ชาร์ล เอเรสมันน์: ผู้บุกเบิกทฤษฎีหมวดหมู่ยุคแรกและปรมาจารย์แห่งเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

จากลูกชายคนสวนในแคว้นอาลซัสผู้พูดภาษาเยอรมันมาตั้งแต่เด็ก สู่การเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ฝรั่งเศสที่มีอิทธิพลมากที่สุดคนหนึ่งแห่งศตวรรษที่ 20 ชาร์ล เอเรสมันน์ (Charles Ehresmann) คือนักคณิตศาสตร์ผู้บุกเบิกสำคัญทั้งในด้านทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์และเป็นหนึ่งในผู้ก่อร่างสร้างสาขาทฤษฎีหมวดหมู่ (category theory) ในยุคแรกเริ่ม

ชีวิตช่วงต้นในแคว้นอาลซัสภายใต้การปกครองเยอรมัน

เอเรสมันน์เกิดเมื่อวันที่ 19 เมษายน ค.ศ. 1905 ที่เมืองสตราสบูร์ก แคว้นอาลซัส-ลอแรน ซึ่งขณะนั้นเป็นส่วนหนึ่งของจักรวรรดิเยอรมัน (ปัจจุบันคือเมืองสตราสบูร์ก ประเทศฝรั่งเศส) เขามาจากครอบครัวชาวอาลซัสที่ยากจน บิดาของเขาทำงานเป็นคนสวน และครอบครัวพูดภาษาอาลซัสซึ่งเป็นภาษาถิ่นที่เกี่ยวข้องกับภาษาเจอร์แมนิก

เนื่องจากแคว้นอาลซัสอยู่ภายใต้การปกครองของเยอรมนีมาตั้งแต่ปี ค.ศ. 1871 การศึกษาของเอเรสมันน์ในช่วงแรกจึงเป็นภาษาเยอรมันทั้งหมด จนกระทั่งสิ้นสุดสงครามโลกครั้งที่หนึ่งในปี ค.ศ. 1918 เขาเข้าเรียนที่ Lycée Kléber ในเมืองสตราสบูร์ก และหลังปี ค.ศ. 1919 เมื่ออาลซัสถูกส่งคืนให้ฝรั่งเศส โรงเรียนภาษาฝรั่งเศสก็ถูกจัดตั้งขึ้นใหม่ในภูมิภาคนี้ แม้จะเผชิญกับการต่อต้านจากประชากรที่พูดภาษาเยอรมัน แต่ความพยายามของกลุ่มที่ต้องการปกครองตนเองภายในสาธารณรัฐฝรั่งเศสก็ไม่ประสบความสำเร็จ

เส้นทางการศึกษาที่ทั่วยุโรปและอเมริกา

ระหว่างปี ค.ศ. 1924–1927 เอเรสมันน์ศึกษาที่ École Normale Supérieure (ENS) ในกรุงปารีส และได้รับใบรับรอง agrégation ด้านคณิตศาสตร์ หลังรับใช้ทหารหนึ่งปี เขาทำงานสอนที่โรงเรียนฝรั่งเศสในเมืองราบัต ประเทศโมร็อกโก ระหว่างปี ค.ศ. 1928–1929

จากนั้นเอเรสมันน์เดินทางไปศึกษาต่อที่มหาวิทยาลัยเกิททิงเงนระหว่างปี ค.ศ. 1930–1931 ก่อนเดินทางไปยังมหาวิทยาลัยพรินซ์ตันในสหรัฐอเมริการะหว่างปี ค.ศ. 1932–1934 และเดินทางกลับกรุงปารีสเพื่อทำวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกให้สำเร็จในปี ค.ศ. 1934 เรื่อง “Sur la topologie de certains espaces homogènes” (ว่าด้วยทอพอโลยีของปริภูมิเอกพันธ์บางประเภท) โดยมี เอลี การ์ตอง (Élie Cartan) นักคณิตศาสตร์ระดับตำนานเป็นอาจารย์ที่ปรึกษา

หนึ่งในสมาชิกผู้ก่อตั้งกลุ่มบูร์บากี

ในปี ค.ศ. 1935 เอเรสมันน์กลายเป็นหนึ่งในสมาชิกผู้ก่อตั้งกลุ่ม บูร์บากี (Bourbaki group) กลุ่มนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้มีชื่อเสียงจากความพยายามเขียนตำราคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดและครอบคลุมสาขาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่อย่างเป็นระบบ การเข้าร่วมกลุ่มนี้สะท้อนให้เห็นถึงตำแหน่งของเอเรสมันน์ในฐานะหนึ่งในนักคณิตศาสตร์แนวหน้าของฝรั่งเศสในยุคนั้น

