เอนนีโอ เด จอร์จี: นักคณิตศาสตร์ผู้ไขปัญหาที่ 19 ของฮิลแบร์ตและเปลี่ยนวงการแคลคูลัสของการแปรผัน

มีเรื่องราวไม่กี่เรื่องในคณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 20 ที่ผู้คนสองคนในที่ต่างกันไขปัญหาเดียวกันได้ในเวลาใกล้เคียงกันโดยไม่รู้ตัว หนึ่งในนั้นคือปัญหาที่ 19 ของฮิลแบร์ต ซึ่งมีผู้ตอบ 2 คน คือจอห์น แนช (John Nash) และ เอนนีโอ เด จอร์จี (Ennio De Giorgi) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีผู้เสียชีวิตเมื่อวันที่ 25 ตุลาคม ค.ศ. 1996 ที่เมืองปิซา ประเทศอิตาลี ด้วยวัย 68 ปี สารานุกรมประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์บางเล่มยกย่องเขาว่าเป็นนักคณิตศาสตร์อิตาลีที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแห่งครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20

ชีวิตช่วงต้น

เด จอร์จีเกิดเมื่อวันที่ 8 กุมภาพันธ์ ค.ศ. 1928 ที่เมืองเลชเช (Lecce) ทางตอนใต้ของอิตาลี มารดาชื่อสเตฟาเนีย สโกปีนิช มีครอบครัวมาจากเกาะลุสซีโน บิดาเสียชีวิตเมื่อเขาอายุเพียง 2 ขวบ มารดาจึงเลี้ยงดูครอบครัวด้วยตนเอง เขาแสดงความสามารถเป็นพิเศษตั้งแต่เรียนมัธยมที่เมืองบ้านเกิด แล้วศึกษาต่อที่มหาวิทยาลัยโรม ก่อนย้ายไปสถาบันสกูโอลานอร์มาเลซูเปริโอเร (Scuola Normale Superiore) ที่ปิซาในฤดูใบไม้ร่วงปี ค.ศ. 1959 เพื่อรับตำแหน่งหัวหน้าภาควิชาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เขาทำงานที่นั่นจนสิ้นชีวิต

ทฤษฎีเพอริมิเตอร์และพื้นผิวขั้นต่ำ

ผลงานช่วงแรกที่สำคัญของเขาคือ ทฤษฎีเพอริมิเตอร์ของเซต (theory of perimeters) ในช่วงกลางทศวรรษ 1950 ซึ่งต่อยอดจากงานของเรนาโต กัชชิอปโปลี (Renato Caccioppoli) ทฤษฎีนี้ให้นิยามเชิงวิเคราะห์ของความยาวขอบหรือพื้นที่ผิวสำหรับเซตที่ไม่ราบเรียบ และกลายเป็นรากฐานของทฤษฎีการวัดเชิงเรขาคณิต (geometric measure theory) ซึ่งเป็นสาขาที่ใช้ศึกษาพื้นผิวที่ไม่ราบเรียบ

ผลสืบเนื่องคือผลงานเรื่องปัญหาของพลาโต (Plateau’s problem) ที่ถามว่า เมื่อกำหนดขอบเขตเส้นโค้งปิด จะมีพื้นผิวที่มีพื้นที่น้อยที่สุดซึ่งมีขอบเป็นเส้นโค้งนั้นหรือไม่ เหมือนฟิล์มสบู่ที่ขึงบนห่วง เด จอร์จีพัฒนาทฤษฎีความเรียบบางส่วน (partial regularity) ของพื้นผิวที่ทำให้พื้นที่น้อยที่สุดในมิติสูง ซึ่งแสดงว่าพื้นผิวเหล่านี้ราบเรียบแทบทุกจุด

ปัญหาของเบิร์นสไตน์

เขาแก้ปัญหาอีกข้อที่มีชื่อเสียงคือ ปัญหาของเบิร์นสไตน์ (Bernstein’s problem) ซึ่งถามว่าพื้นผิวที่ทำให้พื้นที่น้อยที่สุดซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชันเหนือทั้งปริภูมิ จำเป็นต้องเป็นระนาบหรือไม่ เบิร์นสไตน์พิสูจน์กรณีสองมิติได้แล้ว ในปี ค.ศ. 1965 เด จอร์จีสร้างข้อลดรูปที่สำคัญที่นำไปสู่การพิสูจน์ในมิติที่สูงขึ้น ต่อมานักคณิตศาสตร์อื่นขยายผลต่อไปอีกหลายมิติ และในปี ค.ศ. 1969 เอนริโก บอมบีเอรี (Enrico Bombieri), เด จอร์จี และเอนริโก จุสตี (Enrico Giusti) ร่วมกันสร้างตัวอย่างค้านที่แสดงว่าคำตอบเปลี่ยนไปเมื่อมิติสูงถึงระดับหนึ่ง ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจของคณิตศาสตร์

ปัญหาที่ 19 ของฮิลแบร์ต

ผลงานที่ทำให้ชื่อของเขาอยู่ในทุกตำราคือการแก้ ปัญหาที่ 19 ของฮิลแบร์ต ซึ่งฮิลแบร์ตตั้งไว้ในปี ค.ศ. 1900 คำถามคือ คำตอบของปัญหาการแปรผันแบบปกติสำหรับอินทิกรัลหลายตัวแปร จะราบเรียบและแม้แต่วิเคราะห์ได้เมื่อข้อมูลเป็นแบบวิเคราะห์ได้หรือไม่

