July 9, 1953 — Henri Pade: When the Taylor series isn't enough
Today in the history of mathematics. | อ็องรี ปาเด ถึงแก่กรรม 9 กรกฎาคม ค.ศ. 1953
บทนำ: จุดอ่อนที่ทุกคนมองข้าม
อนุกรมเทย์เลอร์เป็นเครื่องมือที่นักศึกษาคณิตศาสตร์รักที่สุด
$$ \frac{1}{1+x} = 1 – x + x^2 – x^3 + x^4 – \cdots $$
แต่ลองแทน $x = 2$ ดูสิ ด้านซ้ายได้ $\tfrac13$ ส่วนด้านขวาระเบิดเป็นอนันต์ เพราะรัศมีการลู่เข้าคือ $|x| < 1$
พหุนามไม่มีวันเลียนแบบเส้นกำกับได้ พหุนามดีกรี $n$ มีค่าลู่ออกสู่ $\pm\infty$ เสมอเมื่อ $x \to \pm\infty$ ในขณะที่ฟังก์ชันจริงจำนวนมากมีเส้นกำกับ มีขั้ว (pole) มีพฤติกรรมที่พหุนามตามไม่ทัน
ทางออก: อย่าใช้พหุนาม — ใช้ อัตราส่วนของพหุนาม
นั่นคือหัวใจของ การประมาณค่าแบบปาเด (Padé approximant) ผลงานของ อ็องรี เออแฌน ปาเด (Henri Eugène Padé, 1863–1953) ผู้จากไปในวันนี้
1. นิยาม
นิยาม (Padé approximant) ให้ $f(x)$ มีอนุกรมเทย์เลอร์รอบ $x=0$ การประมาณค่าแบบปาเดอันดับ $[m/n]$ คือฟังก์ชันตรรกยะ $$ [m/n]_f(x) = \frac{P_m(x)}{Q_n(x)} = \frac{p_0 + p_1 x + \cdots + p_m x^m}{1 + q_1 x + \cdots + q_n x^n} $$ ที่ทำให้อนุกรมเทย์เลอร์ของ $[m/n]_f$ ตรงกับของ $f$ จนถึงพจน์ $x^{m+n}$
มีสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่าทั้งหมด $m + n + 1$ ตัว และเรากำหนดเงื่อนไข $m+n+1$ เงื่อนไข — พอดีเป๊ะ
เงื่อนไขในทางปฏิบัติ: เขียน $f(x)Q_n(x) – P_m(x) = O(x^{m+n+1})$ แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ ได้ระบบสมการเชิงเส้น
2. ตัวอย่างที่ทำให้เห็นภาพทันที
ตัวอย่างที่ 1: $e^x$ ด้วย $[1/1]$
จาก $e^x = 1 + x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6} + \cdots$ ให้
$$ [1/1] = \frac{p_0 + p_1 x}{1 + q_1 x} $$
จับคู่ถึง $x^2$ ได้ $p_0 = 1$, $p_1 = \tfrac12$, $q_1 = -\tfrac12$ ดังนั้น
$$ e^x \approx \frac{1 + \frac{x}{2}}{1 – \frac{x}{2}} = \frac{2+x}{2-x} $$
ที่ $x = 1$: ปาเดให้ $3 \approx 2.718$ ส่วนเทย์เลอร์ดีกรี 2 ให้ $2.5$ — ปาเดชนะ ทั้งที่ใช้ข้อมูลเท่ากัน
ตัวอย่างที่ 2: พลังที่แท้จริง
ลองประมาณ $f(x) = \dfrac{1}{1+x}$ ด้วย $[0/1]$
$$ [0/1] = \frac{1}{1+x} = f(x) $$
ตรงเป๊ะ — ในขณะที่อนุกรมเทย์เลอร์ต้องใช้พจน์อนันต์และยังลู่ออกที่ $x=2$ อยู่ดี
นี่คือความมหัศจรรย์: ปาเดจับ “ขั้ว” ของฟังก์ชันได้ ในขณะที่เทย์เลอร์ทำไม่ได้
3. ตารางปาเด (Padé table)
ปาเดจัดเรียงการประมาณค่าทุกอันดับ $[m/n]$ ลงใน ตารางสองมิติ (แถว $m$ คอลัมน์ $n$)
| $n=0$ | $n=1$ | $n=2$ | $\cdots$ | |
|---|---|---|---|---|
| $m=0$ | $[0/0]$ | $[0/1]$ | $[0/2]$ | |
| $m=1$ | $[1/0]$ | $[1/1]$ | $[1/2]$ | |
| $m=2$ | $[2/0]$ | $[2/1]$ | $[2/2]$ |
- คอลัมน์แรก ($n=0$) คือผลบวกย่อยของอนุกรมเทย์เลอร์
- แนวทแยง $[n/n]$ มักให้ความแม่นยำสูงสุด
- การเดินตามแนวทแยงบันได สอดคล้องกับ การกระจายเศษส่วนต่อเนื่อง ของฟังก์ชัน
ในวิทยานิพนธ์ปี 1892 (ภายใต้การควบคุมของ Charles Hermite) ปาเดพิสูจน์ความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างของตารางนี้ และแสดงว่า — ในความหมายที่นิยามอย่างเหมาะสม — การประมาณค่าแบบปาเดคือการประมาณที่ดีที่สุดในบรรดาฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมด
4. ปาเดไม่ใช่คนแรก แต่เป็นคนแรกที่จัดระบบ
