Nicole Oram: The man who drew graphs 250 years before Descartes was born.

Today in the history of mathematics. | 11 กรกฎาคม ค.ศ. 1382

บทนำ: กราฟที่ไม่มีแกน x-y

เมื่อพูดถึง “ผู้ประดิษฐ์กราฟ” เกือบทุกคนจะนึกถึงเรอเน เดส์การตส์ (René Descartes) ในศตวรรษที่ 17 แต่ก่อนหน้านั้นเกือบ 250 ปี นักปรัชญาธรรมชาติชาวฝรั่งเศส นิโคล โอแรม (Nicole Oresme) ผู้เสียชีวิตเมื่อวันที่ 11 กรกฎาคม ค.ศ. 1382 ได้เขียนงานที่มีแนวคิดใกล้เคียงกับ “กราฟของฟังก์ชัน” ไว้แล้วในตำรา Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum

แนวคิด Latitude of Forms

โอแรมพัฒนาแนวคิดที่เรียกว่า latitude of forms เพื่ออธิบายการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ (เช่น ความเร็ว อุณหภูมิ หรือความเข้มของคุณสมบัติใด ๆ) ตามเวลาหรือตำแหน่ง โดยเขาวาดเส้นตั้งฉาก (latitudo) แทนขนาดของปริมาณนั้น ณ แต่ละจุดบนเส้นฐาน (longitudo) ที่แทนเวลาหรือตำแหน่ง แล้วลากเส้นเชื่อมยอดของเส้นตั้งฉากทั้งหมดเข้าด้วยกัน — นี่คือแก่นเดียวกับการวาดกราฟ $y = f(x)$ ในปัจจุบัน แม้ว่าโอแรมจะยังไม่มีระบบพิกัดคาร์ทีเซียนหรือสมการพีชคณิตกำกับก็ตาม

ผลงานที่โดดเด่นที่สุดของแนวคิดนี้คือการพิสูจน์ กฎแห่งความเร็วเฉลี่ย (Mean Speed Theorem) ซึ่งเดิมเป็นของนักวิชาการที่ Merton College แต่โอแรมเป็นผู้ให้การพิสูจน์ทางเรขาคณิตที่สง่างามที่สุด กฎนี้กล่าวว่า วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอจากความเร็ว $0$ ถึง $v$ ในเวลา $t$ จะเคลื่อนที่ได้ระยะทางเท่ากับวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่เท่ากับความเร็วเฉลี่ย:

$$ s = \frac{1}{2}vt = \bar{v} \cdot t, \qquad \bar{v} = \frac{0+v}{2} $$

โอแรมพิสูจน์โดยการเปรียบเทียบพื้นที่ใต้กราฟความเร็ว-เวลาของการเคลื่อนที่แบบเร่งสม่ำเสมอ (รูปสามเหลี่ยม) กับการเคลื่อนที่แบบความเร็วคงที่ (รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า) ซึ่งมีพื้นที่เท่ากันเมื่อความสูงของสี่เหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของความสูงสูงสุดของสามเหลี่ยม — นี่คือการใช้ “พื้นที่ใต้กราฟ” แทนระยะทาง ซึ่งเป็นแนวคิดตั้งต้นของสิ่งที่ต่อมาจะกลายเป็นปริพันธ์ (integral) ในแคลคูลัส

จากเรขาคณิตสู่อนุกรมอนันต์

โอแรมยังเป็นคนแรก ๆ ที่พิสูจน์ว่า อนุกรมฮาร์มอนิก ลู่ออก (diverges):

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots \to \infty $$

โดยใช้เทคนิคการจับกลุ่มพจน์เป็นกำลังสองที่ยังคงสอนกันอยู่ในวิชาแคลคูลัสจนถึงทุกวันนี้:

$$ 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)}{>,1/2} + \underbrace{\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)}{>,1/2} + \cdots $$

เนื่องจากผลรวมแต่ละกลุ่มมากกว่า $1/2$ เสมอ และมีจำนวนกลุ่มไม่จำกัด อนุกรมจึงลู่ออก

ชีวิตนอกคณิตศาสตร์

นอกจากงานคณิตศาสตร์ โอแรมยังเป็นนักปรัชญา นักเทววิทยา และที่ปรึกษาของพระเจ้าชาร์ลที่ 5 แห่งฝรั่งเศส เขาแปลงานของอริสโตเติลเป็นภาษาฝรั่งเศส และเป็นบิชอปแห่งลิซีเยอในช่วงบั้นปลายชีวิต ก่อนจะเสียชีวิตเมื่อวันที่ 11 กรกฎาคม ค.ศ. 1382

มรดกที่ยังใช้อยู่

แนวคิด latitude of forms ของโอแรมถือเป็นจุดเริ่มต้นของการแทนความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันด้วยภาพ ซึ่งพัฒนาต่อมาเป็นเรขาคณิตวิเคราะห์ของเดส์การตส์และแฟร์มาในศตวรรษที่ 17 และท้ายที่สุดคือแนวคิดพื้นที่ใต้กราฟที่กลายเป็นหัวใจของปริพันธ์จำกัดเขตในแคลคูลัสของนิวตันและไลบ์นิซ

Thought-provoking activities

1. ใช้แนวคิดพื้นที่ใต้กราฟความเร็ว-เวลาแบบโอแรม พิสูจน์ระยะทางของวัตถุที่เร่งจาก $v_0$ ถึง $v_1$ ในเวลา $t$
2. พิสูจน์การลู่ออกของอนุกรมฮาร์มอนิกด้วยวิธีอื่น (เช่น เปรียบเทียบกับปริพันธ์ $\int_1^\infty \frac{1}{x},dx$)
3. เพราะเหตุใดแนวคิด latitude of forms จึงยังไม่ใช่ “กราฟ” ในความหมายสมัยใหม่อย่างสมบูรณ์
4. ลองวาดภาพแบบโอแรมเพื่อแสดงการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งไม่สม่ำเสมอ แล้วอภิปรายว่าพื้นที่ใต้กราฟยังคงแทนระยะทางได้หรือไม่

References

• Clagett, M. (1968). Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions. University of Wisconsin Press.
• Grant, E. (Ed.). (1974). A Source Book in Medieval Science. Harvard University Press.
• Boyer, C. B., & Merzbach, U. C. (2011). A History of Mathematics (3rd ed.). Wiley.
• Kline, M. (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press.

---

ชุดบทความ “วันนี้ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์” — เผยแพร่ 11 กรกฎาคม 2569