July 9th — David Champernaun and the most random number imaginable.
Today in the history of mathematics. July 9, 1912
Introduction: Numbers devised by second-year students.
Try writing the numbers in a sequence after the decimal point.
$$ C_{10} = 0.,\underbrace{1,2,3,4,5,6,7,8,9}{\text{หลักเดียว}},\underbrace{10,11,12,\cdots,99}{\text{สองหลัก}},\underbrace{100,101,\cdots}_{\text{สามหลัก}}\cdots $$
That is
$$ C_{10} = 0.123456789101112131415161718192021\ldots $$
There's nothing mysterious about it; even elementary school children could write endlessly. But this simple number... The first example in history of a number proven to be a "normal number". And the person who created it is a 20-year-old undergraduate student named... David Gawen Champernowne Which occurred on this day in 1912.
1. เมื่อ “สุ่ม” ไม่ได้แปลว่า “เดาไม่ได้”
ก่อนจะเข้าเรื่อง เราต้องแยกสองความคิดที่คนมักปนกัน
สมมติว่าเราโยนเหรียญไปเรื่อย ๆ แล้วบันทึกเป็น 0 กับ 1 เราคาดหวังอะไรจากลำดับที่ได้?
- เลข 0 กับ 1 ควรปรากฏพอ ๆ กัน (ประมาณครึ่งต่อครึ่ง)
- คู่ 00, 01, 10, 11 ควรปรากฏพอ ๆ กัน (ประมาณ $\tfrac14$ เท่ากันหมด)
- สามตัวติดกันทั้ง 8 แบบ ก็ควรปรากฏพอ ๆ กัน (ประมาณ $\tfrac18$)
- …และเป็นเช่นนี้ไปทุกความยาว
เงื่อนไขข้างต้นคือแก่นของนิยาม จำนวนปกติ (normal number) ที่ เอมีล โบเรล (Émile Borel) ตั้งขึ้นเมื่อ ค.ศ. 1909
นิยาม (จำนวนปกติในฐาน $b$) จำนวนจริง $x$ เป็นจำนวนปกติในฐาน $b$ ถ้าสำหรับทุกบล็อกของหลัก (string) ที่มีความยาว $k$ ใด ๆ บล็อกนั้นปรากฏในการกระจายฐาน $b$ ของ $x$ ด้วยความถี่เชิงเส้นกำกับเท่ากับ $b^{-k}$
ประเด็นสำคัญที่ชองแปร์นาวน์ต้องการชี้ให้เห็นคือ:
จำนวนหนึ่งอาจผ่านการทดสอบทางสถิติของความสุ่มได้ทุกข้อ ทั้งที่ตัวมันเองถูกสร้างขึ้นด้วยกฎที่คาดเดาได้ 100%
$C_{10}$ คือหลักฐานชิ้นนั้น เราบอกได้ทันทีว่าหลักที่ล้านของมันคืออะไร ไม่มีความประหลาดใจใด ๆ เลย แต่ในเชิงความถี่ มันกลับ “สุ่มสมบูรณ์แบบ”
2. ทำไม $C_{10}$ ถึงเป็นจำนวนปกติ — สัญชาตญาณเบื้องหลังบทพิสูจน์
การพิสูจน์เต็มรูปแบบใช้การนับอย่างเข้มงวด แต่แนวคิดหลักเข้าใจได้ไม่ยาก
พิจารณาช่วงที่เรากำลังเขียนจำนวน $n$ หลักทั้งหมด นั่นคือจาก $10^{n-1}$ ถึง $10^n – 1$ ซึ่งมี
$$ 9 \times 10^{,n-1} \text{ จำนวน} $$
รวมเป็นหลักทั้งสิ้น $9n \times 10^{,n-1}$ หลัก
ภายในกลุ่มนี้ ถ้าเราไม่นับหลักแรก (ซึ่งเป็น 0 ไม่ได้) หลักที่เหลือทุกตำแหน่งจะ วิ่งครบทุกค่าตั้งแต่ 0 ถึง 9 อย่างเท่าเทียมกันเป๊ะ ๆ เพราะเรานับครบทุกจำนวน $n$ หลักโดยไม่ข้ามเลย
เมื่อ $n \to \infty$ จำนวนหลักในกลุ่มที่ $n$ ท่วมท้นจำนวนหลักของกลุ่มก่อนหน้าทั้งหมดรวมกัน (เพราะโตแบบเลขชี้กำลัง) อคติเล็ก ๆ จากหลักแรกจึงถูกกลืนหายไปในเชิงเส้นกำกับ ผลคือความถี่ของทุกหลักลู่เข้าสู่ $\tfrac{1}{10}$
สำหรับบล็อกความยาว $k$ ใช้เหตุผลเดียวกันแต่มองที่ระบบฐาน $10^k$ ทุกบล็อกจึงมีความถี่ลู่เข้าสู่ $10^{-k}$ ตามต้องการ $\blacksquare$
ข้อสังเกตเชิงการสอน สิ่งที่ทำให้บทพิสูจน์นี้งดงามคือ ความครบถ้วนของการแจงนับ เมื่อเรานับ “ทุกจำนวน” อย่างเป็นระบบ ความสมมาตรของระบบเลขฐานสิบจะจัดการเรื่องความถี่ให้เราเอง เราไม่ต้องพึ่งความสุ่มใด ๆ เลย
3. สมบัติอื่นของ $C_{10}$
| สมบัติ | สถานะ | ผู้พิสูจน์ |
|---|---|---|
| อตรรกยะ (irrational) | จริง | เป็นผลพวงจากความปกติ |
| ปกติในฐาน 10 (normal) | จริง | Champernowne (1933) |
| อดิศัย (transcendental) | จริง | Kurt Mahler (1937) |
| ปกติในทุกฐาน (absolutely normal) | ไม่ทราบ | — |
เศษส่วนต่อเนื่อง (continued fraction) ของ $C_{10}$ มีพฤติกรรมพิสดารมาก คือมีพจน์บางพจน์ที่ ใหญ่มหาศาลอย่างผิดปกติ ปรากฏขึ้นเป็นระยะ ๆ
$$ C_{10} = [0;, 8,, 9,, 1,, 149083,, 1,, 1,, 1,, 4,, 1,, 1,, 1,, 3,, 4,, 1,, 1,, 1,, 15,, \ldots] $$
สังเกตพจน์ $149083$ ที่โผล่มาเป็นพจน์ที่ 5 พจน์ใหญ่เหล่านี้สะท้อนว่า $C_{10}$ ถูกประมาณด้วยจำนวนตรรกยะได้ “ดีเกินไป” ซึ่งนั่นเองคือกุญแจที่มาห์เลอร์ใช้พิสูจน์ความเป็นอดิศัย
4. ชายผู้เป็นเพื่อนของทัวริง แล้วหายไปเป็นนักเศรษฐศาสตร์
เรื่องราวชีวิตของชองแปร์นาวน์น่าสนใจไม่แพ้ตัวเลขของเขา
เขาเรียนที่ Winchester College ซึ่งวิชาโปรดคือคณิตศาสตร์ จากนั้นเข้าศึกษา Mathematical Tripos ที่ King’s College, Cambridge ในปีเดียวกับ อลัน ทัวริง (Alan Turing) — ทั้งสองอายุใกล้เคียงกันมากและกลายเป็นเพื่อนกัน (เพื่อน ๆ เรียกชองแปร์นาวน์ว่า “Champ”)
ผลงานเรื่องจำนวนปกติเกิดขึ้นขณะเขายังเป็น นักศึกษาปริญญาตรี ภายใต้บรรยากาศการชี้แนะของ G. H. Hardy ตีพิมพ์ในวารสาร Journal of the London Mathematical Society เมื่อ ค.ศ. 1933 ในชื่อ “The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten”
ที่น่าสนใจคือ งานชิ้นนี้สะเทือนถึงทัวริงโดยตรง — ต้นฉบับพิมพ์ดีดของบทความอมตะ “On Computable Numbers” มีลายมือทัวริงเขียนไว้ด้านหลัง ร่างบทความชิ้นต่อไปที่เขาตั้งใจจะเขียน ชื่อว่า “A note on normal numbers”
