Alfred Foster: From Boolean Algebra to Universal Algebraic Theory

จากฟิสิกส์คณิตศาสตร์สู่ตรรกศาสตร์

อัลเฟรด ลีออน ฟอสเตอร์ (Alfred Leon Foster) เกิดที่นครนิวยอร์กเมื่อวันที่ 13 กรกฎาคม ค.ศ. 1904 เขาสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรีสาขาคณิตศาสตร์จากสถาบันเทคโนโลยีแคลิฟอร์เนีย (Caltech) ในปี ค.ศ. 1926 โดยช่วงแรกความสนใจของเขาอยู่ที่ฟิสิกส์คณิตศาสตร์และพีชคณิต ก่อนที่อาจารย์พีชคณิตของเขาคือ อี. ที. เบลล์ (E. T. Bell) จะสนับสนุนให้เขาไปศึกษาต่อระดับปริญญาเอกที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน ภายใต้การดูแลของอลอนโซ เชิร์ช (Alonzo Church) หนึ่งในผู้บุกเบิกตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี

ที่พรินซ์ตัน ฟอสเตอร์ตั้งใจจะทำวิจัยด้านพีชคณิต แต่ด้วยบรรยากาศทางวิชาการที่ทฤษฎีกรุ๊ป (group theory) กำลังเป็นที่นิยม เขาจึงมองเห็นโอกาสนำทฤษฎีกรุ๊ปเข้ามาผสมผสานกับตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์ วิทยานิพนธ์ปริญญาเอกและผลงานชิ้นแรก ๆ ของเขาจึงอยู่ในสาขาตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์

เส้นทางสู่เบิร์กลีย์และพีชคณิตบูลีน

ในปี ค.ศ. 1934 ฟอสเตอร์ได้รับตำแหน่งที่มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์ โดยเป็นหนึ่งในสองอาจารย์คนแรกที่กริฟฟิธ อีแวนส์ (Griffith Evans) หัวหน้าภาควิชาคณิตศาสตร์ในขณะนั้นคัดเลือกมาเพื่อสร้างศูนย์กลางคณิตศาสตร์ระดับแนวหน้า ฟอสเตอร์ทำงานที่เบิร์กลีย์ต่อเนื่องจนเกษียณอายุในปี ค.ศ. 1971

จากความสนใจด้านตรรกศาสตร์ ฟอสเตอร์ค่อย ๆ โน้มเอียงไปสู่ทฤษฎีพีชคณิตบูลีน (Boolean algebra) และวงแหวนบูลีน (Boolean ring) เขาศึกษาบทบาทของ “คู่ตรงข้าม” (duality) ในทฤษฎีบูลีนอย่างลึกซึ้ง และพัฒนาทฤษฎีที่เรียกว่า “n-ality” สำหรับวงแหวนบางประเภท ซึ่งทำหน้าที่คล้ายกับที่วงแหวนบูลีนทำหน้าที่ต่อพีชคณิตบูลีนในบริบทของตรรกศาสตร์หลายค่า (n-valued logic) งานชิ้นสำคัญของเขาคือบทความ “The Theory of Boolean-like Rings” ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1946

กำเนิดทฤษฎีพีชคณิตปฐมภูมิ

จุดสูงสุดในงานวิจัยของฟอสเตอร์เกิดขึ้นเมื่อเขาตระหนักว่ากรอบคิดที่กว้างกว่าของศาสตร์ใหม่ที่เรียกว่า “พีชคณิตสากล” (universal algebra) เหมาะสมกว่าสำหรับการพัฒนาแนวคิดของเขาต่อไป ในบริบทนี้เขาพัฒนาทฤษฎี “พีชคณิตปฐมภูมิ” (primal algebra) และในปี ค.ศ. 1953 เขาแสดงให้เห็นว่าวาไรตี (variety) ที่เกิดจากพีชคณิตปฐมภูมิใด ๆ จะมีโครงสร้างสำคัญเหมือนกับวาไรตีของพีชคณิตบูลีนทุกประการ นักคณิตศาสตร์ บยาร์นี ยอนซัน (Bjarni Jónsson) เคยกล่าวถึงผลงานชิ้นนี้ว่าเป็น “เมล็ดโอ๊กที่งอกงามเป็นต้นโอ๊กใหญ่” สะท้อนให้เห็นว่าแนวคิดนี้ได้กลายเป็นรากฐานสำคัญของทฤษฎีพีชคณิตสากลในเวลาต่อมา

ตัวตนและมรดก

เพื่อนร่วมงานบรรยายฟอสเตอร์ว่าเป็นคนค่อนข้างเป็นทางการและขี้อายในสังคม แต่ก็อบอุ่น อารมณ์ดี และเอื้อเฟื้อต่อทุกคนที่รู้จัก เขาใช้เวลาที่เหลือของอาชีพการงานทุ่มเทให้กับการพัฒนาทฤษฎีพีชคณิตปฐมภูมิผ่านลูกศิษย์และความร่วมมือกับนักคณิตศาสตร์ทั่วโลก ฟอสเตอร์เสียชีวิตในปี ค.ศ. 1994

Thought-provoking activities

1. พีชคณิตบูลีนกับพีชคณิตสากลต่างกันอย่างไร เพราะเหตุใดฟอสเตอร์จึงมองว่ากรอบคิดพีชคณิตสากลกว้างและเหมาะสมกว่า?
2. ตรรกศาสตร์สองค่า (จริง/เท็จ) กับตรรกศาสตร์หลายค่า (n-valued logic) แตกต่างกันอย่างไร ลองยกตัวอย่างการประยุกต์ใช้ในปัจจุบัน
3. ทฤษฎีกรุ๊ป (group theory) เชื่อมโยงกับตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์ได้อย่างไร ตามแนวคิดที่ฟอสเตอร์นำมาใช้ในวิทยานิพนธ์?
4. เพราะเหตุใดการค้นพบว่าโครงสร้างของวาไรตีหนึ่งเหมือนกับอีกวาไรตีหนึ่งทุกประการ (เช่น พีชคณิตปฐมภูมิกับพีชคณิตบูลีน) จึงมีคุณค่าต่อวงการคณิตศาสตร์?

References

• O’Connor, J. J., & Robertson, E. F. “Alfred Foster.” MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.
• University of California, Berkeley. “Alfred L. Foster — In Memoriam.”
• Wikipedia. “Alfred Foster (mathematician).”
• Foster, A. L. (1946). The theory of Boolean-like rings. Transactions of the American Mathematical Society, 59.

---

This article is part of the "Today in the History of Mathematics" series.