วิทอลด์ ฮูเรวิช: ผู้เชื่อมโยงโฮโมโทปีกับโฮโมโลยี และจุดจบอันน่าเศร้าที่พีระมิดมายา

ในประวัติศาสตร์ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต มีทฤษฎีบทหนึ่งที่ถือเป็นสะพานเชื่อมสำคัญระหว่างสองแนวคิดพื้นฐานที่สุดของสาขาวิชานี้ นั่นคือ ทฤษฎีบทฮูเรวิช (Hurewicz theorem) ซึ่งเชื่อมโยงกรุ๊ปโฮโมโทปี (homotopy groups) เข้ากับกรุ๊ปโฮโมโลยี (homology groups) ผู้ค้นพบทฤษฎีบทนี้คือ วิทอลด์ ฮูเรวิช (Witold Hurewicz) นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์-อเมริกันผู้บุกเบิกทอพอโลยีมิติ (dimension theory) แต่น่าเศร้าที่ชีวิตของเขาต้องจบลงอย่างกะทันหันในอุบัติเหตุที่ไม่มีใครคาดคิด

ชีวิตช่วงต้นในเมืองอุตสาหกรรมของโปแลนด์

ฮูเรวิชเกิดเมื่อวันที่ 29 มิถุนายน ค.ศ. 1904 ที่เมืองลอดซ์ ซึ่งขณะนั้นเป็นส่วนหนึ่งของโปแลนด์ภายใต้จักรวรรดิรัสเซีย และเป็นศูนย์กลางอุตสาหกรรมสิ่งทอที่สำคัญของประเทศ เขาเป็นบุตรของ Mieczysław Hurewicz นักอุตสาหกรรมผู้เกิดที่เมืองวิลนีอุส และ Katarzyna Finkelsztain ครอบครัวของเขาเป็นชาวยิว

ฮูเรวิชเข้าเรียนระดับประถมศึกษาที่เมืองลอดซ์ในช่วงที่โปแลนด์ยังอยู่ภายใต้การควบคุมของรัสเซีย แต่ก่อนที่เขาจะเริ่มเรียนระดับมัธยมศึกษา สงครามโลกครั้งที่หนึ่งก็ปะทุขึ้น ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่ในโปแลนด์ ในเดือนสิงหาคม ค.ศ. 1915 กองทัพรัสเซียถอนกำลังออกจากพื้นที่ เยอรมนีและออสเตรีย-ฮังการีเข้าควบคุมพื้นที่ส่วนใหญ่ของประเทศ และมหาวิทยาลัยวอร์ซอก็ได้รับการก่อตั้งขึ้นใหม่ในฐานะมหาวิทยาลัยโปแลนด์

ฮูเรวิชศึกษาต่อด้านคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเวียนนา ภายใต้การดูแลของ Hans Hahn และ Karl Menger นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียง และสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาเอกในปี ค.ศ. 1926 ด้วยวิทยานิพนธ์เรื่อง “Über eine Verallgemeinerung des Borelschen Theorems” (ว่าด้วยการสรุปทั่วไปของทฤษฎีบทของโบเรล)

จากอัมสเตอร์ดัมสู่การค้นพบกรุ๊ปโฮโมโทปีลำดับสูง

หลังสำเร็จการศึกษา ฮูเรวิชได้รับทุนการศึกษา Rockefeller ซึ่งทำให้เขามีโอกาสไปศึกษาต่อที่กรุงอัมสเตอร์ดัมในช่วงปี ค.ศ. 1927–1928 และต่อมาได้ดำรงตำแหน่งผู้ช่วยของ L.E.J. Brouwer นักคณิตศาสตร์ระดับตำนานผู้บุกเบิกทอพอโลยีระหว่างปี ค.ศ. 1928–1936

