ฮิลเลล เฟือร์สเตนเบิร์ก: เจ้าของรางวัลอาเบลผู้เชื่อมทฤษฎีเออร์โกดิกเข้ากับทฤษฎีจำนวน

Hillel Furstenberg (1935–ปัจจุบัน)

นักคณิตศาสตร์เชื้อสายอิสราเอล-อเมริกัน เจ้าของรางวัลอาเบล (Abel Prize) ประจำปี 2020 จากผลงานบุกเบิกการนำทฤษฎีเออร์โกดิก (ergodic theory) มาใช้พิสูจน์ผลลัพธ์สำคัญในทฤษฎีจำนวนและคอมบินาทอริกส์ โดยเฉพาะบทพิสูจน์อันโด่งดังของทฤษฎีบทเซเมเรดี (Szemerédi’s theorem)

ชีวิตช่วงต้นที่หลบหนีสงคราม

ฮิลเลล (แฮร์รี) เฟือร์สเตนเบิร์ก เกิดในปี 1935 ที่กรุงเบอร์ลิน ประเทศเยอรมนี ในครอบครัวชาวยิว เพียงไม่กี่เดือนก่อนสงครามโลกครั้งที่สองจะปะทุขึ้น ครอบครัวของเขาสามารถหลบหนีออกจากเยอรมนีไปยังสหรัฐอเมริกาได้สำเร็จ แต่น่าเศร้าที่บิดาของเขาเสียชีวิตลงระหว่างการเดินทางครั้งนั้น เฟือร์สเตนเบิร์กจึงเติบโตขึ้นมาโดยมีมารดาและพี่สาวเป็นผู้เลี้ยงดู ภายในชุมชนยิวออร์โธดอกซ์ที่นครนิวยอร์ก

ความสามารถทางคณิตศาสตร์ของเขาปรากฏชัดตั้งแต่ยังเป็นนักศึกษาระดับปริญญาตรี โดยเขาตีพิมพ์ผลงานวิจัยชิ้นแรกออกมาตั้งแต่ปี 1953 และ 1955 ซึ่งเป็นเรื่องที่ไม่ธรรมดาอย่างยิ่งสำหรับนักศึกษาในวัยนั้น

จาก “นามแฝงของกลุ่มนักคณิตศาสตร์” สู่นักวิจัยเดี่ยว

มีเรื่องเล่าที่น่าสนใจว่า เมื่อเฟือร์สเตนเบิร์กตีพิมพ์ผลงานชิ้นแรก ๆ ในวัยหนุ่ม เนื้อหาในบทความครอบคลุมแนวคิดจากหลากหลายสาขาวิชาจนมีข่าวลือแพร่สะพัดว่าชื่อ “ฮิลเลล เฟือร์สเตนเบิร์ก” อาจไม่ใช่บุคคลจริง แต่เป็นนามแฝงของกลุ่มนักคณิตศาสตร์หลายคนที่ทำงานร่วมกัน แม้เรื่องนี้อาจเป็นเพียงเกร็ดเล่าขาน แต่ก็สะท้อนความจริงที่ปรากฏตลอดเส้นทางวิชาการของเขาได้เป็นอย่างดี นั่นคือความรู้เชิงลึกในหลากหลายสาขาที่แตกต่างกัน และความสามารถในการมองเห็นความเชื่อมโยงอันน่าประหลาดใจระหว่างสาขาเหล่านั้น

หลังสำเร็จการศึกษา เขาได้รับตำแหน่งศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยมินนิโซตา ก่อนจะตัดสินใจย้ายจากสหรัฐอเมริกาไปยังมหาวิทยาลัยฮีบรูแห่งเยรูซาเลม (Hebrew University of Jerusalem) ในปี 1965 และทำงานอยู่ที่นั่นจนเกษียณอายุในปี 2003 การตัดสินใจของเขาที่จะใช้ชีวิตการทำงานเกือบทั้งหมดในอิสราเอล มีส่วนสำคัญที่ทำให้ประเทศอิสราเอลกลายเป็นศูนย์กลางทางคณิตศาสตร์ระดับโลก โดยเฉพาะในสาขาทฤษฎีเออร์โกดิก

แนวคิด “การแยกจากกัน” ในทฤษฎีเออร์โกดิก

ในปี 1967 เฟือร์สเตนเบิร์กตีพิมพ์บทความเรื่อง “Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Diophantine approximation” ซึ่งนำเสนอแนวคิดเรื่อง “การแยกจากกัน” (disjointness) ในระบบเออร์โกดิก อันเป็นแนวคิดที่คล้ายคลึงกับสมบัติจำนวนเฉพาะร่วม (coprimality) ของจำนวนเต็ม แนวคิดนี้ภายหลังพบว่ามีการนำไปประยุกต์ใช้ในหลากหลายสาขา ทั้งทฤษฎีจำนวน แฟร็กทัล การประมวลผลสัญญาณ และวิศวกรรมไฟฟ้า