ประวัติศาสตร์ตรงนี้น่าสนใจมากสำหรับการสอนเรื่อง ความเป็นเจ้าของความรู้
| ปี | บุคคล | สิ่งที่ทำ |
|---|---|---|
| 1730 | Daniel Bernoulli, James Stirling | ใช้การประมาณแบบปาเดโดยไม่รู้ตัว |
| ~1750 | Leonhard Euler | ใช้หาผลบวกอนุกรม |
| 1758 | Johann Lambert | พบตัวประมาณที่เป็นปาเด แต่ไม่สร้างทฤษฎีทั่วไป |
| 1776 | Joseph-Louis Lagrange | เชื่อมโยงกับเศษส่วนต่อเนื่อง |
| 1873 | Charles Hermite | ใช้พิสูจน์ว่า $e$ เป็นจำนวนอดิศัย |
| ~1880s | Ferdinand Frobenius | หาความสัมพันธ์ระหว่างตัวประมาณ |
| 1892 | Henri Padé | ศึกษาอย่างเป็นระบบครั้งแรก + สร้างตารางปาเด |
Van Vleck กล่าวไว้ในที่ประชุม AMS ปี 1903 ว่าก่อนหน้าปาเดไม่มีใครตรวจสอบตัวประมาณเหล่านี้อย่างเป็นระบบ นอกจาก Frobenius และปาเดก้าวไปไกลกว่าด้วยการจัดตัวประมาณทั้งหมดลงในตาราง
ที่น่าสนใจคือ ปาเดดูเหมือนจะ ไม่ทราบ ถึงงานของ Frobenius เลย
5. ชีวประวัติโดยย่อ
- เกิดที่เมือง Abbeville ทางเหนือของฝรั่งเศส 17 ธันวาคม 1863
- เข้า École Normale Supérieure ปี 1883 จบ Agrégation de Mathématiques ปี 1886 แล้วไปเป็นครูมัธยม
- ปี 1889 ไปเยอรมนี ศึกษากับ Felix Klein ที่ Göttingen และ Hermann Schwarz
- 1892 — วิทยานิพนธ์ปริญญาเอกภายใต้ Hermite ซึ่งบรรจุทฤษฎีตัวประมาณปาเด
- สืบทอดตำแหน่งศาสตราจารย์กลศาสตร์ตรรกยะที่ École Centrale de Lille ต่อจาก Émile Borel
- ได้รับ Grand Prix des Sciences Mathématiques ในปี 1905
- ถึงแก่กรรมที่ Aix-en-Provence 9 กรกฎาคม 1953 อายุ 89 ปี
6. ปาเดในโลกวันนี้
- ฟิสิกส์เชิงทฤษฎี: การหาผลรวมอนุกรมกวน (perturbation series) ที่ลู่ออก — Padé resummation
- ทฤษฎีการควบคุม: Padé approximation ของ $e^{-sT}$ เพื่อจำลองความหน่วงเวลาในระบบเชิงเส้น
- การประมวลผลสัญญาณ: การออกแบบตัวกรอง IIR
- เคมีควอนตัม: การประมาณพลังงานสถานะพื้น
- การวิเคราะห์เชิงตัวเลข: การหาผลเฉลยสมการเชิงอนุพันธ์แบบ stiff (Padé-based Runge–Kutta)
Thought-provoking activities
- หา $[2/2]$ ของ $e^x$ แล้วเปรียบเทียบค่าที่ $x=1$ กับผลบวกย่อยเทย์เลอร์ดีกรี 4 อันไหนใกล้ $e = 2.71828\ldots$ มากกว่า?
- หา $[1/1]$ ของ $\ln(1+x)$ แล้วประเมินที่ $x = 1$ เปรียบเทียบกับ $\ln 2 = 0.6931\ldots$
- แสดงว่า $[n/n]$ ของ $e^x$ มีสมบัติ $n/n \cdot n/n = 1$ (สอดคล้องกับ $e^x e^{-x} = 1$)
- เขียนโปรแกรม Python ใช้
scipy.interpolate.padeเปรียบเทียบกราฟของ $\tan x$ กับ $[3/3]$ และเทย์เลอร์ดีกรี 6 บนช่วง $[-1.5, 1.5]$ สังเกตว่าอันไหนจับขั้วที่ $x = \pi/2$ ได้ - อภิปราย: เหตุใดฟังก์ชันตรรกยะจึงจับ “ขั้ว” ได้ แต่พหุนามทำไม่ได้?
References
- Padé, H. (1892). Sur la représentation approchée d’une fonction par des fractions rationnelles. Thèse, École Normale Supérieure.
- Baker, G. A., & Graves-Morris, P. (1996). Padé Approximants (2nd ed.). Cambridge University Press.
- Brezinski, C. (1996). History of Continued Fractions and Padé Approximants. Springer.
- Bender, C. M., & Orszag, S. A. (1999). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. Springer. (บทที่ 8)
- O’Connor, J. J., & Robertson, E. F. Henri Padé. MacTutor History of Mathematics Archive.
ชุดบทความ “วันนี้ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์” — เผยแพร่ 9 กรกฎาคม 2569