ช่วงเวลาที่ทำงานเป็นผู้ช่วยของบราวเวอร์ในอัมสเตอร์ดัมนี้เองที่ฮูเรวิชค้นพบ กรุ๊ปโฮโมโทปีลำดับสูง (higher homotopy groups) ในปี ค.ศ. 1935–1936 แม้แนวคิดเรื่องกรุ๊ปโฮโมโทปีลำดับสูงจะไม่ใช่เรื่องใหม่ทั้งหมด แต่ไม่มีใครก่อนหน้าเขาที่ศึกษาแนวคิดนี้อย่างจริงจังเท่าที่ควรจะเป็น เนื่องจากนักวิจัยส่วนใหญ่ในยุคนั้นไม่คาดหวังว่าจะได้ข้อมูลใหม่ที่มีนัยสำคัญจากกรุ๊ปเหล่านี้ ซึ่งดูเหมือนจะมีสมบัติการสลับที่ (commutative) อย่างชัดเจนอยู่แล้ว

ทฤษฎีบทฮูเรวิช: สะพานเชื่อมโฮโมโทปีและโฮโมโลยี

ผลงานที่สร้างชื่อเสียงให้กับฮูเรวิชมากที่สุดคือ ทฤษฎีบทฮูเรวิช (Hurewicz theorem) ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างกรุ๊ปโฮโมโทปีและกรุ๊ปโฮโมโลยีของปริภูมิทอพอโลยี โดยเฉพาะการแสดงให้เห็นว่า ภายใต้เงื่อนไขบางประการ กรุ๊ปโฮโมโทปีลำดับแรกที่ไม่เป็นศูนย์จะมีความสัมพันธ์แบบไอโซมอร์ฟิซึม (isomorphic) กับกรุ๊ปโฮโมโลยีในลำดับเดียวกัน

ทฤษฎีบทนี้ถือเป็นเครื่องมือพื้นฐานที่สำคัญที่สุดชิ้นหนึ่งในทอพอโลยีเชิงพีชคณิต เพราะช่วยให้นักคณิตศาสตร์สามารถคำนวณกรุ๊ปโฮโมโทปีซึ่งโดยทั่วไปแล้วคำนวณได้ยากมาก โดยอาศัยกรุ๊ปโฮโมโลยีซึ่งคำนวณได้ง่ายกว่าแทน และยังนำไปสู่การพัฒนาสาขาที่เรียกว่า พีชคณิตเชิงโฮโมโลยี (homological algebra) ในเวลาต่อมาอีกด้วย

นอกจากนี้ ฮูเรวิชยังค้นพบ ลำดับที่แม่นตรงยาวของโฮโมโทปีสำหรับไฟเบรชัน (long exact homotopy sequence for fibrations) ในปี ค.ศ. 1941 ซึ่งเป็นอีกหนึ่งเครื่องมือสำคัญที่ใช้ในการศึกษาโครงสร้างของปริภูมิไฟเบรชัน (fibration) และแนวคิดเรื่อง ไฟเบรชันฮูเรวิช (Hurewicz fibration) ที่ยังคงใช้กันอย่างแพร่หลายในทอพอโลยีสมัยใหม่

จากยุโรปสู่สหรัฐอเมริกา

ในช่วงปลายทศวรรษ 1930 ฮูเรวิชเดินทางไปสถาบัน Institute for Advanced Study ที่เมืองพรินซ์ตัน สหรัฐอเมริกา ในช่วงลาพักงานหนึ่งปี และตัดสินใจอยู่ที่สหรัฐอเมริกาต่อโดยไม่กลับไปดำรงตำแหน่งเดิมที่อัมสเตอร์ดัม เขาเริ่มทำงานที่มหาวิทยาลัยนอร์ทแคโรไลนาที่ชาเปลฮิลล์

ในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง ฮูเรวิชได้อุทิศตนให้กับงานวิจัยด้านคณิตศาสตร์ประยุกต์เพื่อสนับสนุนความพยายามในการทำสงคราม โดยเฉพาะงานวิจัยด้านกลไกเซอร์โว (servomechanisms) ซึ่งเป็นความลับทางทหารเนื่องจากมีความสำคัญเชิงยุทธศาสตร์ เขายังดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์รับเชิญที่มหาวิทยาลัยบราวน์ในช่วงปี ค.ศ. 1943–1944 และทำงานที่ห้องปฏิบัติการรังสี (Radiation Laboratory) ของสถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์ (MIT) ในช่วงปี ค.ศ. 1944–1945

