ฮันส์ ไฮล์บรอนน์: ผู้ไขปัญหาเลขคลาสของสนามกำลังสองจินตภาพ

Hans Heilbronn (1908–1975)

นักคณิตศาสตร์เชื้อสายเยอรมัน-อังกฤษผู้มีผลงานสำคัญด้านทฤษฎีจำนวน โดยเฉพาะ “ปัญหาเลขคลาส” (class number problem) ของสนามกำลังสองจินตภาพ (imaginary quadratic field) ซึ่งเขาพิสูจน์ได้ว่ามีสนามกำลังสองจินตภาพที่มีเลขคลาสเท่ากับ 1 เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น โดยต่อยอดจากงานของเฮคเคอ ดอยริง และมอร์เดลล์

ชีวิตช่วงต้นในเบอร์ลิน

ฮันส์ อาร์โนลด์ ไฮล์บรอนน์ เกิดเมื่อวันที่ 8 ตุลาคม ค.ศ. 1908 ที่กรุงเบอร์ลิน ประเทศเยอรมนี ในครอบครัวชาวยิวชนชั้นกลาง เขาเข้าเรียนที่ Realgymnasium Berlin-Schmargendorf ระหว่างปี 1914–1926 ก่อนจะเข้าศึกษาต่อในระดับมหาวิทยาลัยที่เบอร์ลิน ไฟรบวร์ก และเกิททิงเงน ที่เกิททิงเงนนี้เองที่เขาได้ศึกษาภายใต้การดูแลของเอ็ดมุนด์ ลันเดา (Edmund Landau) นักคณิตศาสตร์ชื่อดังด้านทฤษฎีจำนวน และสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาเอกในปี 1933 ด้วยวิทยานิพนธ์เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ ซึ่งต่อยอดแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับข้อความคาดการณ์ของแบร์ทรันด์ (Bertrand’s conjecture)

หนีภัยนาซีสู่อังกฤษ

หลังสำเร็จการศึกษา ไฮล์บรอนน์ทำงานเป็นผู้ช่วยของลันเดาอยู่ระยะหนึ่ง แต่เมื่อกฎหมายข้าราชการพลเรือนของนาซี (Nazi Civil Service Law) ในปี 1933 บังคับให้ชาวยิวถูกไล่ออกจากตำแหน่งราชการ ไฮล์บรอนน์จึงถูกบีบให้ลาออกและหนีออกจากเยอรมนีไปยังประเทศอังกฤษ ที่นั่นหลุยส์ มอร์เดลล์ (Louis Mordell) นักคณิตศาสตร์ชื่อดังได้ช่วยจัดหาตำแหน่งงานให้เขาที่เมืองแมนเชสเตอร์ ก่อนที่ไฮล์บรอนน์จะได้รับตำแหน่งชั่วคราวที่เมืองบริสตอล ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่เขาสร้างผลงานวิจัยที่มีชื่อเสียงที่สุดร่วมกับอี.เอช. ลินฟูท (E. H. Linfoot)

ปัญหาเลขคลาสของเกาส์

ปัญหาเลขคลาสเป็นคำถามเก่าแก่ที่ตั้งขึ้นโดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ เกี่ยวกับ “เลขคลาส” (class number) ของสนามกำลังสองจินตภาพ Q(√−d) ซึ่งเป็นปริมาณที่วัดความซับซ้อนของโครงสร้างไอดีลในวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตของสนามนั้น เกาส์ตั้งข้อสันนิษฐานว่าเลขคลาสของ Q(√−d) จะมีค่าเพิ่มขึ้นแบบไม่มีขอบเขตเมื่อค่า d เพิ่มขึ้น

ไฮล์บรอนน์ประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานนี้ได้สำเร็จ โดยอาศัยแนวคิดที่สืบทอดมาจากงานของเอริช เฮคเคอ (Erich Hecke) มักซ์ ดอยริง (Max Deuring) และหลุยส์ มอร์เดลล์ ผลลัพธ์นี้มีความสำคัญอย่างยิ่ง เพราะเป็นก้าวสำคัญที่นำไปสู่การแก้ปัญหาเลขคลาสเท่ากับ 1 อย่างสมบูรณ์ในเวลาต่อมา ผลงานของไฮล์บรอนน์ยังได้รับการวางนัยทั่วไปเพิ่มเติมในเวลาต่อมาโดยคาร์ล ซีเกล (Carl Siegel) และริชาร์ด บราวเออร์ (Richard Brauer)

สนามกำลังสองจินตภาพที่มีเลขคลาสเท่ากับ 1

ผลงานที่โด่งดังที่สุดของไฮล์บรอนน์เกิดจากความร่วมมือกับอี.เอช. ลินฟูทที่เมืองบริสตอล ทั้งสองสามารถพิสูจน์ได้ว่า มีสนามกำลังสองจินตภาพที่มีเลขคลาสเท่ากับ 1 อยู่ไม่เกินสิบสนามเท่านั้น (กล่าวคือ d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 ซึ่งเป็นเก้าค่าที่ทราบแน่นอน และอาจมีค่าที่สิบที่ยังไม่แน่ชัด) ผลลัพธ์นี้มีความสำคัญมากเพราะเกี่ยวข้องโดยตรงกับปัญหาว่า จำนวนเต็มใดบ้างที่วงแหวนจำนวนเต็มของสนามกำลังสองจินตภาพมีสมบัติการแยกตัวประกอบเฉพาะแบบเอกภาพ (unique factorization)