ขั้นตอนสุดท้ายและยากที่สุดคือการแสดงว่าคำตอบอย่างอ่อนของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรีที่มีสัมประสิทธิ์เพียงวัดได้และมีขอบเขต เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องแบบเฮิลเดอร์ (Hölder continuous) เด จอร์จีได้ผลนี้ในปี ค.ศ. 1955 และตีพิมพ์ฉบับสมบูรณ์ในปี ค.ศ. 1957 ซึ่งตรงกับช่วงเวลาที่แนชทำงานในปัญหาเดียวกันโดยอิสระและตีพิมพ์วิธีที่ต่างออกไป ภายหลังเยือร์เกน โมเซอร์ (Jürgen Moser) ให้การพิสูจน์อีกแบบหนึ่ง ทฤษฎีบทนี้จึงเป็นที่รู้จักในชื่อ ทฤษฎีบทเด จอร์จี-แนช-โมเซอร์ (De Giorgi–Nash–Moser theorem) และกลายเป็นหนึ่งในผลลัพธ์พื้นฐานที่สุดของทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรี

แกมมา-คอนเวอร์เจนซ์และงานด้านอื่น

ในทศวรรษ 1970 เด จอร์จีร่วมกับทูลลิโอ ฟรันโซนี (Tullio Franzoni) พัฒนาแนวคิดที่เรียกว่า แกมมา-คอนเวอร์เจนซ์ (Γ-convergence) ซึ่งเป็นรูปแบบการลู่เข้าของฟังก์ชันนัล (functional) ที่ออกแบบมาให้เหมาะกับปัญหาการแปรผัน เพราะทำให้คำตอบที่ทำให้ฟังก์ชันนัลน้อยที่สุดลู่เข้าด้วยกันเมื่อฟังก์ชันนัลเองลู่เข้า แนวคิดนี้ถูกใช้ต่อมาในเรื่องการหาค่าเฉลี่ยของวัสดุประกอบ (homogenization) การเปลี่ยนสถานะ และปัญหาฟิสิกส์คณิตศาสตร์อื่นอีกมาก

ในปี ค.ศ. 1989 เขาร่วมกับมีเกเล การ์ริเอโร (Michele Carriero) และอันโตนิโอ เลอาชี (Antonio Leaci) พิสูจน์การมีอยู่ของคำตอบของปัญหารอยต่อเสรี (free discontinuity problems) ซึ่งเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันนัลแบบมัมฟอร์ด-ชาห์ (Mumford–Shah) ในการแบ่งส่วนภาพ นอกจากนี้ตั้งแต่กลางทศวรรษ 1970 เขายังหันไปสนใจรากฐานของคณิตศาสตร์ โดยมีมุมมองแบบไม่ลดทอน (nonreductionist)

ครู คุณค่า และเกียรติยศ

ลูกศิษย์ของเด จอร์จีบรรยายว่าเขาร่าเริงและเปิดกว้างอยู่เสมอ ชอบถกเถียงกับนักศึกษาเป็นเวลานาน โยนความคิดเดิมๆ ออกมา เสนอข้อความคาดการณ์ หรือร่างแนวทางพิสูจน์ ลูกศิษย์และผู้ร่วมงานของเขา เช่น จันนี ดัล มาโซ (Gianni Dal Maso), มาริโอ มิรันดา (Mario Miranda), เซร์โจ สปาญโญโล (Sergio Spagnolo) และลุยจี อัมโบรซิโอ (Luigi Ambrosio) ได้เป็นผู้นำของสาขานี้ต่อมา

เขาเป็นผู้ที่มีศรัทธาทางศาสนาและค่านิยมด้านมนุษยธรรมอย่างลึกซึ้ง เคยกล่าวว่าคณิตศาสตร์เป็นกุญแจสู่ความลับของพระเจ้า และกระตือรือร้นในการปกป้องสิทธิมนุษยชน เขาได้รับเลือกเป็นสมาชิกของสถาบันวิทยาศาสตร์พระสันตะปาปา และสถาบันวิทยาศาสตร์ฝรั่งเศส

รางวัลของเขารวมถึงรางวัลกัชชิอปโปลีในปี ค.ศ. 1960 รางวัลแห่งชาติของสถาบันลินเช (Accademia dei Lincei) ในปี ค.ศ. 1973 และ รางวัลวูล์ฟสาขาคณิตศาสตร์ในปี ค.ศ. 1990 สำหรับแนวคิดสร้างสรรค์และความสำเร็จขั้นพื้นฐานในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและแคลคูลัสของการแปรผัน

The twilight of one's life

ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1988 เด จอร์จีเริ่มมีปัญหาสุขภาพ ในเดือนกันยายน ค.ศ. 1996 เขาเข้ารักษาตัวที่โรงพยาบาลในเมืองปิซา และเสียชีวิตหลังการผ่าตัดเมื่อวันที่ 25 ตุลาคม ค.ศ. 1996

มรดก

ผลงานของเด จอร์จีมีอิทธิพลต่อนักคณิตศาสตร์จำนวนมาก รวมถึงลูอิส คาฟฟาเรลลี (Luis Caffarelli) ทฤษฎีบทของเขายังเป็นเครื่องมือหลักที่นักวิเคราะห์ใช้ศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรีและพาราโบลิกในปัจจุบัน ส่วนเรื่องราวของการที่เขากับแนชแก้ปัญหาเดียวกันได้ในเวลาใกล้เคียงกัน โดยใช้วิธีที่ต่างกันอย่างสิ้นเชิง เป็นหนึ่งในตัวอย่างที่งดงามของการค้นพบทางคณิตศาสตร์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน