---

EGHPAK! The day Gauss discovered that every number is the sum of up to three triangular digits.

จุดเริ่มต้น: บรรทัดเดียวที่เปลี่ยนประวัติศาสตร์

วันที่ 10 กรกฎาคม ค.ศ. 1796 (พ.ศ. 2339) คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (Carl Friedrich Gauss) นักคณิตศาสตร์วัยเพียง 19 ปี เปิดสมุดบันทึกทางคณิตศาสตร์ส่วนตัว (mathematical diary) แล้วเขียนลงไปเพียงบรรทัดเดียวเป็นภาษากรีกโบราณผสมสัญลักษณ์คณิตศาสตร์:

$$ \text{ΕΥΡΗΚΑ!}\qquad \text{num} = \Delta + \Delta + \Delta $$

คำว่า “ΕΥΡΗΚΑ” แปลว่า “ข้าพเจ้าพบแล้ว” ยืมมาจากตำนานอาร์คิมิดีสที่วิ่งออกจากอ่างอาบน้ำด้วยความดีใจ ส่วน “num = Δ + Δ + Δ” คือทฤษฎีบทที่เกาส์เพิ่งพิสูจน์ได้สำเร็จ นั่นคือ จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนสามารถเขียนเป็นผลบวกของจำนวนสามเหลี่ยม (triangular number) ได้ไม่เกินสามตัว

สมุดบันทึกเล่มนี้มีทั้งหมด 146 รายการ บันทึกไว้ตั้งแต่ปี 1796 ถึง 1814 แต่ไม่เคยถูกตีพิมพ์ในช่วงชีวิตของเกาส์ และถูกค้นพบอีกครั้งในปี 1898 กว่า 40 ปีหลังเขาเสียชีวิต

จำนวนสามเหลี่ยมคืออะไร

จำนวนสามเหลี่ยม $T_n$ คือผลบวกของจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง $n$

$$ T_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} $$

ชื่อนี้มาจากการที่สามารถจัดจุดเป็นรูปสามเหลี่ยมได้พอดี เช่น

• $T_1 = 1$
• $T_2 = 3$
• $T_3 = 6$
• $T_4 = 10$
• $T_5 = 15$
• $T_6 = 21$
• $T_7 = 28$

ทฤษฎีบทของเกาส์บอกว่า จำนวนเต็มบวกใด ๆ เขียนได้ในรูป $T_a + T_b + T_c$ โดยที่ $a, b, c \geq 0$ (อนุญาตให้ $T_0 = 0$ ได้ เพื่อครอบคลุมกรณีที่ใช้จำนวนสามเหลี่ยมน้อยกว่าสามตัว)

ตัวอย่าง:

• $17 = 1 + 6 + 10 = T_1 + T_3 + T_4$
• $20 = 3 + 6 + 10 + \dots$ ลองใหม่: $20 = 10 + 10 + 0 = T_4 + T_4 + T_0$
• $50 = 45 + 3 + 1$… หรือง่ายกว่านั้น $50 = 28 + 21 + 1 = T_7 + T_6 + T_1$

ลองตรวจสอบเองดูได้ว่าทุกจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 30 สามารถเขียนแบบนี้ได้จริง

ทำไมเรื่องนี้ถึงยากและสำคัญ

ทฤษฎีบทนี้เป็นกรณีพิเศษของสิ่งที่เรียกว่า ทฤษฎีบทจำนวนรูปหลายเหลี่ยมของแฟร์มา (Fermat polygonal number theorem) ซึ่งปีแยร์ เดอ แฟร์มา เคยกล่าวไว้ (โดยไม่มีการพิสูจน์) ตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่ 17 ว่า

• จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนเขียนเป็นผลบวกของจำนวนสามเหลี่ยมได้ไม่เกิน 3 ตัว
• จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนเขียนเป็นผลบวกของจำนวนกำลังสองได้ไม่เกิน 4 ตัว
• จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนเขียนเป็นผลบวกของจำนวนห้าเหลี่ยมได้ไม่เกิน 5 ตัว
• และเป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ สำหรับจำนวน $k$-เหลี่ยม ใช้ไม่เกิน $k$ ตัว

กรณีของจำนวนกำลังสอง (4 ตัว) ได้รับการพิสูจน์โดยโฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากรองจ์ ในปี 1770 ส่วนกรณีทั่วไปสำหรับจำนวน $k$-เหลี่ยมทุกค่าเพิ่งได้รับการพิสูจน์สมบูรณ์โดยโอกุสแต็ง-หลุยส์ โกชี ในปี 1813 เกาส์คือผู้พิสูจน์ กรณีจำนวนสามเหลี่ยม สำเร็จเป็นคนแรก ซึ่งเป็นก้าวสำคัญที่ปูทางไปสู่ผลลัพธ์ทั่วไป