ศาสตราจารย์แห่งเอ็มไอที

ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1945 จนกระทั่งเสียชีวิต ฮูเรวิชทำงานอยู่ที่สถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์ โดยดำรงตำแหน่งรองศาสตราจารย์ในช่วงปี ค.ศ. 1945–1948 ก่อนได้รับการเลื่อนตำแหน่งเป็นศาสตราจารย์เต็มตัว ในปี ค.ศ. 1949 เขาได้รับเลือกเป็นสมาชิกของ American Academy of Arts and Sciences และในปี ค.ศ. 1950 เขาได้รับเชิญให้บรรยายในที่ประชุม International Congress of Mathematicians ที่เมืองเคมบริดจ์ รัฐแมสซาชูเซตส์ ในหัวข้อ “Homology and Homotopy in the Topology”

บั้นปลายชีวิตอันน่าเศร้าที่เม็กซิโก

ในเดือนสิงหาคม ค.ศ. 1956 ฮูเรวิชเดินทางไปเข้าร่วมการประชุม International Symposium on Algebraic Topology ที่มหาวิทยาลัยแห่งชาติเม็กซิโก โดยทำหน้าที่เป็นวิทยากรเปิดงานและเป็นหนึ่งในผู้เข้าร่วมที่กระตือรือร้นที่สุดในการประชุม เขาเดินทางมาถึงเม็กซิโกล่วงหน้าหลายสัปดาห์ก่อนการประชุม และตกหลุมรักประเทศแห่งนี้รวมถึงผู้คนที่นี่ในทันที จนสร้างความสัมพันธ์อันอบอุ่นกับนักคณิตศาสตร์ชาวเม็กซิกันตั้งแต่แรกพบ

ทว่าเมื่อวันที่ 6 กันยายน ค.ศ. 1956 หลังการประชุมสิ้นสุดลง ฮูเรวิชประสบอุบัติเหตุพลัดตกจากพีระมิดโบราณที่เมืองอุกซ์มาล (Uxmal) รัฐยูกาตัง ประเทศเม็กซิโก และเสียชีวิตในทันที ขณะอายุ 52 ปี

The Legacy He Left Behind

โซโลมอน เลฟเชตซ์ นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงและเพื่อนร่วมวงการ ได้เขียนบทความไว้อาลัยให้กับฮูเรวิชในวารสาร Bulletin of the American Mathematical Society โดยบรรยายวันที่ 6 กันยายนว่าเป็น “วันมืดมิดสำหรับวงการคณิตศาสตร์” และยกย่องฮูเรวิชว่าเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่มีความสามารถและน่ารักที่สุดคนหนึ่งเท่าที่จะหาได้ในทุกที่

แม้ชีวิตของฮูเรวิชจะจบลงอย่างกะทันหันและไม่มีใครคาดคิด แต่ผลงานที่เขาทิ้งไว้ยังคงเป็นเสาหลักสำคัญของทอพอโลยีเชิงพีชคณิตมาจนถึงทุกวันนี้ หนังสือ Lectures on Ordinary Differential Equations ของเขาได้รับการตีพิมพ์หลังเสียชีวิตในปี ค.ศ. 1958 ซึ่งสะท้อนให้เห็นถึงความชัดเจนในความคิดและคุณภาพงานเขียนของเขาได้เป็นอย่างดี ทฤษฎีบทฮูเรวิชและแนวคิดต่าง ๆ ที่เขาค้นพบยังคงเป็นเครื่องมือพื้นฐานที่นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกใช้ศึกษาทอพอโลยีเชิงพีชคณิตมาจนถึงปัจจุบัน