23\u0e4c (Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture) \u0e0b\u0e36\u0e48\u0e07\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e2b\u0e19\u0e36\u0e48\u0e07\u0e43\u0e19\u0e40\u0e08\u0e47\u0e14\u0e1b\u0e31\u0e0d\u0e2b\u0e32\u0e23\u0e32\u0e07\u0e27\u0e31\u0e25\u0e21\u0e34\u0e25\u0e40\u0e25\u0e19\u0e40\u0e19\u0e35\u0e22\u0e21\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e2a\u0e16\u0e32\u0e1a\u0e31\u0e19\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e40\u0e04\u0e25\u0e22\u0e4c<\/p>\n<p>\u0e07\u0e32\u0e19\u0e27\u0e34\u0e08\u0e31\u0e22\u0e14\u0e49\u0e32\u0e19\u0e40\u0e2a\u0e49\u0e19\u0e42\u0e04\u0e49\u0e07\u0e27\u0e07\u0e23\u0e35\u0e43\u0e19\u0e2a\u0e32\u0e22\u0e17\u0e35\u0e48\u0e41\u0e04\u0e2a\u0e40\u0e0b\u0e34\u0e25\u0e2a\u0e4c\u0e23\u0e48\u0e27\u0e21\u0e1e\u0e31\u0e12\u0e19\u0e32 \u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e23\u0e32\u0e01\u0e10\u0e32\u0e19\u0e2a\u0e33\u0e04\u0e31\u0e0d\u0e17\u0e35\u0e48\u0e41\u0e2d\u0e19\u0e14\u0e23\u0e39\u0e27\u0e4c \u0e44\u0e27\u0e25\u0e2a\u0e4c (Andrew Wiles) \u0e19\u0e33\u0e44\u0e1b\u0e43\u0e0a\u0e49\u0e43\u0e19\u0e01\u0e32\u0e23\u0e1e\u0e34\u0e2a\u0e39\u0e08\u0e19\u0e4c <strong>\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e1a\u0e17\u0e2a\u0e38\u0e14\u0e17\u0e49\u0e32\u0e22\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e41\u0e1f\u0e23\u0e4c\u0e21\u0e32 (Fermat&#8217;s Last Theorem)<\/strong> \u0e2a\u0e33\u0e40\u0e23\u0e47\u0e08\u0e43\u0e19\u0e1b\u0e35 \u0e04.\u0e28. 1994\u20131995 \u0e42\u0e14\u0e22\u0e44\u0e27\u0e25\u0e2a\u0e4c\u0e40\u0e2d\u0e07\u0e01\u0e47\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e28\u0e34\u0e29\u0e22\u0e4c\u0e43\u0e19\u0e2a\u0e32\u0e22\u0e27\u0e34\u0e0a\u0e32\u0e01\u0e32\u0e23\u0e40\u0e14\u0e35\u0e22\u0e27\u0e01\u0e31\u0e1a\u0e41\u0e04\u0e2a\u0e40\u0e0b\u0e34\u0e25\u0e2a\u0e4c\u0e17\u0e35\u0e48\u0e40\u0e04\u0e21\u0e1a\u0e23\u0e34\u0e14\u0e08\u0e4c<\/p>\n<h2>\u0e19\u0e31\u0e01\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e1c\u0e39\u0e49\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e17\u0e31\u0e49\u0e07\u0e04\u0e23\u0e39\u0e41\u0e25\u0e30\u0e1c\u0e39\u0e49\u0e14\u0e39\u0e41\u0e25\u0e27\u0e32\u0e23\u0e2a\u0e32\u0e23<\/h2>\n<p>\u0e19\u0e2d\u0e01\u0e08\u0e32\u0e01\u0e07\u0e32\u0e19\u0e27\u0e34\u0e08\u0e31\u0e22 \u0e41\u0e04\u0e2a\u0e40\u0e0b\u0e34\u0e25\u0e2a\u0e4c\u0e22\u0e31\u0e07\u0e21\u0e35\u0e1a\u0e17\u0e1a\u0e32\u0e17\u0e2a\u0e33\u0e04\u0e31\u0e0d\u0e43\u0e19\u0e10\u0e32\u0e19\u0e30\u0e1a\u0e23\u0e23\u0e13\u0e32\u0e18\u0e34\u0e01\u0e32\u0e23\u0e27\u0e32\u0e23\u0e2a\u0e32\u0e23\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e0a\u0e31\u0e49\u0e19\u0e19\u0e33 \u0e40\u0e0a\u0e48\u0e19 <em>Acta Arithmetica<\/em> and <em>Proceedings of the London Mathematical Society<\/em> \u0e41\u0e25\u0e30\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e2d\u0e32\u0e08\u0e32\u0e23\u0e22\u0e4c\u0e17\u0e35\u0e48\u0e1b\u0e23\u0e36\u0e01\u0e29\u0e32\u0e43\u0e2b\u0e49\u0e01\u0e31\u0e1a\u0e19\u0e31\u0e01\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e23\u0e38\u0e48\u0e19\u0e15\u0e48\u0e2d\u0e21\u0e32\u0e2b\u0e25\u0e32\u0e22\u0e04\u0e19\u0e17\u0e35\u0e48\u0e15\u0e48\u0e2d\u0e21\u0e32\u0e21\u0e35\u0e0a\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e40\u0e2a\u0e35\u0e22\u0e07\u0e23\u0e30\u0e14\u0e31\u0e1a\u0e42\u0e25\u0e01<\/p>\n<h2>\u0e21\u0e23\u0e14\u0e01\u0e17\u0e35\u0e48\u0e22\u0e31\u0e07\u0e43\u0e0a\u0e49\u0e2d\u0e22\u0e39\u0e48<\/h2>\n<p>\u0e15\u0e33\u0e23\u0e32 <em>An Introduction to the Geometry of Numbers<\/em> \u0e02\u0e2d\u0e07\u0e41\u0e04\u0e2a\u0e40\u0e0b\u0e34\u0e25\u0e2a\u0e4c\u0e22\u0e31\u0e07\u0e04\u0e07\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e15\u0e33\u0e23\u0e32\u0e2d\u0e49\u0e32\u0e07\u0e2d\u0e34\u0e07\u0e21\u0e32\u0e15\u0e23\u0e10\u0e32\u0e19\u0e43\u0e19\u0e2b\u0e25\u0e31\u0e01\u0e2a\u0e39\u0e15\u0e23\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e02\u0e31\u0e49\u0e19\u0e2a\u0e39\u0e07\u0e17\u0e31\u0e48\u0e27\u0e42\u0e25\u0e01 \u0e2a\u0e48\u0e27\u0e19\u0e07\u0e32\u0e19\u0e27\u0e34\u0e08\u0e31\u0e22\u0e14\u0e49\u0e32\u0e19\u0e40\u0e2a\u0e49\u0e19\u0e42\u0e04\u0e49\u0e07\u0e27\u0e07\u0e23\u0e35\u0e17\u0e35\u0e48\u0e40\u0e02\u0e32\u0e23\u0e48\u0e27\u0e21\u0e1a\u0e38\u0e01\u0e40\u0e1a\u0e34\u0e01\u0e22\u0e31\u0e07\u0e04\u0e07\u0e40\u0e1b\u0e47\u0e19\u0e2a\u0e32\u0e02\u0e32\u0e27\u0e34\u0e08\u0e31\u0e22\u0e17\u0e35\u0e48\u0e15\u0e37\u0e48\u0e19\u0e15\u0e31\u0e27\u0e21\u0e32\u0e01\u0e17\u0e35\u0e48\u0e2a\u0e38\u0e14\u0e2a\u0e32\u0e02\u0e32\u0e2b\u0e19\u0e36\u0e48\u0e07\u0e43\u0e19\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e08\u0e33\u0e19\u0e27\u0e19\u0e2a\u0e21\u0e31\u0e22\u0e43\u0e2b\u0e21\u0e48 \u0e17\u0e31\u0e49\u0e07\u0e43\u0e19\u0e40\u0e0a\u0e34\u0e07\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e1a\u0e23\u0e34\u0e2a\u0e38\u0e17\u0e18\u0e34\u0e4c\u0e41\u0e25\u0e30\u0e01\u0e32\u0e23\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e22\u0e38\u0e01\u0e15\u0e4c\u0e43\u0e0a\u0e49\u0e43\u0e19\u0e01\u0e32\u0e23\u0e40\u0e02\u0e49\u0e32\u0e23\u0e2b\u0e31\u0e2a\u0e14\u0e49\u0e27\u0e22\u0e40\u0e2a\u0e49\u0e19\u0e42\u0e04\u0e49\u0e07\u0e27\u0e07\u0e23\u0e35 (Elliptic Curve Cryptography) \u0e17\u0e35\u0e48\u0e43\u0e0a\u0e49\u0e1b\u0e01\u0e1b\u0e49\u0e2d\u0e07\u0e02\u0e49\u0e2d\u0e21\u0e39\u0e25\u0e14\u0e34\u0e08\u0e34\u0e17\u0e31\u0e25\u0e17\u0e31\u0e48\u0e27\u0e42\u0e25\u0e01\u0e43\u0e19\u0e1b\u0e31\u0e08\u0e08\u0e38\u0e1a\u0e31\u0e19<\/p>\n<h2>Thought-provoking activities<\/h2>\n<ol>\n<li>\u0e15\u0e23\u0e27\u0e08\u0e2a\u0e2d\u0e1a\u0e27\u0e48\u0e32\u0e08\u0e38\u0e14 $(0, 0)$ \u0e2d\u0e22\u0e39\u0e48\u0e1a\u0e19\u0e40\u0e2a\u0e49\u0e19\u0e42\u0e04\u0e49\u0e07\u0e27\u0e07\u0e23\u0e35 $y^2 = x^3 &#8211; x$ \u0e2b\u0e23\u0e37\u0e2d\u0e44\u0e21\u0e48 \u0e41\u0e25\u0e49\u0e27\u0e2b\u0e32\u0e08\u0e38\u0e14\u0e15\u0e23\u0e23\u0e01\u0e22\u0e30\u0e2d\u0e37\u0e48\u0e19\u0e2d\u0e35\u0e01\u0e2d\u0e22\u0e48\u0e32\u0e07\u0e19\u0e49\u0e2d\u0e22 1 \u0e08\u0e38\u0e14<\/li>\n<li>\u0e2d\u0e18\u0e34\u0e1a\u0e32\u0e22\u0e41\u0e19\u0e27\u0e04\u0e34\u0e14\u0e40\u0e1a\u0e37\u0e49\u0e2d\u0e07\u0e15\u0e49\u0e19\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e17\u0e24\u0e29\u0e0e\u0e35\u0e1a\u0e17\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e21\u0e34\u0e07\u0e04\u0e2d\u0e1f\u0e2a\u0e01\u0e35\u0e14\u0e49\u0e27\u0e22\u0e15\u0e31\u0e27\u0e2d\u0e22\u0e48\u0e32\u0e07\u0e43\u0e19\u0e23\u0e30\u0e19\u0e32\u0e1a\u0e2a\u0e2d\u0e07\u0e21\u0e34\u0e15\u0e34 ($n = 2$)<\/li>\n<li>\u0e2a\u0e37\u0e1a\u0e04\u0e49\u0e19\u0e27\u0e48\u0e32\u0e01\u0e32\u0e23\u0e40\u0e02\u0e49\u0e32\u0e23\u0e2b\u0e31\u0e2a\u0e14\u0e49\u0e27\u0e22\u0e40\u0e2a\u0e49\u0e19\u0e42\u0e04\u0e49\u0e07\u0e27\u0e07\u0e23\u0e35 (ECC) \u0e19\u0e33\u0e42\u0e04\u0e23\u0e07\u0e2a\u0e23\u0e49\u0e32\u0e07\u0e01\u0e23\u0e38\u0e1b\u0e02\u0e2d\u0e07\u0e08\u0e38\u0e14\u0e15\u0e23\u0e23\u0e01\u0e22\u0e30\u0e44\u0e1b\u0e43\u0e0a\u0e49\u0e07\u0e32\u0e19\u0e08\u0e23\u0e34\u0e07\u0e2d\u0e22\u0e48\u0e32\u0e07\u0e44\u0e23<\/li>\n<li>\u0e2d\u0e20\u0e34\u0e1b\u0e23\u0e32\u0e22\u0e27\u0e48\u0e32\u0e40\u0e1e\u0e23\u0e32\u0e30\u0e40\u0e2b\u0e15\u0e38\u0e43\u0e14\u0e1b\u0e31\u0e0d\u0e2b\u0e32\u0e17\u0e35\u0e48\u0e14\u0e39\u0e40\u0e23\u0e35\u0e22\u0e1a\u0e07\u0e48\u0e32\u0e22\u0e2d\u0e22\u0e48\u0e32\u0e07\u0e2a\u0e21\u0e01\u0e32\u0e23\u0e44\u0e14\u0e42\u0e2d\u0e41\u0e1f\u0e19\u0e44\u0e17\u0e19\u0e4c\u0e08\u0e36\u0e07\u0e15\u0e49\u0e2d\u0e07\u0e2d\u0e32\u0e28\u0e31\u0e22\u0e40\u0e04\u0e23\u0e37\u0e48\u0e2d\u0e07\u0e21\u0e37\u0e2d\u0e40\u0e23\u0e02\u0e32\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e02\u0e31\u0e49\u0e19\u0e2a\u0e39\u0e07\u0e43\u0e19\u0e01\u0e32\u0e23\u0e44\u0e02<\/li>\n<\/ol>\n<h2>References<\/h2>\n<ul>\n<li>Cassels, J. W. S. (1959). <em>An Introduction to the Geometry of Numbers<\/em>. Springer.<\/li>\n<li>Cassels, J. W. S. (1991). <em>Lectures on Elliptic Curves<\/em>. Cambridge University Press.<\/li>\n<li>Cassels, J. W. S. (1966). Diophantine equations with special reference to elliptic curves. <em>Journal of the London Mathematical Society, 41<\/em>, 193\u2013291.<\/li>\n<li>Silverman, J. H. (2009). <em>The Arithmetic of Elliptic Curves<\/em> (2nd ed.). Springer.<\/li>\n<\/ul>\n<hr>\n<p><em>\u0e0a\u0e38\u0e14\u0e1a\u0e17\u0e04\u0e27\u0e32\u0e21 &#8220;\u0e27\u0e31\u0e19\u0e19\u0e35\u0e49\u0e43\u0e19\u0e1b\u0e23\u0e30\u0e27\u0e31\u0e15\u0e34\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c\u0e04\u0e13\u0e34\u0e15\u0e28\u0e32\u0e2a\u0e15\u0e23\u0e4c&#8221; \u2014 \u0e40\u0e1c\u0e22\u0e41\u0e1e\u0e23\u0e48 11 \u0e01\u0e23\u0e01\u0e0e\u0e32\u0e04\u0e21 2569<\/em><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-48852 lazyload\" data-src=\"https:\/\/mathed.bru.ac.th\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/ChatGPT-Image-Jul-11-2026-10_47_01-AM-300x200.jpg\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"200\" data-srcset=\"https:\/\/mathed.bru.ac.th\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/ChatGPT-Image-Jul-11-2026-10_47_01-AM-300x200.jpg 300w, https:\/\/mathed.bru.ac.th\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/ChatGPT-Image-Jul-11-2026-10_47_01-AM-1024x683.jpg 1024w, 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