เบื้องหลังการพิสูจน์ของเกาส์เชื่อมโยงกับทฤษฎีรูปแบบกำลังสองตรีวิภาค (ternary quadratic forms) ซึ่งเป็นหัวข้อที่เขาศึกษาอย่างลึกซึ้งและต่อมากลายเป็นแกนสำคัญของหนังสือ Disquisitiones Arithmeticae (ตีพิมพ์ปี 1801) ผลงานที่วางรากฐานทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่ทั้งหมด

เกาส์ในวัย 19 ปี

ปี 1796 ถือเป็น “ปีมหัศจรรย์” (annus mirabilis) ของเกาส์อย่างแท้จริง ปีเดียวกันนี้เขายังค้นพบว่าสามารถสร้างรูปสิบเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่า (17-gon) ด้วยวงเวียนและสันตรงได้ ซึ่งเป็นการค้นพบที่ทำให้เขาตัดสินใจอุทิศชีวิตให้กับคณิตศาสตร์แทนภาษาศาสตร์ที่เคยลังเลจะเลือกเรียน

เกาส์เกิดในครอบครัวยากจนที่เมืองเบราน์ชไวก์ (Braunschweig) ประเทศเยอรมนี ได้รับทุนสนับสนุนจากดยุกแห่งเบราน์ชไวก์ให้เรียนต่อ และแสดงพรสวรรค์ทางคณิตศาสตร์ตั้งแต่เด็ก เรื่องเล่าที่โด่งดังคือครูให้เด็กนักเรียนบวกเลข 1 ถึง 100 เพื่อถ่วงเวลา แต่เกาส์คำนวณคำตอบได้แทบจะทันทีด้วยการจับคู่ตัวเลขหัวท้าย ซึ่งเป็นสูตรเดียวกับที่ใช้หาค่าจำนวนสามเหลี่ยมนั่นเอง

จากบรรทัดเดียวสู่มรดกทางคณิตศาสตร์

แนวคิดเรื่องการเขียนจำนวนเต็มเป็นผลบวกของจำนวนในรูปแบบพิเศษ (sum of squares, sum of triangular numbers, sum of polygonal numbers) ยังคงเป็นสาขาการวิจัยที่มีชีวิตชีวาในทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่ ทฤษฎีรูปแบบกำลังสอง (quadratic forms) ที่เกาส์วางรากฐานไว้ ถูกนำไปพัฒนาต่อโดยนักคณิตศาสตร์รุ่นหลัง เช่น ทฤษฎีของรูปแบบกำลังสองแบบแยกส่วน (theory of modular forms) ซึ่งเชื่อมโยงกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาในคริสต์ศตวรรษที่ 20

ในระดับที่เข้าถึงง่ายกว่านั้น ทฤษฎีบทนี้ยังเป็นตัวอย่างคลาสสิกที่ใช้สอนเรื่อง “การพิสูจน์การมีอยู่” (existence proof) และความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตกับพีชคณิตในระดับมหาวิทยาลัย

กิจกรรมสำหรับผู้เรียน

1. ตรวจสอบด้วยมือ: หาการแยกตัวแบบ $T_a + T_b + T_c$ ของจำนวน 1 ถึง 20 ทุกจำนวน (อนุญาตให้ใช้ $T_0 = 0$)
2. เขียนโปรแกรม: เขียนโปรแกรมสั้น ๆ (Python) ค้นหาการแยกตัวแบบจำนวนสามเหลี่ยมสามตัวของจำนวนเต็มบวกใด ๆ ที่ผู้ใช้ป้อนเข้ามา แล้วทดสอบกับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 1000
3. โจทย์พิสูจน์ระดับต้น: พิสูจน์ว่า $8n+3$ เป็นจำนวนเต็มบวกทุกตัวเขียนเป็นผลบวกของเลขคี่กำลังสองสามตัวได้ (คำใบ้: ใช้ความสัมพันธ์ $8T_n + 1 = (2n+1)^2$ เชื่อมโยงจำนวนสามเหลี่ยมกับจำนวนกำลังสอง)
4. อภิปรายในชั้นเรียน: เปรียบเทียบทฤษฎีบทจำนวนสามเหลี่ยม (3 ตัว) กับทฤษฎีบทสี่จำนวนกำลังสองของลากรองจ์ (4 ตัว) เหตุใดจำนวนของพจน์ที่ต้องการจึงต่างกันตามรูปหลายเหลี่ยม

References

• Gauss, C. F. (1796). Mathematisches Tagebuch 1796–1814 (Mathematical Diary), entry no. 18.
• Gauss, C. F. (1801). Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig: Gerhard Fleischer.
• Cauchy, A.-L. (1813). ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนรูปหลายเหลี่ยมของแฟร์มาในกรณีทั่วไป นำเสนอต่อ Institut de France
• Weil, A. (1984). Number Theory: An Approach Through History from Hammurapi to Legendre. Boston: Birkhäuser.
• Dunnington, G. W. (2004). Carl Friedrich Gauss: Titan of Science. Washington, DC: Mathematical Association of America.