จูลส์ ริชาร์ด: นักคณิตศาสตร์ผู้สร้างปฏิทรรศน์ที่สั่นคลอนรากฐานคณิตศาสตร์

ในบรรดานักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ที่มีชื่อเสียงโด่งดังไปทั่วโลก มักมีชื่อของนักคิดตัวเล็ก ๆ ที่แทบไม่มีใครรู้จัก แต่กลับทิ้งรอยประทับสำคัญไว้ในประวัติศาสตร์ความคิดของมนุษยชาติ จูลส์ ริชาร์ด (Jules Richard) คือหนึ่งในนั้น เขาเกิดเมื่อวันที่ 12 สิงหาคม ค.ศ. 1862 ที่หมู่บ้านเบล (Blet) แคว้นแชร์ (Cher) ประเทศฝรั่งเศส และไม่เคยเป็นนักคณิตศาสตร์ระดับแนวหน้าที่มีตำแหน่งในมหาวิทยาลัยใหญ่ ๆ เลยตลอดชีวิต แต่ด้วยจดหมายฉบับหนึ่งที่เขาเขียนถึงบรรณาธิการวารสารวิชาการในปี 1905 ชื่อของเขากลับถูกจารึกไว้ตลอดกาลในประวัติศาสตร์ตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์

ครูโรงเรียนมัธยมผู้ไม่ธรรมดา

ริชาร์ดใช้ชีวิตการทำงานส่วนใหญ่เป็นครูสอนในโรงเรียนลีเซ่ (lycée) ตามเมืองต่าง ๆ ของฝรั่งเศส ทั้งที่เมืองตูร์ (Tours) ดีจง (Dijon) และชาโตรู (Châteauroux) เขาไม่ได้เร่งรีบไขว่คว้าตำแหน่งทางวิชาการ กว่าจะได้รับปริญญาเอกจากคณะวิทยาศาสตร์ในกรุงปารีสก็เมื่ออายุถึง 39 ปี ด้วยวิทยานิพนธ์ความยาว 126 หน้าว่าด้วยพื้นผิวคลื่นของเฟรสแนล (Fresnel’s wave-surface) เส้นทางชีวิตของเขาจึงต่างจากนักคณิตศาสตร์ชื่อดังในยุคเดียวกันที่มักโลดแล่นอยู่ในแวดวงมหาวิทยาลัยชั้นนำ

จดหมายที่เขย่าวงการตรรกศาสตร์

ในปี 1905 ริชาร์ดเขียนจดหมายถึงหลุยส์ โอลิวิเยร์ (Louis Olivier) ผู้อำนวยการวารสาร Revue générale des sciences pures et appliquées เพื่อเสนอปฏิทรรศน์ที่ภายหลังถูกเรียกว่า “ปฏิทรรศน์ของริชาร์ด” (Richard’s Paradox) แนวคิดเริ่มต้นจากข้อเท็จจริงที่ว่า จำนวนจริงมีอยู่มากมายนับไม่ถ้วนแบบ “ไม่นับได้” (uncountable) ในขณะที่ประโยคภาษาที่ใช้บรรยายจำนวนเหล่านั้น เช่น “หนึ่งในสาม” หรือ “อัตราส่วนเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม” กลับมีจำนวนนับได้เท่านั้น

ริชาร์ดจึงลองเรียงลำดับจำนวนจริงทั้งหมดที่สามารถบรรยายได้ด้วยประโยคภาษา แล้วใช้วิธีการแบบทแยงมุมของคันทอร์ (Cantor’s diagonal argument) สร้างจำนวนใหม่ขึ้นมาจำนวนหนึ่งซึ่ง “ไม่สามารถบรรยายได้” ด้วยประโยคในรายการนั้น แต่ปัญหาคือ ตัวกระบวนการสร้างจำนวนนี้เองก็คือคำบรรยายอีกประโยคหนึ่ง ซึ่งเท่ากับว่าจำนวนที่ว่า “บรรยายไม่ได้” นั้น กลับถูกบรรยายขึ้นมาแล้วโดยตัวมันเอง นี่คือแก่นของความย้อนแย้งที่ทำให้ปฏิทรรศน์นี้โด่งดัง

อิทธิพลที่ไปไกลเกินตัวผู้เขียน

แม้ริชาร์ดจะไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ระดับสถาบันชั้นนำ แต่ปฏิทรรศน์ของเขากลับถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางในการถกเถียงทางวิชาการระดับสูง อ็องรี ปวงกาเร (Henri Poincaré) นำปฏิทรรศน์นี้ไปใช้โจมตีทฤษฎีเซตอย่างหนัก จนบรรดาผู้สนับสนุนทฤษฎีเซตต้องหาทางตอบโต้และปรับปรุงรากฐานของทฤษฎีให้รัดกุมยิ่งขึ้น ปฏิทรรศน์นี้ยังถูกกล่าวถึงร่วมกับปฏิทรรศน์อื่นอีกหกข้อในหนังสือ Principia Mathematica ของอัลเฟรด นอร์ท ไวต์เฮด (Alfred North Whitehead) และแบร์ทรันด์ รัสเซลล์ (Bertrand Russell) และที่สำคัญยิ่งกว่านั้น เคิร์ท เกอเดล (Kurt Gödel) ยังอ้างถึงปฏิทรรศน์ของริชาร์ดโดยตรงว่าเป็นแบบอย่างเชิงความหมาย (semantical analogue) ของทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ (incompleteness theorem) อันโด่งดังของเขาเอง

กล่าวได้ว่า ปฏิทรรศน์ของริชาร์ดมีบทบาทสำคัญในการผลักดันให้วงการคณิตศาสตร์ตระหนักถึงความจำเป็นที่ต้องแยกแยะระหว่าง “คณิตศาสตร์” กับ “อภิคณิตศาสตร์” (metamathematics) อย่างรัดกุม และยังเป็นแรงบันดาลใจสำคัญต่อการพัฒนาคณิตศาสตร์แบบพรีดิเคทีฟ (predicative mathematics) ในเวลาต่อมา

ชีวิตเรียบง่ายจนวาระสุดท้าย

หลังจากช่วงเวลาแห่งชื่อเสียงในปี 1905 ริชาร์ดยังคงเขียนงานด้านปรัชญาคณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่อง เช่น งานว่าด้วยเรขาคณิตเชิงภาพฉาย (projective geometry) ในปี 1903 และงานวิเคราะห์สัจพจน์ของเรขาคณิตในปี 1908 เขาใช้ชีวิตอย่างเงียบสงบในฐานะครูต่อไปจนบั้นปลาย และเสียชีวิตที่เมืองชาโตรูในปี 1956 ด้วยวัย 94 ปี

เรื่องราวของจูลส์ ริชาร์ดเป็นเครื่องเตือนใจว่า การค้นพบครั้งสำคัญในประวัติศาสตร์ความคิดของมนุษย์ไม่จำเป็นต้องมาจากหอคอยงาช้างของมหาวิทยาลัยชั้นนำเสมอไป บางครั้งมันอาจเริ่มต้นจากจดหมายฉบับหนึ่งของครูโรงเรียนมัธยมธรรมดา ๆ คนหนึ่งเท่านั้น