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทเซเมเรดีด้วยทฤษฎีเออร์โกดิก

ผลงานที่โดดเด่นที่สุดของเฟือร์สเตนเบิร์กคือบทความปี 1977 เรื่อง “Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem of Szemerédi on arithmetic progressions” ซึ่งเขาใช้วิธีการจากทฤษฎีเออร์โกดิกพิสูจน์ผลลัพธ์อันโด่งดังของแอนดร์เช เซเมเรดี (Endre Szemerédi ผู้ได้รับรางวัลอาเบลปี 2012) ที่ระบุว่า เซตย่อยใด ๆ ของจำนวนเต็มที่มีความหนาแน่นบนเป็นบวก (positive upper density) จะต้องมีลำดับเลขคณิต (arithmetic progression) ที่ยาวเท่าใดก็ได้อยู่ภายใน

บทพิสูจน์ของเฟือร์สเตนเบิร์กมีความเป็นนามธรรมเชิงมโนทัศน์ (conceptual) มากกว่าบทพิสูจน์ดั้งเดิมของเซเมเรดี และได้เปลี่ยนโฉมหน้าของสาขานี้ไปโดยสิ้นเชิง แนวคิดของเขายังกลายเป็นรากฐานสำคัญที่นำไปสู่ผลงานสำคัญในเวลาต่อมา เช่น บทพิสูจน์ของเบน กรีน (Ben Green) และเทอเรนซ์ เทา (Terence Tao) ที่แสดงว่าลำดับของจำนวนเฉพาะมีลำดับเลขคณิตที่ยาวเท่าใดก็ได้เช่นกัน

ผลงานด้านทฤษฎีกลุ่มลี

นอกจากผลงานด้านทฤษฎีจำนวนและคอมบินาทอริกส์แล้ว เฟือร์สเตนเบิร์กยังมีผลงานสำคัญด้านทฤษฎีกลุ่มลี (Lie group theory) โดยเฉพาะแนวคิดที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ “ขอบเขตของเฟือร์สเตนเบิร์ก” (Furstenberg boundary) ซึ่งมีอิทธิพลอย่างมากต่อการศึกษาแลตทิซ (lattices) ในกลุ่มลี

ในปีการศึกษา 1975/1976 เขาร่วมกับเบนจามิน ไวส์ (Benjamin Weiss) จัดโครงการวิจัยด้านทฤษฎีเออร์โกดิกที่ Israeli Institute for Advanced Studies เป็นเวลาหนึ่งปีเต็ม ซึ่งได้รับการยกย่องว่าเป็นโครงการที่เปลี่ยนโฉมหน้าของสาขานี้ไปอย่างสิ้นเชิง

รางวัลอาเบล ปี 2020

ในปี 2020 เฟือร์สเตนเบิร์กได้รับรางวัลอาเบลร่วมกับเกรกอรี มาร์กูลิส (Gregory Margulis) นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย-อเมริกัน จากราชบัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์และวรรณกรรมแห่งนอร์เวย์ (Norwegian Academy of Science and Letters) โดยคำประกาศรางวัลระบุว่าทั้งคู่ได้รับรางวัลนี้จาก “การบุกเบิกการนำวิธีการจากทฤษฎีความน่าจะเป็นและพลศาสตร์มาใช้ในทฤษฎีกลุ่ม ทฤษฎีจำนวน และคอมบินาทอริกส์” ซึ่งฮันส์ มุนเธอ-คาส (Hans Munthe-Kaas) ประธานคณะกรรมการรางวัลอาเบล อธิบายว่าผลงานของทั้งคู่ได้ “ทลายกำแพงดั้งเดิมระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์”

นอกจากรางวัลอาเบลแล้ว เฟือร์สเตนเบิร์กยังเคยได้รับรางวัลอิสราเอล (Israel Prize) ซึ่งถือเป็นเกียรติยศสูงสุดในประเทศอิสราเอลด้วย

The Legacy He Left Behind

ผลงานของฮิลเลล เฟือร์สเตนเบิร์กแสดงให้เห็นถึงพลังของการเชื่อมโยงสาขาวิชาที่ดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องกันเข้าด้วยกัน โดยเฉพาะการนำทฤษฎีเออร์โกดิกซึ่งเดิมเป็นสาขาที่ศึกษาระบบพลวัต (dynamical systems) มาใช้ไขปัญหาสำคัญในทฤษฎีจำนวนและคอมบินาทอริกส์ได้อย่างสง่างาม แนวทางของเขาไม่เพียงแก้ปัญหาที่มีอยู่เดิม แต่ยังเปิดประตูสู่สาขาวิชาใหม่ที่เรียกว่า “คอมบินาทอริกส์เชิงเออร์โกดิก” (ergodic Ramsey theory) ซึ่งยังคงเป็นพื้นที่วิจัยที่มีชีวิตชีวาในวงการคณิตศาสตร์จนถึงทุกวันนี้