มักซ์ เนอเธอร์: หนึ่งในผู้นำเรขาคณิตเชิงพีชคณิตแห่งศตวรรษที่ 19 และบิดาของเอมมี เนอเธอร์

ในวงการคณิตศาสตร์เยอรมันแห่งศตวรรษที่ 19 มีนักคณิตศาสตร์ท่านหนึ่งที่ได้รับการยกย่องว่าเป็นหนึ่งในผู้นำคนสำคัญของสาขาเรขาคณิตเชิงพีชคณิต และยังเป็นที่รู้จักในฐานะบิดาของนักคณิตศาสตร์หญิงผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งในประวัติศาสตร์ นั่นคือ มักซ์ เนอเธอร์ (Max Noether) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เกิดเมื่อวันที่ 24 กันยายน ค.ศ. 1844 ที่เมืองมันไฮม์ แคว้นบาเดิน ประเทศเยอรมนี

ชีวิตช่วงต้นและโศกนาฏกรรมจากโรคโปลิโอ

เนอเธอร์เกิดในครอบครัวชาวยิวที่ประกอบธุรกิจค้าส่งอุปกรณ์ฮาร์ดแวร์ที่มั่งคั่ง ซึ่งปู่ของเขา เอเลียส ซามูเอล เป็นผู้ก่อตั้งกิจการนี้ขึ้นที่เมืองบรุคซาลตั้งแต่ปี ค.ศ. 1797 เป็นที่น่าสนใจว่านามสกุล “เนอเธอร์” ของครอบครัวนี้มีที่มาจากพระราชกฤษฎีกาแห่งความอดกลั้น (Tolerance Edict) ที่รัฐบาเดินประกาศใช้ในปี ค.ศ. 1809 ซึ่งกำหนดให้ชาวยิวทุกคนต้องรับนามสกุลแบบเยอรมัน ปู่ของเขาจึงเลือกนามสกุล “เนอเธอร์” และเปลี่ยนชื่อบุตรชายจากเฮิร์ตซ์เป็นแฮร์มันน์ ซึ่งกลายเป็นบิดาของมักซ์ในเวลาต่อมา

เนอเธอร์เข้าเรียนที่โรงเรียนในเมืองมันไฮม์ แต่เมื่ออายุได้ 14 ปี เขาป่วยเป็นโรคโปลิโอซึ่งทำให้เขาไม่สามารถเดินได้เป็นเวลาสองปี และทิ้งความพิการถาวรไว้กับเขาตลอดชีวิต อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่ได้หยุดยั้งความมุ่งมั่นทางวิชาการของเขา เขาได้รับการสอนที่บ้านจนสามารถจบหลักสูตรมัธยมปลาย (Gymnasium) และศึกษาคณิตศาสตร์ระดับมหาวิทยาลัยด้วยตนเอง ก่อนจะใช้เวลาช่วงสั้นๆ ที่หอดูดาวมันไฮม์ เนื่องจากในช่วงแรกเขาสนใจดาราศาสตร์เป็นพิเศษ

เส้นทางวิชาการที่ไฮเดลแบร์กและกีสเซิน

ในปี ค.ศ. 1865 เนอเธอร์เข้าศึกษาต่อที่มหาวิทยาลัยไฮเดลแบร์ก และได้รับปริญญาเอกในปี ค.ศ. 1868 จากวิทยานิพนธ์ด้านดาราศาสตร์ (โดยไม่ต้องเขียนวิทยานิพนธ์ตามธรรมเนียมปกติ) หลังจากนั้นเขาเดินทางไปทำงานที่เมืองกีสเซินร่วมกับอัลเฟรด เคลบช์ (Alfred Clebsch) นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียง ซึ่งกลายเป็นจุดเปลี่ยนสำคัญที่ทำให้เนอเธอร์เปลี่ยนความสนใจจากดาราศาสตร์มาสู่เรขาคณิตเชิงพีชคณิตอย่างเต็มตัว เขาดำรงตำแหน่ง Privatdozent ที่ไฮเดลแบร์กระหว่างปี ค.ศ. 1870-1874 และรองศาสตราจารย์ระหว่างปี ค.ศ. 1874-1875 ก่อนจะย้ายไปดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยแอร์ลังเงินในปี ค.ศ. 1875 ซึ่งเขาทำงานอยู่ที่นั่นตลอดชีวิตที่เหลือ

ผู้นำแห่งเรขาคณิตเชิงพีชคณิตในศตวรรษที่ 19

เนอเธอร์ได้รับการยกย่องว่าเป็น “หนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยมที่สุดแห่งศตวรรษที่ 19” จากผลงานด้าน เรขาคณิตเชิงพีชคณิต (algebraic geometry) and ทฤษฎีฟังก์ชันเชิงพีชคณิต (theory of algebraic functions) สาขานี้มีรากฐานมาจากปัญหาที่เกิดขึ้นในงานของอาเบลและรีมันน์เกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงพีชคณิตและอินทิกรัลของฟังก์ชันเหล่านั้น โดยมีต้นกำเนิดเชิงเรขาคณิตล้วนๆ จากผลงานของพลึคเคอร์ (Plücker) เคย์ลีย์ (Cayley) และเคลบช์ ผู้พัฒนาทฤษฎีเส้นโค้งเชิงพีชคณิต จุดหลายจุด (multiple points) เส้นสัมผัสคู่ (bitangents) และจุดเปลี่ยนเว้า (inflections)

