วิลเลียม เชพเพิร์ด: ผู้ชดเชยความคลาดเคลื่อนที่ซ่อนอยู่ในข้อมูลที่ถูกจัดกลุ่ม

วิลเลียม เฟลตวูด เชพเพิร์ด (William Fleetwood Sheppard) เกิดเมื่อวันที่ 20 หรือ 21 พฤศจิกายน ค.ศ. 1863 (แหล่งข้อมูลระบุวันต่างกันเล็กน้อย) ในแถบซิดนีย์ อาณานิคมนิวเซาท์เวลส์ ประเทศออสเตรเลีย เป็นบุตรชายคนที่สองของเอ็ดมันด์ เชพเพิร์ด ผู้พิพากษาศาลสูงแห่งควีนส์แลนด์ เขาเติบโตและได้รับการศึกษาขั้นต้นในออสเตรเลียก่อนย้ายมาอังกฤษ และใช้ชีวิตการทำงานส่วนใหญ่ที่นั่น เชพเพิร์ดเป็นนักคณิตศาสตร์และนักสถิติ ผู้เป็นเจ้าของ การแก้ไขของเชพเพิร์ด (Sheppard’s correction) วิธีปรับค่าความแปรปรวนเมื่อข้อมูลถูกจัดกลุ่มเป็นช่วง ซึ่งยังปรากฏอยู่ในตำราสถิติและซอฟต์แวร์คำนวณหลายตัวมาจนถึงทุกวันนี้

จากบริสเบนสู่เคมบริดจ์

เชพเพิร์ดเข้าเรียนที่โรงเรียนบริสเบนแกรมมาร์ (Brisbane Grammar School) แล้วเดินทางไปอังกฤษเรียนต่อที่โรงเรียนชาร์เตอร์เฮาส์ (Charterhouse) ก่อนเข้าศึกษาที่วิทยาลัยทรินิตี (Trinity College) มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ที่นั่นเขาแสดงความสามารถทางคณิตศาสตร์โดดเด่นจนได้เป็น ซีเนียร์แรงเกลอร์ (Senior Wrangler) ประจำปี 1886 คืออันดับหนึ่งของการสอบคณิตศาสตร์ไตรโพส ซึ่งถือเป็นเกียรติสูงสุดของนักศึกษาคณิตศาสตร์เคมบริดจ์ในยุคนั้น และในปี 1887 เขาได้รับเลือกเป็นเฟลโลว์ของทรินิตี

เหมือนนักคณิตศาสตร์อังกฤษหลายคนในยุคเดียวกัน เชพเพิร์ดเลือกเดินทางสายกฎหมายและได้รับการเรียกเข้าเป็นทนายความ (called to the bar) แต่ไม่นานก็พบว่าความสนใจของเขาอยู่ที่งานด้านการศึกษามากกว่า ในปี 1896 เขาจึงเข้าทำงานในกรมการศึกษา (Board of Education) ซึ่งเขาทำงานอยู่จนถึงตำแหน่งผู้ช่วยเลขาธิการ และเกษียณในปี 1921 ความรู้ด้านสถิติของเขาเป็นประโยชน์ต่องานราชการอย่างมาก ขณะเดียวกันงานวิจัยที่ทำนอกเวลางานก็สร้างชื่อให้เขาในแวดวงคณิตศาสตร์และสถิติ

ปัญหาของข้อมูลที่ถูกจัดกลุ่ม

ในทางปฏิบัติ ข้อมูลจำนวนมากไม่ได้ถูกเก็บเป็นค่าที่แน่นอน แต่ถูกจัดเป็นช่วง เช่น อายุ 20–24 ปี 25–29 ปี เมื่อต้องการคำนวณค่าเฉลี่ยหรือความแปรปรวน วิธีที่นิยมคือสมมติให้ทุกค่าในช่วงเดียวกันเท่ากับ จุดกึ่งกลางของช่วง (midpoint) วิธีนี้สะดวกมาก แต่ทำให้เกิดความคลาดเคลื่อนเล็กน้อยที่สะสมได้

เชพเพิร์ดพิจารณาปัญหานี้ในบทความที่ตีพิมพ์ในวารสารของสมาคมคณิตศาสตร์ลอนดอน (Proceedings of the London Mathematical Society) ช่วงปี 1897–1898 ใจความคือ การแทนค่าจริงด้วยจุดกึ่งกลางเท่ากับการเพิ่ม “ความคลาดเคลื่อน” เข้าไปในแต่ละค่า และหากความคลาดเคลื่อนนี้กระจายสม่ำเสมอภายในช่วงที่กว้าง h ก็จะมีความแปรปรวนประมาณ h²/12 ผลคือความแปรปรวนที่คำนวณจากข้อมูลที่ถูกจัดกลุ่มจะ มากกว่าความแปรปรวนที่แท้จริงเล็กน้อย และวิธีแก้คือลบค่า h²/12 ออกจากความแปรปรวนที่คำนวณได้

ตัวอย่างเช่น ถ้าจัดอายุเป็นช่วงกว้าง 5 ปี (h = 5) ค่าแก้ไขจะเท่ากับ 25/12 หรือประมาณ 2.08 หากความแปรปรวนที่คำนวณจากข้อมูลจัดกลุ่มได้ 100 ค่าที่ปรับแล้วก็จะเป็นประมาณ 97.92 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจึงลดจาก 10 เหลือประมาณ 9.9

นอกจากความแปรปรวนซึ่งเป็นโมเมนต์อันดับสอง เชพเพิร์ดยังเสนอสูตรแก้ไขสำหรับโมเมนต์อันดับที่สูงกว่า เช่น อันดับสี่ ส่วนค่าเฉลี่ยไม่ต้องแก้ไข ทั้งหมดนี้เรียกรวมกันว่า การแก้ไขของเชพเพิร์ด (Sheppard’s corrections)

