โอลกา โอเลย์นิก: ผู้ทำให้คลื่นกระแทกมีคำตอบเดียวทางคณิตศาสตร์

โอลกา อาร์เซนเยฟนา โอเลย์นิก (Olga Arsenievna Oleinik) เกิดเมื่อวันที่ 2 กรกฎาคม ค.ศ. 1925 ในยูเครน สมัยสหภาพโซเวียต (แหล่งข้อมูลระบุสถานที่เกิดต่างกัน บางแหล่งว่ากรุงเคียฟ บางแหล่งว่าหมู่บ้านมาตูซิฟ) บิดามารดาชื่ออาร์เซนี อีวาโนวิช และอันนา เปโตรฟนา เธอเติบโตท่ามกลางช่วงเวลาที่ยากลำบากของสงครามโลกครั้งที่สอง แต่ก็ยังจบการศึกษาจากมหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก (Moscow State University) ในปี 1947 และกลายเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์หญิงที่โดดเด่นที่สุดแห่งศตวรรษที่ 20 ผู้เชี่ยวชาญสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (partial differential equations) เจ้าของ เงื่อนไขเอนโทรปีของโอเลย์นิก (Oleinik entropy condition) ที่ใช้อธิบายคลื่นกระแทก (shock waves) และผู้บุกเบิกทฤษฎีของวัสดุเชิงซ้อน

ศิษย์ของเปตรอฟสกี

หลังจบปริญญาตรี โอเลย์นิกศึกษาต่อที่มอสโก ได้ปริญญาโทในปี 1950 และปริญญาเอกในปี 1954 โดยมีอีวาน เปตรอฟสกี (Ivan Petrovsky) เป็นผู้ควบคุมวิทยานิพนธ์ เปตรอฟสกีมีความเชี่ยวชาญทั้งสมการเชิงอนุพันธ์ โทพอโลยีของเส้นโค้งและพื้นผิวเชิงพีชคณิต และฟิสิกส์คณิตศาสตร์ ซึ่งส่งอิทธิพลชัดเจนต่อทิศทางงานของเธอ งานวิจัยช่วงแรกของเธอเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ก่อนจะเปลี่ยนมาสู่สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเป็นหลัก หลังได้ปริญญาเอก เธออยู่ที่มหาวิทยาลัยมอสโกต่อและได้เป็นศาสตราจารย์ และในปี 1973 ได้เป็นหัวหน้าภาควิชาสมการเชิงอนุพันธ์

เงื่อนไขเอนโทรปีและคลื่นกระแทก

ผลงานที่ทำให้ชื่อของโอเลย์นิกอยู่ในตำราคือการศึกษา กฎการอนุรักษ์เชิงสเกลาร์ (scalar conservation laws) สมการไฮเพอร์โบลิกที่อธิบายการเคลื่อนที่ของปริมาณ เช่น ความหนาแน่นของรถบนถนนหรือของไหลที่ถูกอัด ปัญหาคือแม้จะเริ่มจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่เรียบ คำตอบของสมการเหล่านี้สามารถพัฒนาเป็นคำตอบที่ไม่ต่อเนื่อง เรียกว่า คลื่นกระแทก (shock wave) ได้ในเวลาจำกัด เมื่อนั้นจึงต้องนิยามคำตอบในความหมายที่อ่อนลง เรียกว่า คำตอบอ่อน (weak solution) แต่ปรากฏว่าคำตอบอ่อนนั้นมีได้ หลายคำตอบ สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นเดียวกัน ซึ่งส่วนใหญ่ไม่ตรงกับสิ่งที่เกิดขึ้นจริงทางกายภาพ เช่น คลื่นกระแทกที่ “ขยายตัว” แทนที่จะอัดตัว

ราวปี 1957 โอเลย์นิกเสนอเงื่อนไขที่คัดเลือกคำตอบที่มีความหมายทางฟิสิกส์ออกมาเพียงคำตอบเดียว สำหรับกรณีที่ฟังก์ชันฟลักซ์เป็นฟังก์ชันนูน (convex) เธอแสดงว่าคำตอบจะต้องไม่เพิ่มขึ้นชันเกินอัตราที่ถูกควบคุมโดยเวลา กล่าวคือการกระโดดของค่าต้องเป็นแบบ “อัด” เท่านั้น และพิสูจน์ได้ว่าคำตอบที่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ มีอยู่จริงและมีเพียงหนึ่งเดียว เงื่อนไขนี้จึงถูกเรียกว่าเงื่อนไขเอนโทรปีของโอเลย์นิก เพราะสอดคล้องกับแนวคิดของกฎข้อที่สองของเทอร์โมไดนามิกส์ที่ว่าเอนโทรปีไม่ลดลง ต่อมานักคณิตศาสตร์รุ่นหลังได้ขยายแนวคิดนี้ไปสู่กรณีหลายตัวแปร และทำให้คำว่า “คำตอบเอนโทรปี (entropy solution)” กลายเป็นหัวใจของการวิเคราะห์สมการไฮเพอร์โบลิกจนถึงปัจจุบัน

ปัญหาประยุกต์ที่หลากหลาย

โอเลย์นิกสนใจปัญหาประยุกต์มาโดยตลอด เธอสร้างทฤษฎีคณิตศาสตร์ของการซึมผ่านของของเหลวและก๊าซในตัวกลางพรุนแบบไม่คงที่ (non-stationary filtration) ทฤษฎีชั้นขอบเขต (boundary layer theory) ซึ่งเป็นพื้นฐานของสมการปรันด์ทล์ (Prandtl equations) ในกลศาสตร์ของไหล ปัญหาสเตฟาน (Stefan problem) ว่าด้วยการแพร่ความร้อนในวัตถุที่มีหลายเฟส และปัญหาทฤษฎียืดหยุ่น (elasticity) นอกจากนั้นเธอยังศึกษาสมการอันดับสองที่มีรูปแบบลักษณะเฉพาะไม่เป็นลบ (second-order equations with nonnegative characteristic form) ร่วมกับเยฟเกนี ราดเควิช (E. V. Radkevich) ซึ่งเชื่อมโยงกับงานของกาเอตาโน ฟิเคียรา (Gaetano Fichera) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ผู้เป็นเพื่อนสนิทของเธอ

วัสดุเชิงซ้อนและทฤษฎีโฮโมจีไนเซชัน

ช่วงทศวรรษ 1980 ถึง 1990 โอเลย์นิกกลายเป็นหนึ่งในผู้นำของ ทฤษฎีโฮโมจีไนเซชัน (homogenization theory) ซึ่งศึกษาว่าวัสดุที่มีโครงสร้างละเอียดซับซ้อน เช่น วัสดุเชิงประกอบ (composites) หรือวัตถุที่มีรูพรุนจำนวนมาก จะมีพฤติกรรมในภาพรวมเหมือนวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันแบบใด เธอเขียนเอกสารวิชาการสำคัญหลายเล่ม ได้แก่

• Mathematical problems in the theory of strongly inhomogeneous elastic media (1990) ร่วมกับ G. A. Iosifyan และ A. S. Shamaev ว่าด้วยวัตถุยืดหยุ่นที่มีรูพรุน
• Homogenization of differential operators and integral functionals (1994 ฉบับภาษาอังกฤษ) ร่วมกับ V. V. Zhikov และ S. M. Kozlov
• Some asymptotic problems in the theory of partial differential equations (1996)
• Mathematical methods in boundary-layer theory (1997) ร่วมกับ V. N. Samokhin ซึ่งผู้วิจารณ์เรียกว่าคลังผลลัพธ์เชิงเข้มงวดเกี่ยวกับสมการปรันด์ทล์

ฐานข้อมูล Mathematical Reviews ระบุผลงานของเธอไว้ถึง 359 ชิ้น ซึ่งถือว่าสูงมาก เพราะนักคณิตศาสตร์ระดับแนวหน้าส่วนใหญ่มีไม่ถึงสองร้อยชิ้น

ครู เกียรติยศ และบั้นปลาย

โอเลย์นิกเป็นครูที่ประสบความสำเร็จ มีนักศึกษาปริญญาเอกในที่ปรึกษาถึง 58 คน เธอได้รับเลือกเป็นสมาชิกของราชบัณฑิตยสภารัสเซีย (Russian Academy of Sciences) สถาบัน Accademia Nazionale dei Lincei ของอิตาลี สถาบันวิทยาศาสตร์แซกโซนีของเยอรมนี และราชสมาคมแห่งเอดินบะระ (Royal Society of Edinburgh) ในฐานะสมาชิกกิตติมศักดิ์ รางวัลที่เธอได้รับรวมถึงรางวัลเชบอตาเรฟ (Chebotarev Prize, 1952) รางวัลแห่งรัฐ (State Prize, 1988) และรางวัลเปตรอฟสกี (Petrowsky Prize, 1995) มหาวิทยาลัยซาเปียนซาแห่งโรมมอบปริญญากิตติมศักดิ์ให้เธอ และในปี 1996 เธอได้รับเชิญเป็นผู้บรรยาย Noether Lecture ของสมาคมสตรีในคณิตศาสตร์ (Association for Women in Mathematics)

โอเลย์นิกเสียชีวิตเมื่อวันที่ 13 ตุลาคม ค.ศ. 2001 ที่กรุงมอสโก ด้วยวัย 76 ปี เพื่อนร่วมงานคนหนึ่งเขียนถึงเธอว่าเป็นผู้หญิงที่มีบุคลิกเข้มแข็งมาก ใจกว้างต่อเพื่อนร่วมวิชาชีพ และมิตรภาพที่เธอมอบให้ไม่มีขีดจำกัด สำหรับวงการคณิตศาสตร์ เธอคือหลักฐานว่าคำถามที่เริ่มจากสมการเดียว ถ้าถูกตามไปอย่างเข้มงวดพอ สามารถเชื่อมกับปรากฏการณ์ทางกายภาพได้ตั้งแต่คลื่นกระแทกไปจนถึงวัสดุที่เราใช้ในชีวิตประจำวัน

หมายเหตุ: สถานที่เกิดของโอเลย์นิกและรายละเอียดบางส่วนแตกต่างกันตามแหล่งข้อมูล