ระหว่างปี ค.ศ. 1934–1939 เอเรสมันน์ทำงานวิจัยที่ Centre Nationale de la Recherche Scientifique (CNRS) ก่อนได้รับตำแหน่งอาจารย์บรรยายที่มหาวิทยาลัยสตราสบูร์กในปี ค.ศ. 1939 เมื่อเยอรมนีบุกยึดครองฝรั่งเศสในปี ค.ศ. 1940 มหาวิทยาลัยสตราสบูร์กต้องย้ายไปตั้งอยู่ชั่วคราวที่เมืองแกลร์มง-แฟร็อง และเอเรสมันน์ก็ติดตามมหาวิทยาลัยไปด้วยจนถึงปี ค.ศ. 1945

ผู้บุกเบิกทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์

ในช่วงแรกของอาชีพการงาน เอเรสมันน์ทำการวิจัยเกี่ยวกับทอพอโลยีและโฮโมโลยีของแมนิโฟลด์ที่เกี่ยวข้องกับกรุ๊ปลีคลาสสิก (classical Lie groups) เช่น แมนิโฟลด์กราสมันน์ (Grassmann manifolds) และปริภูมิเอกพันธ์อื่น ๆ ผลงานเหล่านี้ในช่วงปี ค.ศ. 1935–1939 ได้อธิบายโฮโมโลยีของแมนิโฟลด์เอกพันธ์คลาสสิกไว้อย่างละเอียด

เอเรสมันน์ยังพัฒนาแนวคิดเรื่อง มัดเส้นใย (fiber bundle) และแนวคิดที่เกี่ยวข้อง ทั้ง การเชื่อมต่อเอเรสมันน์ (Ehresmann connection) และ แบบฟอร์มบัดกรี (solder form) โดยต่อยอดจากผลงานของ แฮร์เบิร์ต ไซเฟิร์ต (Herbert Seifert) และ แฮสเลอร์ วิตนีย์ (Hassler Whitney) ในทศวรรษ 1930 นอกจากนี้เขายังเป็นผู้ริเริ่มแนวคิดเรื่อง มัดเจ็ต (jet bundle) ซึ่งเป็นเครื่องมือสำคัญในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สมัยใหม่ และ ทฤษฎีบทไฟเบรชันเอเรสมันน์ (Ehresmann’s fibration theorem) ซึ่งเป็นเครื่องมือพื้นฐานที่ใช้ในการศึกษาโครงสร้างของปริภูมิไฟเบรชัน

ศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยปารีสและผู้ก่อตั้งวารสาร

ในปี ค.ศ. 1955 เอเรสมันน์ได้รับแต่งตั้งเป็นศาสตราจารย์ในตำแหน่งประธานทอพอโลยีที่จัดตั้งขึ้นใหม่ที่มหาวิทยาลัยปารีส ซึ่งเขาดำรงตำแหน่งนี้จนกระทั่งเกษียณอายุในปี ค.ศ. 1975

หนึ่งในคุณูปการที่สำคัญของเอเรสมันน์คือการก่อตั้งวารสาร Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques ในปี ค.ศ. 1957 ร่วมกับ อ็องเดร-ชาร์ล เอเรสมันน์ (Andrée Ehresmann) ภรรยาของเขาซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์เช่นกัน วารสารฉบับนี้กลายเป็นเวทีสำคัญสำหรับการตีพิมพ์ผลงานด้านทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์และทฤษฎีหมวดหมู่

ผู้บุกเบิกทฤษฎีหมวดหมู่แบบฝรั่งเศส

ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1957 เป็นต้นมา เอเรสมันน์ได้ผลิตผลงานสำคัญด้านทฤษฎีหมวดหมู่ (category theory) ซึ่งเป็นสาขาที่ก่อตั้งขึ้นในช่วงต้นทศวรรษ 1940 โดย ซามูเอล ไอเลนเบิร์ก (Samuel Eilenberg) และ ซอนเดอร์ส แม็คเลน (Saunders Mac Lane) จุดที่โดดเด่นในแนวทางของเอเรสมันน์คือการนิยามหมวดหมู่ในเชิงทฤษฎีเซตล้วน ๆ (purely set-theoretic terms) ซึ่งแตกต่างจากไอเลนเบิร์กและแม็คเลนที่ใช้แนวคิดเรื่องคลาส (class)