แต่แล้วเส้นทางของชองแปร์นาวน์ก็หักเห หนึ่งในอาจารย์ผู้สอนเขาที่เคมบริดจ์คือ จอห์น เมย์นาร์ด เคนส์ (John Maynard Keynes) ซึ่งมองเห็นแววด้านเศรษฐศาสตร์ เคนส์แนะนำให้เขาเรียนคณิตศาสตร์ให้จบภายในสองปี แล้วต่อปริญญาอีกใบทางเศรษฐศาสตร์
เขาทำตามนั้น และกลายเป็นนักเศรษฐศาสตร์ระดับแนวหน้าด้าน การกระจายรายได้และความเหลื่อมล้ำ (มี Champernowne distribution ตั้งชื่อตามเขาอีกด้วย) นอกจากนี้เขายังร่วมกับทัวริงพัฒนา Turochamp โปรแกรมเล่นหมากรุกยุคบุกเบิก
ชองแปร์นาวน์เสียชีวิตเมื่อ ค.ศ. 2000 ทิ้งไว้ซึ่งชื่อที่ถูกจารึกในสองศาสตร์พร้อมกัน
5. สิ่งที่เรายังไม่รู้
เรื่องน่าขันของทฤษฎีจำนวนคือ เรารู้ว่า เกือบทุกจำนวนจริงเป็นจำนวนปกติ (ในความหมายของมาตรวัดเลอเบก เซตของจำนวนที่ไม่ปกติมีมาตรวัดเป็นศูนย์) แต่เมื่อชี้ไปที่จำนวนคุ้นเคยสักตัว เรากลับพิสูจน์แทบไม่ได้เลย
- $\pi$ เป็นจำนวนปกติหรือไม่? ไม่ทราบ
- $e$ เป็นจำนวนปกติหรือไม่? ไม่ทราบ
- $\sqrt{2}$ เป็นจำนวนปกติหรือไม่? ไม่ทราบ
เราต้องรอนักศึกษาปริญญาตรีอีกคน มาเขียนจำนวนเรียงกันบนกระดาษทดอีกครั้ง
Thought-provoking activities
- เขียนโปรแกรมสร้าง 10,000 หลักแรกของ $C_{10}$ แล้วนับความถี่ของหลัก 0–9 ผลลัพธ์ใกล้ $\tfrac{1}{10}$ แค่ไหน? ลองเพิ่มเป็น 1,000,000 หลัก
- สร้าง $C_2$ (ฐานสอง: $0.11011100101110111\ldots$) แล้วทดสอบความถี่ของบล็อก 00, 01, 10, 11
- อธิบายว่าเหตุใด $C_{10}$ จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ โดยไม่ใช้ ข้อเท็จจริงว่ามันเป็นจำนวนปกติ (คำใบ้: ถ้ามันเป็นตรรกยะ ทศนิยมต้องซ้ำเป็นคาบ แต่ใน $C_{10}$ มีบล็อกของเลข 0 ติดกันยาวเท่าใดก็ได้)
- ถ้าเปลี่ยนไปเรียงเฉพาะ จำนวนเฉพาะ จะได้ $0.235711131719\ldots$ ค่านี้เป็นจำนวนปกติหรือไม่? (คำตอบ: เป็น — เรียกว่า Copeland–Erdős constant พิสูจน์โดย Copeland และ Erdős ใน ค.ศ. 1946)
References
- Champernowne, D. G. (1933). The construction of decimals normal in the scale of ten. Journal of the London Mathematical Society, 8, 254–260.
- Mahler, K. (1937). Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen. Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, A40, 421–428.
- Copeland, A. H., & Erdős, P. (1946). Note on normal numbers. Bulletin of the American Mathematical Society, 52, 857–860.
- Bailey, D. H., & Crandall, R. E. (2002). Random generators and normal numbers. Experimental Mathematics, 11(4), 527–546.
- Weisstein, E. W. Champernowne Constant. MathWorld — A Wolfram Web Resource.
ชุดบทความ “วันนี้ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์” — เผยแพร่ 9 กรกฎาคม 2569