ปัญหาเรื่องค่าที่สิบที่อาจเป็นไปได้ถูกไขในเวลาต่อมาโดยเคิร์ต เฮกเนอร์ (Kurt Heegner) ซึ่งพิสูจน์ในปี 1952 ว่าสนามที่สิบดังกล่าวไม่มีอยู่จริง ทำให้ปัญหานี้ได้รับการปิดลงอย่างสมบูรณ์ในที่สุด แม้บทพิสูจน์ของเฮกเนอร์จะมีข้อบกพร่องเล็กน้อยที่ต้องรอการแก้ไขจากนักคณิตศาสตร์รุ่นหลัง แต่แนวคิดหลักของเขาก็ได้รับการยอมรับว่าถูกต้อง ค่า d = 163 ซึ่งเป็นค่าสุดท้ายในรายการจึงเป็นที่รู้จักกันในชื่อ “จำนวนเฮกเนอร์ตัวที่เก้า” ที่มีความสำคัญอย่างมากในทฤษฎีจำนวน

มิตรภาพและการสนับสนุนจากมอร์เดลล์

หลุยส์ มอร์เดลล์มีบทบาทสำคัญอย่างมากต่อชีวิตและอาชีพการงานของไฮล์บรอนน์ ไม่เพียงช่วยจัดหาที่พักให้เขาที่แมนเชสเตอร์เมื่อแรกหนีมาถึงอังกฤษเท่านั้น แต่ยังมอบทุนการศึกษาให้เขาในปี 1934 อีกด้วย ความช่วยเหลือเหล่านี้มีส่วนสำคัญที่ทำให้ไฮล์บรอนน์สามารถสร้างผลงานวิจัยอันทรงคุณค่าต่อมาได้สำเร็จ

อาชีพการงานที่เคมบริดจ์และบริสตอล

ตั้งแต่ปี 1935 ไฮล์บรอนน์ได้รับตำแหน่ง Bevan Fellowship ที่ Trinity College มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่เขาร่วมงานกับฮาโรลด์ เดเวนพอร์ต (Harold Davenport) นักคณิตศาสตร์ชื่อดังอีกคนหนึ่ง ทว่าในปี 1940 ไฮล์บรอนน์ถูกกักขังในฐานะ “คนต่างด้าวศัตรู” (enemy alien) ตามนโยบายของรัฐบาลอังกฤษในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง ก่อนจะได้รับการปลดปล่อยและเข้ารับราชการในกองทัพอังกฤษในเวลาต่อมา

หลังสงครามสิ้นสุดลง ไฮล์บรอนน์กลับไปรับตำแหน่ง Reader ที่มหาวิทยาลัยบริสตอลในปี 1946 และก้าวขึ้นเป็นศาสตราจารย์และหัวหน้าภาควิชาในปี 1949 เขาได้รับเลือกเป็นสมาชิกของ Royal Society ในปี 1951 ซึ่งเป็นเกียรติยศทางวิชาการระดับสูงสุดของสหราชอาณาจักร และดำรงตำแหน่งประธานของ London Mathematical Society ระหว่างปี 1959–1961

ย้ายถิ่นสู่แคนาดา

ในปี 1964 ไฮล์บรอนน์ลาออกจากตำแหน่งที่บริสตอลและย้ายไปยังทวีปอเมริกาเหนือ โดยเข้ารับตำแหน่งศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยโทรอนโต ประเทศแคนาดา และได้รับสัญชาติแคนาดาอย่างเป็นทางการในปี 1970

The twilight of one's life

ไฮล์บรอนน์มีอาการหัวใจวายในปี 1973 และเสียชีวิตเมื่อวันที่ 28 เมษายน ค.ศ. 1975 ที่เมืองโทรอนโต ประเทศแคนาดา ระหว่างการผ่าตัดฝังเครื่องกระตุ้นหัวใจ (pacemaker) ขณะอายุ 66 ปี

The Legacy He Left Behind

ผลงานของฮันส์ ไฮล์บรอนน์ในการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของเกาส์เกี่ยวกับเลขคลาสของสนามกำลังสองจินตภาพ ถือเป็นหนึ่งในความสำเร็จสำคัญของทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตในศตวรรษที่ 20 ผลงานร่วมกับลินฟูทที่จำกัดจำนวนสนามกำลังสองจินตภาพที่มีเลขคลาสเท่ากับ 1 ให้เหลือเพียงไม่เกินสิบสนาม ยังคงเป็นผลลัพธ์คลาสสิกที่ถูกอ้างอิงถึงในการศึกษาทฤษฎีจำนวนพีชคณิตและเรขาคณิตเลขคณิต (arithmetic geometry) มาจนถึงปัจจุบัน และเป็นตัวอย่างสำคัญของความร่วมมือทางวิชาการข้ามรุ่นที่เริ่มต้นจากเฮคเคอ สู่ดอยริงและมอร์เดลล์ ก่อนจะมาบรรจบที่ไฮล์บรอนน์ และปิดท้ายด้วยเฮกเนอร์ในที่สุด