July 9, 1857 — Weirstraße's speech on the revolution known as austerity.
Today in the history of mathematics. | 9 กรกฎาคม ค.ศ. 1857
บทนำ: ครูมัธยมที่เดินขึ้นเวทีของราชบัณฑิตยสภา
วันที่ 9 กรกฎาคม ค.ศ. 1857 ชายวัย 41 ปีคนหนึ่งยืนกล่าวคำปราศรัยรับตำแหน่งสมาชิก (Antrittsrede) ต่อ ราชบัณฑิตยสภาแห่งเบอร์ลิน เขาชื่อ คาร์ล ไวเออร์ชตราสส์ (Karl Weierstrass)
ไม่กี่ปีก่อนหน้านั้น เขายังเป็นเพียง ครูโรงเรียนมัธยม ในเมืองเล็ก ๆ ชื่อ Braunsberg สอนวิชาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ พฤกษศาสตร์ การเขียนอักษรวิจิตร และแม้กระทั่งพลศึกษา เขาทำวิจัยในเวลากลางคืน ตีพิมพ์น้อย และแทบไม่มีใครในโลกวิชาการรู้จัก
จนกระทั่ง ค.ศ. 1854 บทความของเขาเรื่องฟังก์ชันอาบีเลียนทำให้วงการคณิตศาสตร์ยุโรปตะลึง มหาวิทยาลัย Königsberg มอบปริญญาดุษฎีบัณฑิตกิตติมศักดิ์ให้ทันที และภายในเวลาไม่กี่ปี ครูมัธยมคนนั้นก็กลายเป็นศาสตราจารย์ที่เบอร์ลิน
ในคำปราศรัยวันนี้ เขาประกาศจุดยืนสองข้อที่จะกำหนดทิศทางของคณิตศาสตร์ไปอีกร้อยปี
1. สาระของคำปราศรัย
ไวเออร์ชตราสส์กล่าวถึงสองประเด็นหลัก
ประเด็นแรก — เป้าหมายของงานวิจัยเขาเอง เขาบอกว่าชีวิตทางวิชาการของเขาหมุนรอบการค้นหา ค่าชนิดใหม่ทั้งหมดที่การวิเคราะห์ยังไม่เคยมีตัวอย่างมาก่อน พร้อมทั้งการแสดงแทนมันอย่างเป็นรูปธรรมและการอธิบายสมบัติของมัน — นี่คือคำประกาศของนักคณิตศาสตร์ผู้ไม่พอใจกับ “การใช้ได้ผล” แต่ต้องการ “เข้าใจว่าเพราะอะไรจึงใช้ได้ผล”
ประเด็นที่สอง — ฐานะของคณิตศาสตร์ เขายืนยันว่าคณิตศาสตร์ครองตำแหน่งพิเศษสูงส่ง เพราะมีแต่คณิตศาสตร์เท่านั้นที่ทำให้เราเข้าใจปรากฏการณ์ธรรมชาติได้อย่างน่าพอใจอย่างแท้จริง
2. ปัญหาที่ไวเออร์ชตราสส์ต้องแก้: แคลคูลัสไม่มีรากฐาน
ในยุคของนิวตันและไลบ์นิซจนถึงออยเลอร์ แคลคูลัสตั้งอยู่บนความคิดที่คลุมเครือเรื่อง “ปริมาณอนันตภาพ” (infinitesimal) — จำนวนที่ เล็กกว่าจำนวนบวกใด ๆ แต่ไม่เป็นศูนย์
นักปรัชญาชื่อ George Berkeley เย้ยว่ามันคือ “ผีของปริมาณที่ตายไปแล้ว” และคำถามที่ตอบไม่ได้ก็มีเช่น
- อนุกรมลู่เข้าหมายความว่าอะไรกันแน่?
- ฟังก์ชันต่อเนื่องต้องหาอนุพันธ์ได้เสมอหรือเปล่า?
- ลิมิตของผลบวกเท่ากับผลบวกของลิมิตเสมอไหม?
โคชี (Cauchy) เริ่มจัดระเบียบ แต่ยังใช้ภาษาที่พึ่งสัญชาตญาณ ไวเออร์ชตราสส์คือคนที่ ขับไล่สัญชาตญาณออกไปจนหมด แล้วแทนที่ด้วยอสมการล้วน ๆ
3. หัวใจของ “ความเข้มงวดแบบไวเออร์ชตราสส์”: นิยาม $\varepsilon$–$\delta$
นิยามลิมิต $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก $\varepsilon > 0$ มี $\delta > 0$ ซึ่งทำให้ $$ 0 < |x – a| < \delta ;\Longrightarrow; |f(x) – L| < \varepsilon $$
สังเกตว่า ไม่มีคำว่า “เข้าใกล้” “เคลื่อนที่ไป” หรือ “เล็กมาก ๆ” เหลืออยู่เลย มีแต่ตัวบ่งปริมาณ ($\forall, \exists$) และอสมการ
นี่คือประโยคที่นักศึกษาปี 1 ทั่วโลกต้องเผชิญ และเป็นมรดกโดยตรงจากห้องบรรยายของไวเออร์ชตราสส์ที่เบอร์ลิน (เขาแทบไม่ตีพิมพ์ แต่ลูกศิษย์จดบันทึกคำสอนไปเผยแพร่ทั่วยุโรป)
ในทำนองเดียวกัน ความต่อเนื่องเอกรูป (uniform continuity)
$$ \forall \varepsilon > 0;\exists \delta > 0;\forall x, y \in D:\quad |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \varepsilon $$
ต่างจากความต่อเนื่องธรรมดาเพียงลำดับของตัวบ่งปริมาณ — $\delta$ ต้องเลือกได้โดยไม่ขึ้นกับ $x$ ความละเอียดระดับนี้เองที่ทำให้คณิตศาสตร์สมัยใหม่เป็นไปได้
