Remembering the 233rd birth anniversary of George Green: from baker's son to the originator of a groundbreaking calculus theorem.

หากคุณเคยผ่านสมรภูมิในวิชาแคลคูลัสขั้นสูง (Advanced Calculus) หรือแคลคูลัสเวกเตอร์ (Vector Calculus) มาก่อน ชื่อของ “ทฤษฎีบทของกรีน” (Green’s Theorem) น่าจะเป็นหนึ่งในชื่อที่คุ้นหู และอาจเป็นตัวช่วยชีวิตในห้องสอบที่เปลี่ยนโจทย์อินทิเกรตยาก ๆ ให้กลายเป็นเรื่องง่าย

Date 5 กรกฎาคม นี้ เป็นวันคล้ายวันเกิดครบรอบ 233 ปีของ จอร์จ กรีน (George Green) นักคณิตศาสตร์อัจฉริยะชาวอังกฤษ ผู้สร้างปรากฏการณ์อันน่าทึ่งในโลกวิชาการ และเป็นข้อพิสูจน์ว่า “อัจฉริยภาพที่แท้จริง ไม่ได้จำกัดอยู่แค่ในรั้วมหาวิทยาลัย”

อัจฉริยะที่เติบโตนอกห้องเรียน

เรื่องราวชีวิตของ จอร์จ กรีน (เกิด 5 กรกฎาคม ค.ศ. 1793) แตกต่างจากนักวิทยาศาสตร์ร่วมสมัยคนอื่น ๆ อย่างสิ้นเชิง เขาไม่ได้เกิดในตระกูลขุนนาง และไม่ได้เข้าเรียนในมหาวิทยาลัยชั้นนำตั้งแต่เด็ก กรีนเป็นเพียงลูกชายของคนทำขนมปังในเมืองนอตทิงแฮม และได้เรียนหนังสือในโรงเรียนประถมเพียงแค่ประมาณ 1 ปีเท่านั้น หลังจากนั้นเขาต้องมาช่วยงานในโรงสีแป้งของพ่อ

ทว่า ท่ามกลางเสียงเครื่องจักรและฝุ่นแป้ง กรีนใช้เวลาว่างในการศึกษาคณิตศาสตร์ชั้นสูงด้วยตนเองจากหนังสือและวารสารวิชาการที่หามาได้ เขาฝึกฝนจนเข้าใจคณิตศาสตร์ฟิสิกส์อย่างลึกซึ้ง และในวัย 35 ปี (ค.ศ. 1828) กรีนได้ตีพิมพ์ผลงานชิ้นโบว์แดงในรูปแบบเอกสารเผยแพร่ส่วนตัว (ขยายความคือ พิมพ์แจกจ่ายกันเองในกลุ่มเล็ก ๆ เพราะเขาไม่มีเส้นสายในสมาคมวิชาการ) ในชื่อ “An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism”

และในหนังสือเล่มนี้นี่เองที่ ทฤษฎีบทของกรีน ได้ถูกกำเนิดขึ้น

ทฤษฎีบทของกรีน: ทางลัดแสนงดงามของแคลคูลัส

ในทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทของกรีนสร้างสะพานเชื่อมโยงความสัมพันธ์ระหว่าง การอินทิเกรตตามเส้นรอบรูปปิด (Line Integral) กับ การอินทิเกรตสองชั้นบนพื้นที่ (Double Integral) ที่ถูกล้อมรอบด้วยเส้นนั้น

$$ \oint_C (P , dx + Q , dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx , dy $$

ลองนึกภาพว่า ถ้าเราต้องคำนวณงานหรือแรงที่เกิดขึ้นรอบเส้นขอบที่มีความคดเคี้ยวและซับซ้อน การอินทิเกรตตามเส้นตรง ๆ อาจจะยากจนแทบเป็นไปไม่ได้ แต่ทฤษฎีบทของกรีนบอกเราว่า “แทนที่จะไล่คำนวณตามเส้นขอบ ให้หันมาคำนวณสิ่งที่เป็นไปภายในพื้นที่หน้าตัดนั้นแทนสิ” ซึ่งบ่อยครั้งการหาอนุพันธ์ย่อย (Partial Derivative) แล้วอินทิเกรตสองชั้นกลับทำได้ง่ายกว่ากันอย่างมหาศาล

นอกจากนี้ แนวคิดของกรีนยังเป็นรากฐานสำคัญที่ถูกนำไปต่อยอดเป็น ทฤษฎีบทของสโตกส์ (Stokes’ Theorem) and ทฤษฎีบทการลู่เข้าของเกาส์ (Gauss’s Divergence Theorem) ในสามมิติอีกด้วย

จากโรงสีแป้งสู่สมการระดับโลก

ความมหัศจรรย์ของผลงานของกรีนคือ มันไม่ได้หยุดอยู่แค่ในกระดาษทดคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ แต่มันคือกุญแจสำคัญที่นักฟิสิกส์ใช้เปิดประตูสู่โลกแห่งแม่เหล็กไฟฟ้าและกลศาสตร์ของไหล แนวคิดเรื่อง ฟังก์ชันของกรีน (Green’s Function) ที่เขาคิดค้นขึ้น ยังคงเป็นเครื่องมือทรงพลังที่ใช้ในวิศวกรรมศาสตร์ ฟิสิกส์ควอนตัม และการวิเคราะห์คลื่นจนถึงปัจจุบัน

ในที่สุด ความสามารถของเขาก็เข้าตานักวิชาการในยุคนั้น ทำให้กรีนได้รับโอกาสเข้าเรียนในมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ในวัย 40 ปี และได้ทำงานวิจัยอย่างเต็มตัวในช่วงบั้นปลายชีวิต

วันที่ 5 กรกฎาคม จึงเป็นวันที่เราควรร่วมรำลึกถึง จอร์จ กรีน บุรุษผู้แสดงให้โลกเห็นว่า ความหลงใหลและการศึกษาเรียนรู้ด้วยตนเองสามารถสร้างแรงสั่นสะเทือนให้แก่วงการคณิตศาสตร์ระดับโลกได้ไม่แพ้ใครในประวัติศาสตร์