อับราฮัม เฟรงเคิล: ผู้ร่วมวางรากฐานทฤษฎีเซตที่คณิตศาสตร์ทั้งหมดตั้งอยู่

เมื่อนักคณิตศาสตร์ต้องระบุว่าสิ่งที่พวกเขาพิสูจน์นั้นตั้งอยู่บนสัจพจน์ชุดใด คำตอบมาตรฐานในปัจจุบันคือระบบสัจพจน์เซอร์เมโล-เฟรงเคิล (Zermelo–Fraenkel) ซึ่งมี อับราฮัม เฟรงเคิล (Abraham Fraenkel) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน-อิสราเอล เป็นหนึ่งในผู้สร้าง เขาเสียชีวิตเมื่อวันที่ 15 ตุลาคม ค.ศ. 1965 ที่กรุงเยรูซาเลม ประเทศอิสราเอล ด้วยวัย 74 ปี

Early life and academic path

เฟรงเคิลเกิดเมื่อวันที่ 17 กุมภาพันธ์ ค.ศ. 1891 ที่เมืองมิวนิก แคว้นบาวาเรีย ประเทศเยอรมนี ชื่อเดิมของเขาคืออดอล์ฟ (Adolf) เขาศึกษาคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยมิวนิก เบอร์ลิน มาร์บูร์ก และเบรสเลา โดยมีเคิร์ต เฮนเซล (Kurt Hensel) เป็นอาจารย์ที่ปรึกษา งานในช่วงแรกของเขาเกี่ยวข้องกับจำนวนพีเอดิก (p-adic numbers) ของเฮนเซลและทฤษฎีวงแหวน

เฟรงเคิลบรรยายที่มหาวิทยาลัยมาร์บูร์กตั้งแต่ปี ค.ศ. 1916 และได้เป็นศาสตราจารย์ในปี ค.ศ. 1922 หลังจากนั้นเขาหันมาสนใจทฤษฎีเซตและรากฐานของคณิตศาสตร์เป็นหลัก

ระบบสัจพจน์เซอร์เมโล-เฟรงเคิล

ในต้นศตวรรษที่ 20 ทฤษฎีเซตเผชิญวิกฤต เมื่อพบว่าการสร้างเซตอย่างอิสระโดยไม่มีข้อจำกัดนำไปสู่ปฏิทรรศน์ เช่น ปฏิทรรศน์ของรัสเซลล์ เอิร์นสท์ เซอร์เมโล (Ernst Zermelo) เสนอระบบสัจพจน์ในปี ค.ศ. 1908 เพื่อจำกัดวิธีสร้างเซตให้ปลอดภัย แต่ระบบนั้นยังมีช่องว่างอยู่

เฟรงเคิลมีบทบาทสำคัญในการปรับปรุงระบบของเซอร์เมโลราวปี ค.ศ. 1922 โดยเฉพาะการเพิ่ม สัจพจน์การแทนที่ (axiom of replacement) ซึ่งช่วยให้สร้างเซตขนาดใหญ่ที่จำเป็นต่อคณิตศาสตร์ได้ โดยที่ธอร์ฟ สโกเลม (Thoralf Skolem) ก็เสนอแนวคิดที่คล้ายกันโดยอิสระ ผลลัพธ์คือระบบ เซอร์เมโล-เฟรงเคิล (ZF) และเมื่อรวมกับสัจพจน์การเลือก (axiom of choice) ก็เป็นระบบ ZFC ที่ใช้เป็นรากฐานมาตรฐานของคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ในปัจจุบัน

เฟรงเคิลยังมีผลงานเกี่ยวกับความเป็นอิสระของสัจพจน์การเลือกจากสัจพจน์อื่น โดยสร้างแบบจำลองในช่วงทศวรรษ 1920 ซึ่งแนวคิดนี้ถูกต่อยอดโดยนักคณิตศาสตร์รุ่นหลังจนกลายเป็นเทคนิคมาตรฐานในทฤษฎีเซต

ตำราและผลงานเขียน

เฟรงเคิลเขียนตำราทฤษฎีเซตที่มีอิทธิพลหลายเล่ม รวมถึง “Abstract Set Theory” และ “Foundations of Set Theory” ซึ่งเขียนร่วมกับเยโฮชัว บาร์-ฮิลเลล (Yehoshua Bar-Hillel) นอกจากนี้เขายังเขียนบทนำเชิงประวัติศาสตร์ให้หนังสือ “Axiomatic Set Theory” ของพอล แบร์เนย์ส (Paul Bernays) และสนใจประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ โดยเขียนถึงเรื่องนี้ทั้งในช่วงทศวรรษ 1920 และ 1930 อัตชีวประวัติของเขาที่มีชื่อว่า “Recollections of a Jewish Mathematician in Germany” บันทึกประสบการณ์ชีวิตในยุคที่เปลี่ยนแปลงอย่างรุนแรงของเยอรมนี

ผู้ก่อตั้งคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยฮีบรู

เฟรงเคิลเป็นไซออนิสต์ตั้งแต่เนิ่นๆ และสนใจศาสนายิวอย่างลึกซึ้ง เมื่อได้รับเชิญไปสอนที่มหาวิทยาลัยฮีบรูแห่งเยรูซาเลม ซึ่งก่อตั้งขึ้นในปี ค.ศ. 1925 เขาถึงขั้นเขียนจดหมายไปขอคำปรึกษาจากแรบไบอับราฮัม ไอแซก คุก (Abraham Isaac Kook) ว่าควรไปสอนในสถาบันที่เป็นฆราวาสหรือไม่ ในที่สุดเขาตัดสินใจย้ายไปในปี ค.ศ. 1929 หลังจากสอนที่มหาวิทยาลัยคีลหนึ่งปี และได้เป็นคณบดีคนแรกของคณะคณิตศาสตร์ ช่วยวางรากฐานของสาขานี้ในมหาวิทยาลัย โดยได้รับคำแนะนำจากอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ในการแต่งตั้งบุคลากรด้านฟิสิกส์ เมื่อมาอยู่ที่ปาเลสไตน์ เขาเปลี่ยนชื่อต้นจากอดอล์ฟเป็นอับราฮัม

เมื่อเกษียณจากมหาวิทยาลัยฮีบรูในปี ค.ศ. 1957 อับราฮัม โรบินสัน (Abraham Robinson) ลูกศิษย์ของเขาได้รับตำแหน่งต่อ และเฟรงเคิลยังคงสอนที่มหาวิทยาลัยบาร์-อิลันต่อไป เขาได้รับรางวัลอิสราเอล (Israel Prize) ในปี ค.ศ. 1956 หลานชายของเขา อเวียซรี เฟรงเคิล (Aviezri Fraenkel) ก็กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีผลงานสำคัญด้านทฤษฎีเกมเชิงการจัดหมู่

มรดก

เฟรงเคิลเสียชีวิตเมื่อวันที่ 15 ตุลาคม ค.ศ. 1965 ที่เยรูซาเลม สิ่งที่เขาทิ้งไว้คือกรอบสัจพจน์ที่นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทโดยแทบไม่ต้องคิดถึงที่มา ชื่อ “เฟรงเคิล” ที่ซ่อนอยู่ในตัวอักษร F ของ ZF จึงเป็นชื่อที่อยู่เบื้องหลังคณิตศาสตร์ในแทบทุกสาขา