เอเรสมันน์มีความสนใจเป็นพิเศษในเรื่องหมวดหมู่เฉพาะที่ (local categories) และเชื้อ (germs) ของหมวดหมู่เหล่านั้น รวมถึงการนิยามโครงสร้างของหมวดหมู่ผ่านแผนที่ (atlases) ซึ่งเป็นแนวทางที่มีความเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งกับพื้นเพความเชี่ยวชาญด้านเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของเขา ผลงานของเขาในเรื่องนี้กลายเป็นรากฐานสำคัญของสำนักคิดทฤษฎีหมวดหมู่แบบฝรั่งเศส (French school of category theory) ที่มีอิทธิพลอย่างมากในเวลาต่อมา

ครูผู้สร้างแรงบันดาลใจให้กับนักวิจัยรุ่นใหม่

ตลอดอาชีพการงาน เอเรสมันน์มีลูกศิษย์ปริญญาเอกที่มีชื่อเสียงหลายคน อาทิ ฌอง เบนาบู (Jean Bénabou), ฌัก เฟลด์บาว (Jacques Feldbau), อ็องเดร แอฟลีเกอร์ (André Haefliger), โปแลตต์ ลีแบร์มันน์ (Paulette Libermann), จอร์จ รีบ (Georges Reeb) และ อู่ เหวินจวิ้น (Wu Wen-Tsün) ซึ่งล้วนแล้วแต่มีบทบาทสำคัญในการพัฒนาทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์และทฤษฎีหมวดหมู่ในเวลาต่อมา

นักคณิตศาสตร์ ฌ็อง ดีเยอดอนเน (Jean Dieudonné) เคยบรรยายถึงบุคลิกภาพของเอเรสมันน์ไว้ว่ามีลักษณะเด่นด้วยความตรงไปตรงมา ความเรียบง่าย และการปราศจากความหยิ่งผยองหรือความทะเยอทะยานในตำแหน่งหน้าที่โดยสิ้นเชิง ในฐานะครู เขาโดดเด่นไม่ใช่เพียงจากความยอดเยี่ยมของการบรรยาย แต่จากแรงบันดาลใจและการชี้แนะอย่างไม่รู้จักเหน็ดเหนื่อยที่เขามอบให้กับนักศึกษาวิจัยของเขาอย่างเอื้อเฟื้อเสมอมา

บั้นปลายชีวิตที่เมืองอาเมียง

หลังเกษียณอายุในปี ค.ศ. 1975 เอเรสมันน์ยังคงบรรยายที่มหาวิทยาลัยพิการ์ดีในเมืองอาเมียงจนถึงปี ค.ศ. 1978 ซึ่งเป็นที่ที่ Andrée ภรรยาคนที่สองของเขาดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์คณิตศาสตร์อยู่ที่นั่น

ชาร์ล เอเรสมันน์เสียชีวิตเมื่อวันที่ 22 กันยายน ค.ศ. 1979 ที่เมืองอาเมียง แคว้นปิการ์ดี ประเทศฝรั่งเศส ขณะอายุ 74 ปี จากภาวะไตวาย ระหว่างปี ค.ศ. 1980–1983 Andrée Ehresmann ภรรยาของเขาได้รวบรวมและเรียบเรียงผลงานทั้งหมดของเขาไว้ในหนังสือ Charles Ehresmann: Oeuvres complètes et commentées ซึ่งตีพิมพ์เป็นภาคผนวกของวารสาร Cahiers ที่เขาก่อตั้งไว้ทั้งหมดเจ็ดเล่ม

The Legacy He Left Behind

ตลอดชีวิตการทำงาน ชาร์ล เอเรสมันน์ได้สร้างมรดกทางคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ในสองสาขาสำคัญ ทั้งในฐานะหนึ่งในผู้บุกเบิกทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์ ผ่านแนวคิดเรื่องมัดเส้นใย การเชื่อมต่อเอเรสมันน์ และมัดเจ็ต และในฐานะผู้ก่อร่างสร้างทฤษฎีหมวดหมู่ในยุคแรกเริ่ม โดยเฉพาะสำนักคิดแบบฝรั่งเศสที่เขาวางรากฐานไว้ผ่านสัมมนาและวารสารที่เขาก่อตั้ง

แนวคิดต่าง ๆ ที่เอเรสมันน์ริเริ่มไว้ยังคงเป็นเครื่องมือพื้นฐานสำคัญที่นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกใช้งานอยู่ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ฟิสิกส์เชิงทฤษฎี และทฤษฎีหมวดหมู่มาจนถึงทุกวันนี้ สะท้อนให้เห็นถึงคุณูปการอันยั่งยืนของนักคณิตศาสตร์ผู้เดินทางจากรากเหง้าอันเรียบง่ายในแคว้นอาลซัส สู่การเป็นหนึ่งในผู้วางรากฐานสำคัญของคณิตศาสตร์สมัยใหม่