4. ระเบิดลูกใหญ่: ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องทุกจุดแต่หาอนุพันธ์ไม่ได้เลยสักจุด
ค.ศ. 1872 ไวเออร์ชตราสส์นำเสนอฟังก์ชัน
$$ W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^{n} \cos(b^{n} \pi x) $$
เมื่อ $0 < a < 1$, $b$ เป็นจำนวนเต็มคี่บวก และ
$$ ab > 1 + \frac{3\pi}{2} $$
ฟังก์ชันนี้ ต่อเนื่องบนทุกจุดของ $\mathbb{R}$ (จากการทดสอบ Weierstrass M-test เพราะ $\sum a^n$ ลู่เข้า) แต่ หาอนุพันธ์ไม่ได้เลยแม้แต่จุดเดียว
ผลลัพธ์นี้ทำลายความเชื่อที่ครองวงการมาเป็นศตวรรษว่า “เส้นโค้งที่วาดต่อเนื่องได้ ย่อมมีเส้นสัมผัสเกือบทุกที่” มันบอกว่าสัญชาตญาณเชิงเรขาคณิตของเรา โกหก และเราต้องพึ่งบทพิสูจน์เท่านั้น
Poincaré เรียกฟังก์ชันประเภทนี้ว่า “สัตว์ประหลาด” แต่ในศตวรรษที่ 20 มันกลายเป็นตัวอย่างแรก ๆ ของ แฟร็กทัล และเป็นต้นแบบของการเคลื่อนที่แบบบราวน์
5. มรดกที่เรายังใช้อยู่ทุกวัน
| ผลงาน | สาระ |
|---|---|
| นิยาม $\varepsilon$–$\delta$ | รากฐานของแคลคูลัสและการวิเคราะห์ |
| ทฤษฎีบท Bolzano–Weierstrass | ลำดับมีขอบเขตใน $\mathbb{R}^n$ มีลำดับย่อยที่ลู่เข้า |
| ทฤษฎีบทค่าสูงสุด–ต่ำสุด | ฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตกระชับ มีค่าสูงสุดและต่ำสุด |
| Weierstrass M-test | เกณฑ์การลู่เข้าเอกรูปของอนุกรมฟังก์ชัน |
| ทฤษฎีบทการประมาณ (1885) | พหุนามประมาณฟังก์ชันต่อเนื่องบน $[a,b]$ ได้ใกล้เท่าใดก็ได้ |
| ฟังก์ชัน $\wp$ ของไวเออร์ชตราสส์ | ฐานของทฤษฎีฟังก์ชันเชิงวงรี |
ลูกศิษย์ของเขามีทั้ง Georg Cantor, Sofia Kovalevskaya, Ferdinand Frobenius, Hermann Schwarz และอีกมากมาย เบอร์ลินในยุคนั้นคือศูนย์กลางคณิตศาสตร์ของโลก
6. บทเรียนสำหรับห้องเรียนไทย
เมื่อผู้เรียนถามว่า “ทำไมต้องเรียน $\varepsilon$–$\delta$ ในเมื่อดูกราฟก็รู้แล้ว?” คำตอบที่ทรงพลังที่สุดคือ ฟังก์ชัน $W(x)$
ให้ผู้เรียนวาดผลบวกย่อย $\sum_{n=0}^{N}$ ด้วย $N = 1, 2, 5, 20$ แล้วซูมเข้าไปเรื่อย ๆ พวกเขาจะเห็นว่าเส้นโค้งไม่เคย “เรียบ” ไม่ว่าจะซูมลึกแค่ไหน — สายตาช่วยเราไม่ได้ที่จุดนี้ มีเพียงอสมการเท่านั้นที่ช่วยได้
นั่นคือสิ่งที่ไวเออร์ชตราสส์พยายามบอกโลกเมื่อ 169 ปีก่อน
Thought-provoking activities
- พิสูจน์โดยใช้นิยาม $\varepsilon$–$\delta$ ว่า $\displaystyle\lim_{x\to 2}(3x-1) = 5$ (ระบุ $\delta$ ในรูปของ $\varepsilon$ อย่างชัดเจน)
- แสดงว่า $f(x)=x^2$ ต่อเนื่องบน $\mathbb{R}$ แต่ ไม่ ต่อเนื่องเอกรูปบน $\mathbb{R}$ (ต่อเนื่องเอกรูปบน $[0,1]$)
- ใช้ Weierstrass M-test พิสูจน์ว่า $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$ ลู่เข้าเอกรูปบน $\mathbb{R}$
- เขียนโปรแกรมพล็อต $W(x)$ ด้วย $a=\tfrac12, b=7$ ตรวจสอบว่า $ab = 3.5 > 1 + \tfrac{3\pi}{2} \approx 5.71$ หรือไม่ — ถ้าไม่ ต้องเลือก $b$ เท่าใดจึงจะเข้าเงื่อนไข?
References
- Weierstrass, K. (1857). Akademische Antrittsrede. (คำปราศรัยรับตำแหน่งต่อราชบัณฑิตยสภาแห่งเบอร์ลิน, 9 กรกฎาคม 1857)
- Weierstrass, K. (1872). Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen.
- Bottazzini, U. (1986). The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass. Springer.
- Sinkevich, G. I. (2015). Karl Weierstrass’ Bicentenary. arXiv:1508.02928.
- O’Connor, J. J., & Robertson, E. F. Karl Weierstrass. MacTutor History of Mathematics Archive.
ชุดบทความ “วันนี้ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์” — เผยแพร่ 9 กรกฎาคม 2569
