แอนดรูว์ เกลสัน: นักถอดรหัสสงครามผู้ไขปัญหาของฮิลแบร์ตและวางรากฐานความน่าจะเป็นควอนตัม

นักคณิตศาสตร์บางคนมีชื่อเสียงจากผลงานเดียวที่โดดเด่น แต่ แอนดรูว์ แมตเตอี เกลสัน (Andrew Mattei Gleason) นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน เป็นที่รู้จักในวงกว้างจากความสามารถที่ครบทุกด้านของวิชาชีพนี้ ทั้งการวิจัย การสอน การถอดรหัส และการปฏิรูปการเรียนคณิตศาสตร์ เขาเสียชีวิตเมื่อวันที่ 17 ตุลาคม ค.ศ. 2008 ที่เมืองเคมบริดจ์ รัฐแมสซาชูเซตส์ ด้วยวัย 86 ปี จากภาวะแทรกซ้อนหลังการผ่าตัด

Early life and education

เกลสันเกิดเมื่อวันที่ 4 พฤศจิกายน ค.ศ. 1921 ที่เมืองเฟรสโน รัฐแคลิฟอร์เนีย บิดามารดาคือเฮนรี อัลลัน เกลสัน นักพฤกษศาสตร์ และเอลีนอร์ ธีโอดาลินดา มาตเตอี เขาศึกษาที่มหาวิทยาลัยเยล ซึ่งทำให้เขาก้าวเข้าสู่เส้นทางวิชาการ โดยมีสงครามโลกครั้งที่สองเข้ามาแทรกตรงกลาง

นักถอดรหัสแห่งกองทัพเรือสหรัฐฯ

ในช่วงสงคราม เกลสันเข้ารับราชการในกองทัพเรือสหรัฐฯ และทำงานที่หน่วย OP-20-G ซึ่งเป็นหน่วยถอดรหัสของกองทัพเรือ ที่นั่นมีนักคณิตศาสตร์หนุ่มจำนวนมากถูกเรียกตัวมาทำงานร่วมกัน เช่น โรเบิร์ต กรีนวูด (Robert Greenwood) และมาร์แชลล์ ฮอลล์ จูเนียร์ (Marshall Hall Jr.) และเมื่ออลัน ทัวริง เดินทางไปเยือนกรุงวอชิงตัน เขาก็ได้ใช้เวลากับเกลสันมาก ถึงขั้นเขียนถึงเขาในรายงานการเยือนว่า “นักคณิตศาสตร์หนุ่มจบเยลผู้ปราดเปรื่อง” แม้งานส่วนใหญ่ของเขาในเวลานั้นจะเป็นความลับ และเกลสันเองก็พูดถึงเรื่องนี้น้อยมากในชีวิตหลังสงคราม

ปัญหาข้อที่ห้าของฮิลแบร์ต

หลังสงคราม เกลสันกลับมาที่ฮาร์วาร์ด ได้รับตำแหน่งนักวิจัยรุ่นเยาว์ในสมาคมเฟลโลว์ (Society of Fellows) ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1946 และใช้เวลาสี่ปีนั้นเข้าฟังวิชาคณิตศาสตร์ต่างๆ พร้อมทุ่มความสนใจให้กับปัญหาข้อที่ห้าของฮิลแบร์ต (Hilbert’s fifth problem)

ปัญหานี้ถามว่า กลุ่มทอพอโลยีที่มีลักษณะเป็นท่อร่วมในเชิงทอพอโลยี (กล่าวคือ ดูเหมือนปริภูมิยุคลิดในระดับท้องถิ่น) จำเป็นต้องเป็นกลุ่มลีที่มีโครงสร้างราบเรียบด้วยหรือไม่ ในปี ค.ศ. 1952 เกลสันพิสูจน์ส่วนสำคัญที่สุดของปัญหา โดยแสดงให้เห็นถึงกรณีของกลุ่มที่ไม่มีกลุ่มย่อยขนาดเล็กตามอำเภอใจ แล้วดีน มอนต์โกเมอรี (Deane Montgomery) และลีโอ ซิปปิน (Leo Zippin) ก็นำผลนั้นไปสร้างข้อสรุปที่สมบูรณ์ในปีเดียวกัน คำตอบคือ “ใช่” และเป็นผลงานสำคัญที่ผูกทอพอโลยีกับพีชคณิตเข้าด้วยกันอย่างลึกซึ้ง