ผลงานที่สำคัญที่สุดชิ้นหนึ่งของเนอเธอร์คือ ทฤษฎีบทของเนอเธอร์ (Noether’s theorem ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต) ซึ่งเกี่ยวข้องกับเงื่อนไข AF+BG ซึ่งอธิบายว่าเมื่อใดที่พหุนามหนึ่งสามารถแสดงในรูปของผลรวมของผลคูณพหุนามอื่นๆ ได้ ผลงานนี้ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1873 และกลายเป็นเครื่องมือรากฐานที่สำคัญในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตยุคคลาสสิก นอกจากนี้เขายังมีผลงานสำคัญเรื่องการแปลงปริภูมิแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (unique space transformations) โดยเฉพาะการประยุกต์ใช้กับการทำแผนที่พื้นผิวเชิงพีชคณิต (algebraic surfaces) ซึ่งตีพิมพ์ร่วมกับอเล็กซานเดอร์ ฟอน บริลล์ (Alexander von Brill) ผู้ร่วมงานคนสำคัญของเขา

อิทธิพลต่อวงการเรขาคณิตเชิงพีชคณิตของอิตาลี

ผลงานของเนอเธอร์มีอิทธิพลอย่างลึกซึ้งต่อกลุ่มนักเรขาคณิตชาวอิตาลีผู้ยิ่งใหญ่ในเวลาต่อมา ทั้งคอร์ราโด เซเกร (Corrado Segre) ฟรานเชสโก เซเวรี (Francesco Severi) เฟเดริโก เอ็นริเกส (Federigo Enriques) และกุยโด กัสเตลนูโอโว (Guido Castelnuovo) ซึ่งล้วนสืบทอดและต่อยอดแนวคิดของเนอเธอร์ในการพัฒนาเรขาคณิตเชิงพีชคณิตของอิตาลีให้รุ่งเรือง จนกลายเป็นสำนักคิดที่มีอิทธิพลอย่างมากต่อวงการนี้ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 และต้นศตวรรษที่ 20

บิดาของเอมมี เนอเธอร์

แม้เนอเธอร์เองจะเป็นนักคณิตศาสตร์ที่โดดเด่น แต่สิ่งที่ทำให้ชื่อของเขาเป็นที่รู้จักในวงกว้างมากยิ่งขึ้นในปัจจุบันคือการที่เขาเป็นบิดาของ เอมมี เนอเธอร์ (Emmy Noether) นักคณิตศาสตร์หญิงผู้มีอิทธิพลอย่างลึกซึ้งต่อพีชคณิตนามธรรมและฟิสิกส์เชิงทฤษฎีในศตวรรษที่ 20 ในปี ค.ศ. 1880 เนอเธอร์แต่งงานกับอีดา อามาเลีย เคาฟ์มันน์ และมีบุตรด้วยกันสี่คน โดยเอมมี ซึ่งเกิดในปี ค.ศ. 1882 ได้รับการตั้งชื่อตามมารดาของเธอเอง ในบรรดาบุตรทั้งสี่ สามคนกลายเป็นนักวิทยาศาสตร์ รวมถึงฟริตซ์ เนอเธอร์ (Fritz Noether) บุตรชายอีกคนที่กลายเป็นนักคณิตศาสตร์เช่นกัน แต่ภายหลังถูกประหารชีวิตโดยทางการโซเวียตในปี ค.ศ. 1941

เป็นที่น่าสนใจว่าเอมมี เนอเธอร์และลูกศิษย์ของเธอ บาร์เทิล เลนเดิร์ต ฟาน เดอร์ วาร์เดิน (B. L. van der Waerden) ได้พัฒนาเรขาคณิตเชิงพีชคณิตให้มีความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์และมีความเป็นนามธรรมทั่วไปมากยิ่งขึ้น ซึ่งนักคณิตศาสตร์รุ่นหลัง เช่น โซโลมอน เลฟเชตซ์ (Solomon Lefschetz) อ็องเดร ไวล์ (André Weil) และออสการ์ ซาริสกี (Oscar Zariski) ได้นำแนวคิดเชิงทอพอโลยีและพีชคณิตนามธรรมมาขยายผลต่อไปอีก นับเป็นการสืบทอดมรดกทางวิชาการที่งดงามจากบิดาสู่บุตรีในวงการเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

ลูกศิษย์และมรดกทางวิชาการ

เนอเธอร์มีลูกศิษย์ปริญญาเอกที่มีชื่อเสียงหลายคน รวมถึงเอมานูเอล ลาสเกอร์ (Emanuel Lasker) ผู้เป็นทั้งนักคณิตศาสตร์และแชมป์หมากรุกโลก และวิลเลียม ออสกูด (William Osgood) นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน เนอเธอร์เป็นที่รู้จักในหมู่เพื่อนร่วมงานว่าเป็นผู้ที่แม้จะมีสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ที่เฉียบแหลม แต่ก็ไม่เคยพอใจกับสิ่งใดจนกว่าจะได้รับการพิสูจน์ทางพีชคณิตหรือเลขคณิตที่แน่ชัด และมีความอดทนอย่างยิ่งในการช่วยเหลือผู้อื่นให้เข้าใจแนวคิดทางคณิตศาสตร์

เนอเธอร์เสียชีวิตเมื่อวันที่ 13 ธันวาคม ค.ศ. 1921 ที่เมืองแอร์ลังเงิน ด้วยวัย 77 ปี ทิ้งไว้ซึ่งมรดกทางวิชาการที่สำคัญทั้งในฐานะผู้นำเรขาคณิตเชิงพีชคณิตแห่งศตวรรษที่ 19 และในฐานะบิดาผู้บ่มเพาะให้เอมมี เนอเธอร์เติบโตขึ้นมาเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่มีอิทธิพลมากที่สุดในประวัติศาสตร์