ข้อควรระวัง

การแก้ไขนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าการแจกแจงของข้อมูลเรียบ และค่อย ๆ ลดลงสู่ศูนย์ที่ปลายทั้งสองข้าง เช่น การแจกแจงปรกติ ถ้าข้อมูลมีลักษณะผิดไปจากนี้ เช่น ถูกตัดปลาย หรือจัดกลุ่มหยาบเกินไป การลบ h²/12 อาจไม่ช่วยให้ผลดีขึ้น และตำราสถิติหลายเล่มก็เตือนข้อนี้ไว้ ในปัจจุบันที่คอมพิวเตอร์คำนวณจากข้อมูลดิบได้ทันที การจัดกลุ่มเพื่อความสะดวกในการคำนวณจึงจำเป็นน้อยลงมาก แต่หลักคิดเรื่องความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษหรือจัดช่วงยังใช้ได้เสมอ เช่น ข้อมูลที่ถูกปัดเศษมาตั้งแต่ตอนเก็บ

ผลงานอื่น ๆ ด้านสถิติและตารางคำนวณ

นอกจากการแก้ไขที่ใช้ชื่อของเขา เชพเพิร์ดมีผลงานในหลายเรื่อง ได้แก่ ผลต่างจำกัด (finite differences) การประมาณค่าในช่วง (interpolation) และทฤษฎีความคลาดเคลื่อน เขาเขียนบทความตีพิมพ์ในวารสาร Philosophical Transactions ของราชสมาคม (Royal Society) ว่าด้วยการประยุกต์ทฤษฎีความคลาดเคลื่อนกับการแจกแจงปรกติและสหสัมพันธ์ปรกติ (1899) และเรื่องการลดความคลาดเคลื่อนด้วยการรวมเชิงเส้น (1921) รวมทั้งตีพิมพ์ตารางค่าของเส้นโค้งปรกติ (normal curve) ในวารสาร Biometrika ในปี 1907

งานตารางคำนวณเช่นนี้เป็นพื้นฐานที่ขาดไม่ได้ในยุคก่อนมีคอมพิวเตอร์ และทำให้นักสถิติรุ่นถัดมาอย่างโรนัลด์ ฟิชเชอร์ (R. A. Fisher) รู้จักเขาผ่านงานด้านตารางคณิตศาสตร์ เชพเพิร์ดยังติดต่อกับผู้ก่อตั้งสถิติสมัยใหม่ของอังกฤษ โดยมีจดหมายโต้ตอบกับฟรานซิส กอลตัน (Francis Galton) ระหว่างปี 1891–1907 และเขียนจดหมายถึงคาร์ล เพียร์สัน (Karl Pearson) ด้วย

ปีหลังเกษียณ: เอดินบะระและเอตเคน

หลังเกษียณ เชพเพิร์ดใช้เวลาอยู่ที่เอดินบะระ ซึ่งเขาพบกับอเล็กซานเดอร์ เอตเคน (A. C. Aitken) นักคณิตศาสตร์ชาวนิวซีแลนด์ ในช่วงปี 1926–1927 เอตเคนศึกษางานของเชพเพิร์ดอย่างใกล้ชิด และต่อยอดโดยนำ พหุนามตั้งฉาก (orthogonal polynomials) เข้ามาใช้ ขณะเดียวกันก็ยังคงแนวทางที่เชพเพิร์ดโปรดปราน คือผลต่างแบบกลาง (central differences) และโมเมนต์แฟกทอเรียล (factorial moments) เชพเพิร์ดได้รับเลือกเป็นเฟลโลว์ของราชสมาคมแห่งเอดินบะระ (Royal Society of Edinburgh) ในปี 1932

เขายังมีบทบาทในแวดวงการสอนคณิตศาสตร์ โดยเป็นนายกสมาคมคณิตศาสตร์ (Mathematical Association) ในปี 1928–1929 และกล่าวปาฐกถาสองเรื่อง คือ “ความหลากหลายของวิธีสอนเลขคณิต” และ “คณิตศาสตร์เพื่อการศึกษาสถิติความถี่” ซึ่งสะท้อนความสนใจสองด้านของเขา คือการศึกษาและสถิติ

บั้นปลายชีวิตและมรดก

เชพเพิร์ดแต่งงานกับเอลซา สตีเวนส์ (Elsa Stevens) เมื่อวันที่ 10 มิถุนายน ค.ศ. 1902 และมีบุตรชายสามคน เขาเสียชีวิตเมื่อวันที่ 12 ตุลาคม ค.ศ. 1936 ที่เมืองเบอร์คัมสเตด (Berkhamsted) ประเทศอังกฤษ ด้วยวัย 72 ปี

คำไว้อาลัยของเอตเคนและวิตเทเกอร์ (E. T. Whittaker) สรุปลักษณะงานของเขาว่าเต็มไปด้วยความรอบคอบและความคิดเป็นอิสระ ชื่อของเชพเพิร์ดยังอยู่ในตำราสถิติจนทุกวันนี้ผ่านสูตรสั้น ๆ เพียงหนึ่งบรรทัด แต่เบื้องหลังสูตรนั้นคือความเข้าใจว่าข้อมูลที่เราเห็นเป็นภาพที่ถูกบีบให้หยาบลงจากความจริง และการยอมรับความคลาดเคลื่อนนั้นอย่างซื่อตรงก็เป็นส่วนหนึ่งของวิธีคิดเชิงสถิติ

หมายเหตุ: วันเกิดของเชพเพิร์ดและปีตีพิมพ์บทความเรื่องการแก้ไขอาจแตกต่างกันตามแหล่งข้อมูล