เจมส์ วอดเดลล์ อเล็กซานเดอร์ที่สอง: ผู้บุกเบิกทฤษฎีปมและหนึ่งในผู้ก่อตั้งสถาบันแห่งพรินซ์ตัน

จากตระกูลนักธุรกิจและศิลปินผู้มีชื่อเสียงในสหรัฐอเมริกา สู่การเป็นหนึ่งในผู้บุกเบิกสำคัญที่สุดของทอพอโลยีเชิงพีชคณิต (algebraic topology) และทฤษฎีปม (knot theory) เจมส์ วอดเดลล์ อเล็กซานเดอร์ที่สอง (James Waddell Alexander II) คือนักคณิตศาสตร์อเมริกันผู้ทิ้งมรดกทางความคิดที่ยังคงมีอิทธิพลอย่างลึกซึ้งต่อวงการคณิตศาสตร์สมัยใหม่มาจนถึงทุกวันนี้

ชีวิตช่วงต้นในครอบครัวผู้มีชื่อเสียง

อเล็กซานเดอร์เกิดเมื่อวันที่ 19 กันยายน ค.ศ. 1888 ที่เมืองซีไบรต์ รัฐนิวเจอร์ซี สหรัฐอเมริกา เขามาจากครอบครัวพรินซ์ตันเก่าแก่ที่มีชื่อเสียงโด่งดัง เป็นบุตรคนเดียวของ จอห์น ไวต์ อเล็กซานเดอร์ (John White Alexander) จิตรกรชาวอเมริกันผู้มีชื่อเสียงจากผลงานภาพจิตรกรรมฝาผนังที่หอสมุดรัฐสภาสหรัฐอเมริกา และ Elizabeth Alexander ปู่ฝ่ายมารดาของเขา James Waddell Alexander เคยดำรงตำแหน่งประธานของ Equitable Life Assurance Society ทำให้ครอบครัวของเขามีฐานะทางสังคมที่มั่งคั่ง และเปิดโอกาสให้เขาได้มีปฏิสัมพันธ์กับสังคมชั้นสูงในสหรัฐอเมริกาและต่างประเทศตั้งแต่วัยเยาว์

อเล็กซานเดอร์ศึกษาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน โดยมี ออสวอลด์ เวเบลน (Oswald Veblen) เป็นอาจารย์ผู้สอน เขาสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรีในปี ค.ศ. 1910 และปริญญาโทในปี ค.ศ. 1911 หลังจากนั้นเขาทำงานเป็นอาจารย์ผู้สอนในภาควิชาคณิตศาสตร์ของพรินซ์ตันเป็นเวลาหนึ่งปี ก่อนเดินทางไปยุโรปเพื่อศึกษาต่อที่กรุงปารีสและเมืองโบโลญญาระหว่างปี ค.ศ. 1912–1915 เมื่อเดินทางกลับพรินซ์ตัน เขาได้ยื่นวิทยานิพนธ์เรื่อง “Functions Which Map the Interior of the Unit Circle Upon Simple Regions” และได้รับปริญญาเอกในปี ค.ศ. 1915

รับใช้ชาติในสงครามโลกครั้งที่หนึ่ง

เมื่อสหรัฐอเมริกาเข้าร่วมสงครามโลกครั้งที่หนึ่งในปี ค.ศ. 1917 อเล็กซานเดอร์ได้รับหน้าที่เป็นร้อยโทในกองทัพสหรัฐอเมริกา และประจำการอยู่ที่ Aberdeen Proving Ground ในรัฐแมริแลนด์ ซึ่งเป็นสถานที่ทดสอบอาวุธยุทโธปกรณ์ที่สำคัญของกองทัพ

