July 9, 1845 — George Darwin: The son who used mathematics to calculate tides.
Today in the history of mathematics. | 9 กรกฎาคม ค.ศ. 1845
บทนำ: นามสกุลที่หนักที่สุดในโลกวิทยาศาสตร์
เกิดวันนี้ที่ Down House มณฑลเคนต์ ประเทศอังกฤษ เป็นลูกคนที่ห้าของ ชาลส์ ดาร์วิน ผู้เขียน The Origin of Species
การเป็นลูกของบุคคลระดับนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย แต่ เซอร์จอร์จ ฮาวเวิร์ด ดาร์วิน (Sir George Howard Darwin, 1845–1912) เลือกเส้นทางที่พ่อของเขาแทบไม่เคยเหลียวมอง — เขาเดินเข้าสู่ คณิตศาสตร์ประยุกต์และกลศาสตร์ท้องฟ้า
และเขาก็สร้างชื่อของตัวเองได้สำเร็จ
1. เส้นทางที่คดเคี้ยว
- เข้า St John’s College, Cambridge ในปี 1863 ต่อมาย้ายไป Trinity College โดยมี E. J. Routh เป็นติวเตอร์
- สอบ Mathematical Tripos ได้ที่ Second Wrangler (อันดับสอง) ในปี 1868 และได้อันดับสองใน Smith’s Prize
- แล้วเขาก็… ไปเป็นทนายความ เข้ารับใบอนุญาตว่าความในปี 1872
- แต่สุดท้ายกลับสู่วิทยาศาสตร์ที่เคมบริดจ์ และในปี 1883 ได้เป็น Plumian Professor of Astronomy and Experimental Philosophy สืบตำแหน่งต่อจาก James Challis
ได้รับเลือกเป็น Fellow of the Royal Society ในปี 1879 ได้ Royal Medal (1884) และ Copley Medal (1911) ซึ่งเป็นเกียรติสูงสุดของราชสมาคม
2. งานหลัก: การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกของน้ำขึ้นน้ำลง
น้ำขึ้นน้ำลงไม่ได้เกิดจากดวงจันทร์อย่างเดียว มันคือผลรวมของแรงดึงดูดจากดวงจันทร์และดวงอาทิตย์ ที่เคลื่อนที่ด้วยคาบต่างกัน บวกกับรูปร่างของชายฝั่ง ความลึกของทะเล และการหมุนของโลก
แนวคิดของดาร์วิน (ต่อยอดจาก Laplace and Lord Kelvin) คือ สลายความสูงของน้ำออกเป็นผลรวมของฟังก์ชันไซน์ที่มีคาบต่าง ๆ
$$ h(t) = H_0 + \sum_{k=1}^{n} H_k \cos!\big(\omega_k t – \phi_k\big) $$
โดยที่
- $H_k$ คือแอมพลิจูดขององค์ประกอบที่ $k$
- $\omega_k$ คือความถี่เชิงมุม ซึ่ง กำหนดได้จากดาราศาสตร์ (ไม่ต้องประมาณจากข้อมูล!)
- $\phi_k$ คือเฟส ซึ่งขึ้นกับสถานที่
องค์ประกอบสำคัญที่เรียกว่า สัญลักษณ์ของดาร์วิน (Darwin symbols) ยังใช้ในกรมอุทกศาสตร์ทั่วโลกจนถึงวันนี้
| สัญลักษณ์ | ชื่อ | คาบ (ชั่วโมง) |
|---|---|---|
| $M_2$ | ครึ่งวันจากดวงจันทร์ | 12.42 |
| $S_2$ | ครึ่งวันจากดวงอาทิตย์ | 12.00 |
| $K_1$ | รายวันเชิงประกอบ | 23.93 |
| $O_1$ | รายวันจากดวงจันทร์ | 25.82 |
จุดสำคัญเชิงคณิตศาสตร์: เมื่อ $\omega_k$ ทราบล่วงหน้า การหา $H_k, \phi_k$ กลายเป็นปัญหา กำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้น (linear least squares) เพราะ
$$ H_k \cos(\omega_k t – \phi_k) = a_k \cos \omega_k t + b_k \sin \omega_k t $$
โดย $a_k = H_k\cos\phi_k$, $b_k = H_k \sin\phi_k$ — เป็นเชิงเส้นใน $a_k, b_k$ พอดี
นี่คือเหตุผลที่ในปี 1885 ดาร์วินร่วมกับ Andrew Wilson Baird จัดทำรายงานการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกของข้อมูลน้ำขึ้นน้ำลงฉบับสมบูรณ์ โดยใช้ข้อมูลภาคสนามจาก Survey of India — คณิตศาสตร์บริสุทธิ์พบกับข้อมูลจริงเป็นครั้งแรกในระดับนี้
3. ทฤษฎีการแยกตัวของดวงจันทร์ (Fission Theory)
ดาร์วินเสนอว่า ดวงจันทร์เคยเป็นส่วนหนึ่งของโลกที่หลอมเหลว แล้วถูก แรงน้ำขึ้นน้ำลงจากดวงอาทิตย์ ดึงหลุดออกไป เพราะคาบการสั่นพ้องของโลกในยุคนั้นตรงกับคาบการกวน
