โจวานนี ซัคเคอรี: นักบวชผู้เกือบค้นพบเรขาคณิตไม่ใช่แบบยุคลิดโดยไม่รู้ตัว

ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ มีเรื่องราวที่น่าทึ่งไม่น้อยเกี่ยวกับการค้นพบที่เกิดขึ้นโดยบังเอิญ หรือแม้แต่การค้นพบที่ผู้ค้นพบเองกลับปฏิเสธความสำคัญของมัน หนึ่งในเรื่องราวเช่นนั้นคือของ โจวานนี จิโรลาโม ซัคเคอรี (Giovanni Girolamo Saccheri) นักบวชคณะเยซูอิตและนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ผู้เกือบค้นพบเรขาคณิตไม่ใช่แบบยุคลิด (non-Euclidean geometry) ก่อนยุคของเกาส์ โบยาอี และโลบาเชฟสกีเกือบร้อยปี ทั้งที่ตัวเขาเองไม่เคยรู้ตัวเลยว่ากำลังค้นพบสิ่งที่จะเปลี่ยนแปลงวงการเรขาคณิตไปตลอดกาล

จากทนายความสู่นักบวชนักคณิตศาสตร์

ซัคเคอรีเกิดเมื่อวันที่ 5 กันยายน ค.ศ. 1667 ที่เมืองซานเรโม สาธารณรัฐเจนัว (ปัจจุบันอยู่ในประเทศอิตาลี) เป็นบุตรของ Giovanni Felice Saccheri ทนายความประจำเมือง ตั้งแต่วัยเด็กซัคเคอรีแสดงความเฉลียวฉลาดและความกระตือรือร้นในการเรียนรู้อย่างโดดเด่น

ในปี ค.ศ. 1685 เขาตัดสินใจเข้าสู่คณะเยซูอิตที่เมืองเจนัว และศึกษาปรัชญาและเทววิทยาที่ Jesuit College of Brera ในเมืองมิลาน ที่นี่เองที่ชีวิตของเขาเปลี่ยนไปตลอดกาล เมื่อได้พบกับอาจารย์คณิตศาสตร์ Tommaso Ceva ผู้ซึ่งแนะนำให้เขารู้จักกับ Giovanni Ceva น้องชายของตน นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงจากทฤษฎีบทเชวาในเรขาคณิตของสามเหลี่ยม ทั้งสองพี่น้องตระกูลเชวามีอิทธิพลอย่างมากต่อการชักนำให้ซัคเคอรีทุ่มเทให้กับการวิจัยทางคณิตศาสตร์อย่างจริงจัง

ซัคเคอรีได้รับการอุปสมบทเป็นบาทหลวงที่เมืองโกโมในเดือนมีนาคม ค.ศ. 1694 จากนั้นจึงถูกส่งไปสอนปรัชญาที่มหาวิทยาลัยตูรินระหว่างปี ค.ศ. 1694–1697 ก่อนจะย้ายไปสอนปรัชญา เทววิทยา และคณิตศาสตร์ที่ Jesuit College of Pavia ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1697 จนกระทั่งเสียชีวิต โดยเขาดำรงตำแหน่งหัวหน้าภาควิชาคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยปาเวียตั้งแต่ปี ค.ศ. 1699

ความพยายามพิสูจน์สัจพจน์ข้อที่ 5 ของยุคลิด

ตลอดประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์นับพันปี สัจพจน์ข้อที่ 5 ของยุคลิด (Euclid’s fifth postulate) หรือที่เรียกว่าสัจพจน์คู่ขนาน (parallel postulate) เป็นปริศนาที่นักคณิตศาสตร์นับไม่ถ้วนพยายามพิสูจน์ว่าสามารถอนุมานได้จากสัจพจน์ข้ออื่น ๆ ของยุคลิด แต่ไม่มีใครประสบความสำเร็จ

ซัคเคอรีเลือกใช้วิธีการพิสูจน์แบบโต้แย้ง (reductio ad absurdum) โดยเริ่มต้นจากการสมมติว่าสัจพจน์ข้อที่ 5 ไม่เป็นจริง แล้วพยายามหาข้อขัดแย้งเชิงตรรกะที่จะยืนยันว่าสัจพจน์นี้ต้องเป็นจริงเท่านั้น เขาศึกษารูปสี่เหลี่ยมที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ รูปสี่เหลี่ยมซัคเคอรี (Saccheri quadrilateral) ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมฐานเป็นมุมฉากสองมุม และด้านข้างสองด้านที่มีความยาวเท่ากัน โดยพิจารณาความเป็นไปได้สามกรณีของมุมยอด ได้แก่ กรณีที่มุมยอดเป็นมุมป้าน (hypothesis of the obtuse angle) มุมแหลม (hypothesis of the acute angle) และมุมฉาก (hypothesis of the right angle)

ซัคเคอรีสามารถหักล้างกรณีมุมป้านได้สำเร็จ แต่สำหรับกรณีมุมแหลม แม้เขาจะพยายามอย่างหนักเพื่อหาข้อขัดแย้ง แต่กลับไม่พบข้อขัดแย้งเชิงตรรกะที่แท้จริง สิ่งที่เขาได้กลับกลายเป็นระบบเรขาคณิตที่มีความสอดคล้องในตัวเอง (self-consistent) อย่างสมบูรณ์ ซึ่งในความเป็นจริงแล้วคือสิ่งที่ต่อมาจะเรียกกันว่า เรขาคณิตไฮเพอร์โบลิก (hyperbolic geometry) อันเป็นหนึ่งในรูปแบบของเรขาคณิตไม่ใช่แบบยุคลิด

Euclides ab omni naevo vindicatus: ผลงานที่มาก่อนกาล

ในปี ค.ศ. 1733 ซึ่งเป็นปีเดียวกับที่เขาเสียชีวิต ซัคเคอรีได้ตีพิมพ์ผลงานชิ้นสำคัญที่สุดของเขาในชื่อ Euclides ab omni naevo vindicatus (แปลว่า “ยุคลิดที่ได้รับการปลดปล่อยจากทุกข้อบกพร่อง”) ซึ่งเป็นความพยายามครั้งสำคัญที่สุดของเขาในการพิสูจน์สัจพจน์คู่ขนาน

แม้ในท้ายที่สุด ซัคเคอรีจะปิดท้ายงานของเขาด้วยการอ้างว่าได้พบข้อขัดแย้งในกรณีมุมแหลมแล้ว (ซึ่งในความเป็นจริงเป็นการให้เหตุผลที่ไม่สมบูรณ์และไม่ถูกต้องตามหลักตรรกะอย่างเคร่งครัด) แต่เนื้อหาส่วนใหญ่ในหนังสือเล่มนี้กลับเต็มไปด้วยทฤษฎีบทและข้อสรุปมากมายเกี่ยวกับระบบเรขาคณิตทางเลือกที่เขาไม่ได้ตั้งใจจะค้นพบ ซึ่งภายหลังนักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ต่างยกย่องให้ผลงานชิ้นนี้เป็นหนึ่งในก้าวสำคัญที่สุดก่อนยุคของเรขาคณิตไม่ใช่แบบยุคลิดจะถือกำเนิดขึ้นอย่างเป็นทางการ

น่าเสียดายที่ในยุคสมัยของซัคเคอรี ผลงานชิ้นนี้แทบไม่ได้รับความสนใจจากวงการคณิตศาสตร์เลย และถูกลืมเลือนไปเป็นเวลานานกว่าศตวรรษ จนกระทั่งนักคณิตศาสตร์ชื่อ Eugenio Beltrami ค้นพบผลงานนี้อีกครั้งในปี ค.ศ. 1889 หลังจากที่คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (Carl Friedrich Gauss), ยานอช โบยาอี (János Bolyai) และนิโคไล โลบาเชฟสกี (Nikolai Lobachevsky) ได้พัฒนาเรขาคณิตไม่ใช่แบบยุคลิดขึ้นอย่างเป็นทางการแล้วในช่วงต้นศตวรรษที่ 19

ผลงานอื่น ๆ และมรดกที่ทิ้งไว้

นอกจากผลงานด้านเรขาคณิตแล้ว ซัคเคอรียังมีผลงานตีพิมพ์อื่น ๆ อีกหลายชิ้น เช่น Quaesita Geometrica (ค.ศ. 1693) ซึ่งเป็นการแก้ปัญหาเรขาคณิตเบื้องต้นและเรขาคณิตพิกัดหลายข้อ และ Logica Demonstrativa (ค.ศ. 1697) ซึ่งเกี่ยวข้องกับความสอดคล้องของนิยามทางตรรกศาสตร์ อีกทั้งยังมีผลงานด้านฟิสิกส์ในชื่อ Neo-Statica (ค.ศ. 1708) อีกด้วย

ทฤษฎีบทอีกชิ้นหนึ่งที่ตั้งชื่อตามเขาคือ ทฤษฎีบทซัคเคอรี-เลอฌ็องดร์ (Saccheri–Legendre theorem) ซึ่งเกี่ยวข้องกับผลรวมมุมภายในของสามเหลี่ยมในเรขาคณิตสัมบูรณ์ (absolute geometry)

โจวานนี ซัคเคอรีเสียชีวิตเมื่อวันที่ 25 ตุลาคม ค.ศ. 1733 ที่เมืองมิลาน ขณะอายุ 66 ปี แม้ในช่วงชีวิตของเขาจะไม่มีใครตระหนักถึงความสำคัญของงานที่เขาทำ แต่ปัจจุบันซัคเคอรีได้รับการยกย่องให้เป็น “ผู้บุกเบิกเรขาคณิตไม่ใช่แบบยุคลิด” เรื่องราวของเขาเป็นเครื่องเตือนใจว่า บางครั้งการค้นพบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ก็อาจเกิดขึ้นจากความพยายามพิสูจน์สิ่งที่ผิด และซ่อนตัวอยู่ในผลงานที่ผู้เขียนเองก็ยังไม่ทันตระหนักถึงคุณค่าที่แท้จริงของมัน