ทฤษฎีบทของเกลสัน: รากฐานของความน่าจะเป็นในกลศาสตร์ควอนตัม

ในปี ค.ศ. 1957 เกลสันตีพิมพ์ผลลัพธ์ที่ปัจจุบันเรียกว่า ทฤษฎีบทของเกลสัน (Gleason’s theorem) ซึ่งเกี่ยวกับตรรกศาสตร์ควอนตัม

ในกลศาสตร์ควอนตัม สถานะของระบบเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิฮิลแบร์ต และการวัดค่าเป็นการเลือกปริภูมิย่อยหนึ่ง ทฤษฎีบทนี้ระบุว่า หากปริภูมิมีมิติอย่างน้อยสาม ฟังก์ชันใดๆ ที่กำหนดความน่าจะเป็นให้กับปริภูมิย่อยเหล่านี้ตามกฎที่เหมาะสม จะต้องมีรูปแบบที่ได้จากตัวดำเนินการความหนาแน่น (density operator) เท่านั้น ซึ่งหมายความว่ากฎของบอร์น (Born rule) สำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นในกลศาสตร์ควอนตัม ไม่ใช่สมมติฐานที่เลือกได้ตามใจ แต่เป็นผลที่ตามมาจากโครงสร้างของปริภูมิฮิลแบร์ต นอกจากนี้ทฤษฎีบทนี้ยังเป็นรากฐานของข้อโต้แย้งที่ว่าทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นแบบไม่ขึ้นกับบริบทใช้ไม่ได้ในกลศาสตร์ควอนตัม

ผลงานอื่นด้านคณิตศาสตร์

เกลสันมีความสนใจกว้างขวาง เขาทำงานด้านคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องและทฤษฎีรหัส ซึ่งมีทฤษฎีบทกลีสัน-พรังจ์ (Gleason–Prange theorem) และแนวคิดอื่นอีกหลายอย่างใช้ชื่อเขา กราฟกรีนวูด-เกลสัน (Greenwood–Gleason graph) ซึ่งเป็นตัวอย่างสำคัญในทฤษฎีแรมซีย์ แสดงให้เห็นว่าค่าแรมซีย์ที่เกี่ยวกับการระบายสีสามสีเท่ากับ 17 นอกจากนี้เขายังสนใจตัวสร้างเลขสุ่มเทียมและการคำนวณ

เขาเขียนตำรา “Fundamentals of Abstract Analysis” (ค.ศ. 1966) และได้รับรางวัลจากสมาคมอเมริกันเพื่อความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์ (AAAS) ในปี ค.ศ. 1952 ส่วนที่ฮาร์วาร์ด เขาเป็นผู้ช่วยศาสตราจารย์ในปี ค.ศ. 1950 และเป็นศาสตราจารย์เต็มตัวในปี ค.ศ. 1957 ก่อนเกษียณในปี ค.ศ. 1992

ครูและผู้นำการปฏิรูปการสอนคณิตศาสตร์

เกลสันไม่ได้เป็นเพียงนักวิจัย เขาเป็นผู้นำด้านการปฏิรูปและนวัตกรรมการสอนคณิตศาสตร์ในทุกระดับ ตั้งแต่ชั้นประถมจนถึงมหาวิทยาลัย และร่วมในโครงการปฏิรูปวิชาแคลคูลัสในยุคหลัง เบเนดิกต์ กรอส (Benedict Gross) เมื่อมาร่วมฟังบรรยายครั้งสุดท้ายของเขาในปี ค.ศ. 1992 เขียนถึงเกลสันว่าเป็นตัวอย่างของวิชาชีพนักคณิตศาสตร์ที่ครบถ้วน ทั้งการออกแบบและสอนวิชา การให้คำปรึกษาด้านการศึกษา การวิจัย การเป็นผู้นำวิชาชีพ และการบ่มเพาะผู้มีพรสวรรค์ ลูกศิษย์ที่ได้รับการดูแลจากเขามีริชาร์ด ปาเลส์ (Richard Palais) รวมอยู่ด้วย

มรดก

แอนดรูว์ เกลสันเสียชีวิตเมื่อวันที่ 17 ตุลาคม ค.ศ. 2008 ที่เคมบริดจ์ ผลงานของเขาปรากฏในตำราทอพอโลยี ทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีรหัส และรากฐานของกลศาสตร์ควอนตัม ส่วนเรื่องราวของเขาในฐานะนักถอดรหัสที่ไม่ค่อยเอ่ยถึงชีวิตช่วงสงครามของตนเองก็เป็นเครื่องเตือนว่านักคณิตศาสตร์จำนวนมากรับใช้ประเทศชาติในแบบที่ไม่เคยถูกเปิดเผยจนกระทั่งภายหลัง