ผู้บุกเบิกทอพอโลยีเชิงพีชคณิตที่พรินซ์ตัน

หลังสงครามสิ้นสุดลง อเล็กซานเดอร์เดินทางกลับพรินซ์ตันและกลายเป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มนักคณิตศาสตร์ผู้มีอิทธิพลด้านทอพอโลยีที่มหาวิทยาลัยแห่งนี้ ร่วมกับ ออสวอลด์ เวเบลน และ โซโลมอน เลฟเชตซ์ (Solomon Lefschetz) เขาดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์ที่พรินซ์ตันตั้งแต่ปี ค.ศ. 1920–1951

ผลงานในช่วงแรกของอเล็กซานเดอร์เกี่ยวข้องกับการศึกษาแมนิโฟลด์มิติ n ร่วมกับเวเบลน และงานสำคัญเรื่อง การพิสูจน์ความไม่แปรเปลี่ยนของค่าคงที่บางประการในทอพอโลยี (analysis situs) เขายังเป็นผู้ริเริ่มแนวคิดสำคัญเรื่อง โฮโมโลยีเอกฐาน (singular homology) และ โคโฮโมโลยีเอกฐาน (singular cohomology) ผ่านทางแนวคิดโฮโมโลยีของโซ่ (chain homology) และโคโฮโมโลยีของโคเชน (cochain cohomology) ซึ่งกลายเป็นเครื่องมือพื้นฐานที่สำคัญที่สุดชิ้นหนึ่งของทอพอโลยีเชิงพีชคณิตสมัยใหม่

พหุนามอเล็กซานเดอร์: เครื่องมือสำคัญในทฤษฎีปม

ผลงานที่สร้างชื่อเสียงให้กับอเล็กซานเดอร์มากที่สุดคือการค้นพบ พหุนามอเล็กซานเดอร์ (Alexander polynomial) ในปี ค.ศ. 1928 ซึ่งเป็นตัวไม่แปรเปลี่ยน (invariant) ที่สำคัญที่สุดชิ้นหนึ่งในสาขาทฤษฎีปม (knot theory) พหุนามนี้ช่วยให้นักคณิตศาสตร์สามารถจำแนกความแตกต่างระหว่างปมชนิดต่าง ๆ ได้ในเชิงพีชคณิต แทนที่จะต้องอาศัยการพิจารณาด้วยสายตาเพียงอย่างเดียว

การค้นพบพหุนามอเล็กซานเดอร์ถือเป็นก้าวสำคัญที่เปิดประตูให้ทฤษฎีปมกลายเป็นสาขาคณิตศาสตร์ที่มีความเข้มงวดทางพีชคณิตมากยิ่งขึ้น ในเวลาต่อมา จอห์น ฮอร์ตัน คอนเวย์ (John Horton Conway) ได้พัฒนาต่อยอดแนวคิดนี้จนกลายเป็น พหุนามอเล็กซานเดอร์-คอนเวย์ (Alexander–Conway polynomial) ซึ่งเป็นรูปแบบที่ปรับปรุงและใช้งานง่ายยิ่งขึ้น พหุนามอเล็กซานเดอร์ยังคงเป็นเครื่องมือพื้นฐานสำคัญที่นักคณิตศาสตร์ทฤษฎีปมทั่วโลกใช้งานมาจนถึงปัจจุบัน แม้จะมีตัวไม่แปรเปลี่ยนที่ทรงพลังกว่าถูกค้นพบในเวลาต่อมา เช่น พหุนามโจนส์ (Jones polynomial)

