Pierre-Louis Lions: ผู้ปฏิวัติวิธีมองคำตอบของสมการที่ไม่มีคำตอบแบบเรียบ

การหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยไม่เชิงเส้นเป็นหนึ่งในปัญหาที่ท้าทายที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เพราะคำตอบมักไม่ราบเรียบสวยงามอย่างที่นักคณิตศาสตร์คาดหวัง Pierre-Louis Lions นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เกิดเมื่อวันที่ 11 สิงหาคม ค.ศ. 1956 ที่เมือง Grasse แคว้น Alpes-Maritimes ประเทศฝรั่งเศส และเติบโตขึ้นมาเป็นผู้ปฏิวัติวิธีที่นักคณิตศาสตร์เข้าใจและจัดการกับคำตอบเหล่านี้ จนได้รับเหรียญฟิลด์สในปี 1994

ลูกชายนักคณิตศาสตร์ผู้เลือกเส้นทางเดียวกัน

Lions เป็นบุตรของ Jacques-Louis Lions นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงซึ่งต่อมาดำรงตำแหน่งประธานสหภาพคณิตศาสตร์นานาชาติ (International Mathematical Union) และ Andrée Olivier ในขณะที่เขาเกิด บิดายังดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัย Nancy แต่เมื่อ Pierre-Louis อายุได้หกขวบ ครอบครัวก็ย้ายมาอยู่ที่กรุงปารีสเมื่อบิดาได้รับตำแหน่งศาสตราจารย์ที่นั่น เขาศึกษาที่ Lycée Pasteur และ Lycée Louis-le-Grand ก่อนจะเข้าศึกษาต่อที่ École Normale Supérieure ในปี 1975 โดยปฏิเสธที่จะสอบ agrégation ด้านคณิตศาสตร์ตามธรรมเนียม และเลือกทุ่มเทให้กับงานวิจัยด้านคณิตศาสตร์ประยุกต์แทน เขาสำเร็จปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัย Pierre and Marie Curie ในปี 1979 ภายใต้การดูแลของ Haïm Brézis

คำตอบแบบหนืด: กรอบความคิดใหม่สำหรับสมการที่ไร้คำตอบเรียบ

ผลงานที่สร้างชื่อเสียงให้ Lions มากที่สุดคือแนวคิด คำตอบแบบหนืด (viscosity solutions) ที่เขาพัฒนาร่วมกับ Michael G. Crandall ในปี 1983 สำหรับสมการแฮมิลตัน-จาโคบี (Hamilton-Jacobi equations) ซึ่งเป็นหัวข้อจากวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขาเอง ปัญหาสำคัญของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยไม่เชิงเส้นหลายประเภทคือคำตอบมักไม่ราบเรียบพอที่จะหาอนุพันธ์ได้ตามความหมายดั้งเดิม แนวคิดคำตอบแบบหนืดได้ให้นิยามใหม่ของคำว่า “คำตอบ” ที่กว้างขึ้นและครอบคลุมกรณีเหล่านี้ได้อย่างเข้มงวดในเชิงคณิตศาสตร์ กลายเป็นเครื่องมือมาตรฐานที่นักคณิตศาสตร์และวิศวกรทั่วโลกใช้ในการศึกษาสมการประเภทนี้มาจนถึงปัจจุบัน ไม่ว่าจะเป็นปัญหาด้านการควบคุมที่เหมาะสม (optimal control) เกมเชิงอนุพันธ์ หรือการประมวลผลภาพ

นอกจากนี้ Lions ยังมีผลงานสำคัญในการศึกษาสมการโบลต์ซมันน์ (Boltzmann equation) ที่อธิบายพฤติกรรมของแก๊สในทางจลนศาสตร์ รวมถึงแคลคูลัสของการแปรผัน (calculus of variations) และในช่วงหลังของอาชีพการงาน เขายังมีบทบาทสำคัญในการพัฒนา ทฤษฎีเกมสนามค่าเฉลี่ย (mean field game theory) ซึ่งเป็นกรอบทางคณิตศาสตร์ใหม่สำหรับศึกษาพฤติกรรมของตัวแทนจำนวนมากที่มีปฏิสัมพันธ์กัน และถูกนำไปประยุกต์ใช้ในเศรษฐศาสตร์และสังคมศาสตร์อย่างกว้างขวาง

เหรียญฟิลด์สและตำแหน่งที่วิทยาลัยฝรั่งเศส

Lions ได้รับ เหรียญฟิลด์ส (Fields Medal) ในปี 1994 ที่การประชุมนานาชาติของนักคณิตศาสตร์ ณ เมืองซูริก จากผลงานด้านสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยไม่เชิงเส้น โดยเฉพาะการวางรากฐานทางทฤษฎีของคำตอบแบบหนืดและผลงานเกี่ยวกับสมการโบลต์ซมันน์ ในขณะที่ได้รับรางวัลนี้ เขาดำรงตำแหน่งอยู่ที่มหาวิทยาลัย Paris-Dauphine ตลอดอาชีพการงาน เขาเคยเป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัย Paris IX ระหว่างปี 1981-2003 เข้าร่วมคณะที่ École Polytechnique ในปี 1992 และตั้งแต่ปี 2002 เป็นต้นมา เขาดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์ที่ Collège de France สถาบันการศึกษาชั้นสูงอันทรงเกียรติของฝรั่งเศส

Lions ยังมีบทบาทสำคัญนอกวงวิชาการ โดยเคยเป็นผู้อำนวยการ CEREMADE ห้องปฏิบัติการวิจัยคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัย Paris-Dauphine ระหว่างปี 1991-1997 และเป็นสมาชิกคณะกรรมการวิทยาศาสตร์ด้านกลาโหมของฝรั่งเศส เขายังได้รับเลือกเป็นสมาชิกของสถาบันวิทยาศาสตร์ฝรั่งเศส (French Academy of Sciences) และ Academia Europaea ปัจจุบัน Lions ยังคงเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่มีอิทธิพลมากที่สุดในสาขาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย และมีลูกศิษย์ปริญญาเอกที่ประสบความสำเร็จหลายคน รวมถึง Cédric Villani ผู้ได้รับเหรียญฟิลด์สในเวลาต่อมาเช่นกัน