เพื่อสนับสนุนแนวคิดนี้ เขาศึกษา เสถียรภาพของของไหลที่หมุน อย่างละเอียด งานปี 1902 เรื่อง “On a pear-shaped figure of equilibrium” วิเคราะห์ว่าเมื่อของไหลหมุนเร็วขึ้น รูปทรงสมดุลจะเปลี่ยนจากทรงรี (Maclaurin spheroid) ไปเป็นทรงรีสามแกน (Jacobi ellipsoid) และอาจกลายเป็นรูปลูกแพร์ก่อนแตกออกเป็นสองก้อน
หมายเหตุสำคัญ: ทฤษฎีนี้ ถูกปฏิเสธในปัจจุบัน ทฤษฎีที่ยอมรับกันคือ Giant-impact hypothesis (ดาวเคราะห์ขนาดดาวอังคารชนโลก)
แต่คณิตศาสตร์ที่เขาพัฒนาขึ้นเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีที่ผิด — เรื่องเสถียรภาพของของไหลหมุน แรงเสียดทานน้ำขึ้นน้ำลง และคาบวงโคจร — ยังคงถูกต้องและมีค่าจนถึงวันนี้
นี่คือบทเรียนสำคัญเรื่องธรรมชาติของวิทยาศาสตร์: เครื่องมืออาจอยู่รอดได้แม้ข้อสรุปจะพังทลาย
4. คำคมที่ควรติดผนังห้องเรียน
ในการกล่าวปาฐกถานำการประชุม International Congress of Mathematicians ปี 1912 ที่เคมบริดจ์ ดาร์วินพูดถึงลักษณะของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ไว้อย่างงดงาม และประโยคที่มักถูกยกอ้างมากที่สุดของเขาคือ
“a mathematical argument is, after all, only organized common sense”
— การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ที่จริงแล้วก็คือสามัญสำนึกที่ถูกจัดระเบียบเท่านั้นเอง
สำหรับครูคณิตศาสตร์ ประโยคนี้เป็นเครื่องเตือนใจว่า บทพิสูจน์ไม่ใช่พิธีกรรม แต่คือการเรียบเรียงเหตุผลที่มนุษย์ทุกคนมีอยู่แล้วให้เป็นระบบ
5. มรดก
- แรงเสียดทานน้ำขึ้นน้ำลง (tidal friction) ที่ดาร์วินศึกษา อธิบายว่าเหตุใดดวงจันทร์จึงถอยห่างจากโลกปีละประมาณ 3.8 เซนติเมตร และเหตุใดหนึ่งวันบนโลกจึงยาวขึ้นเรื่อย ๆ
- งานของเขาเรื่อง ปัญหาสามวัตถุ (three-body problem) ในระบบดวงอาทิตย์–โลก–ดวงจันทร์ เป็นการบุกเบิกการคำนวณเชิงตัวเลขในกลศาสตร์ท้องฟ้า
- Darwin Lectures ของ Royal Astronomical Society ตั้งชื่อเป็นเกียรติแก่เขา
- หลุมอุกกาบาต Darwin บนดวงจันทร์ ตั้งชื่อตามทั้งพ่อและลูก
Thought-provoking activities
- หาข้อมูลระดับน้ำทะเลรายชั่วโมงของสถานีใดสถานีหนึ่ง (เช่น กรมอุทกศาสตร์ไทย) ย้อนหลัง 30 วัน แล้วประมาณค่า $a_k, b_k$ ของ $M_2$ และ $S_2$ ด้วยวิธีกำลังสองน้อยที่สุด
- เพราะเหตุใดคาบของ $M_2$ จึงเป็น 12.42 ชั่วโมง ไม่ใช่ 12 ชั่วโมง? (คำใบ้: โลกต้องหมุนเพิ่มอีกนิดเพื่อ “ไล่ตาม” ดวงจันทร์ที่โคจรไปข้างหน้า)
- ปรากฏการณ์ น้ำเกิด–น้ำตาย (spring/neap tide) อธิบายได้อย่างไรด้วยการบวก $M_2 + S_2$? แสดงว่าคาบของการบีต (beat) คือประมาณ 14.8 วัน
- อภิปราย: ทฤษฎีของดาร์วินเรื่องกำเนิดดวงจันทร์ผิด แต่คณิตศาสตร์ของเขาถูก — เราควรประเมิน “คุณค่า” ของงานวิทยาศาสตร์อย่างไร?
References
- Darwin, G. H. (1898). The Tides and Kindred Phenomena in the Solar System. London.
- Darwin, G. H. (1902). On a pear-shaped figure of equilibrium. Philosophical Transactions of the Royal Society A, 200, 251–314.
- Darwin, G. H. (1908). Scientific Papers, Vol. II: Tidal Friction and Cosmogony. Cambridge University Press.
- Kopal, Z. (1971). Darwin, George. In Dictionary of Scientific Biography, 3, 582–584.
- O’Connor, J. J., & Robertson, E. F. George Darwin. MacTutor History of Mathematics Archive.
ชุดบทความ “วันนี้ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์” — เผยแพร่ 9 กรกฎาคม 2569