ผลงานสำคัญอื่น ๆ ในทอพอโลยี

นอกเหนือจากพหุนามอเล็กซานเดอร์แล้ว เขายังทิ้งผลงานและแนวคิดสำคัญอื่น ๆ ที่ตั้งชื่อตามเขาไว้อีกมากมาย เช่น ทวิลักษณะอเล็กซานเดอร์ (Alexander duality) ซึ่งเป็นทฤษฎีบทสำคัญที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างโฮโมโลยีของเซตย่อยหนึ่งกับโคโฮโมโลยีของส่วนประกอบของเซตนั้นในทรงกลม และ กลเม็ดอเล็กซานเดอร์ (Alexander’s trick) ซึ่งเป็นเทคนิคสำคัญที่แสดงให้เห็นว่าโฮโมมอร์ฟิซึมใด ๆ ของทรงกลมหน่วยสามารถขยายไปเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของลูกบอลหน่วยได้ รวมถึง ทฤษฎีบทความกระชับของอเล็กซานเดอร์ (Alexander’s Compactness Theorem) หรือที่รู้จักกันในชื่อ Alexander’s Sub-Basis Theorem ในทอพอโลยีเซตทั่วไป

หนึ่งในสมาชิกผู้ก่อตั้งสถาบัน Institute for Advanced Study

คุณูปการที่สำคัญไม่แพ้ผลงานวิจัยของอเล็กซานเดอร์คือบทบาทของเขาในฐานะหนึ่งในสมาชิกผู้ก่อตั้งคนแรกของ Institute for Advanced Study ที่เมืองพรินซ์ตัน ซึ่งก่อตั้งขึ้นในปี ค.ศ. 1930 เขาดำรงตำแหน่งคณาจารย์ของสถาบันแห่งนี้ระหว่างปี ค.ศ. 1933–1947 ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่สถาบันแห่งนี้กำลังกลายเป็นศูนย์กลางความคิดทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ทฤษฎีที่สำคัญที่สุดแห่งหนึ่งของโลก โดยมีนักวิทยาศาสตร์ระดับตำนานอย่าง อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ทำงานอยู่ที่นั่นในช่วงเวลาเดียวกัน

ชีวิตส่วนตัวและเกียรติยศ

ในวันที่ 11 มกราคม ค.ศ. 1918 อเล็กซานเดอร์แต่งงานกับ Natalia Levitzkaja หญิงชาวรัสเซีย ทั้งคู่มีบุตรด้วยกันสองคน ตลอดชีวิตการทำงาน เขาได้รับ รางวัลโบเชอร์ (Bôcher Memorial Prize) จากสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันในปี ค.ศ. 1928 อันเป็นการยืนยันถึงคุณค่าของผลงานวิจัยด้านการวิเคราะห์และทอพอโลยีของเขา นอกจากนี้เขายังได้รับเลือกเป็นสมาชิกของ National Academy of Sciences ในปี ค.ศ. 1930

The final stage of life and the legacy left behind

เจมส์ วอดเดลล์ อเล็กซานเดอร์ที่สองเสียชีวิตเมื่อวันที่ 23 กันยายน ค.ศ. 1971 ที่เมืองพรินซ์ตัน รัฐนิวเจอร์ซี ขณะอายุ 83 ปี เพียงสี่วันหลังวันเกิดปีที่ 83 ของเขา ตลอดชีวิตการทำงาน เขาได้สร้างมรดกทางคณิตศาสตร์ที่ยั่งยืนในสองด้านสำคัญ ทั้งในฐานะผู้บุกเบิกทอพอโลยีเชิงพีชคณิตที่ช่วยวางรากฐานให้กับสาขานี้ในยุคเริ่มต้น และในฐานะหนึ่งในผู้ก่อตั้งสถาบันวิจัยที่มีชื่อเสียงระดับโลกอย่าง Institute for Advanced Study

พหุนามอเล็กซานเดอร์และแนวคิดอื่น ๆ ที่เขาทิ้งไว้ยังคงเป็นเครื่องมือพื้นฐานสำคัญที่นักคณิตศาสตร์ทฤษฎีปมและทอพอโลยีทั่วโลกใช้งานอยู่ในปัจจุบัน สะท้อนให้เห็นถึงคุณูปการอันยั่งยืนของนักคณิตศาสตร์ผู้เดินทางจากโลกแห่งศิลปะและธุรกิจ สู่การเป็นหนึ่งในผู้บุกเบิกสำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่