จอร์จ เดอ แรม: จากเด็กที่ใฝ่ฝันเป็นจิตรกร สู่ผู้สร้างสะพานเชื่อมทอพอโลยีกับเรขาคณิต

บางครั้งเส้นทางสู่ความยิ่งใหญ่ทางคณิตศาสตร์ก็ไม่ได้เริ่มต้นจากความหลงใหลในตัวเลขตั้งแต่วัยเด็กเสมอไป จอร์จ เดอ แรม (Georges de Rham) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสผู้สร้างสะพานเชื่อมสำคัญระหว่างทอพอโลยีกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ เคยใฝ่ฝันอยากเป็นจิตรกรมาก่อน และไม่ได้เป็นนักเรียนที่โดดเด่นในโรงเรียนแต่อย่างใด ก่อนที่ชีวิตจะพลิกผันไปสู่โลกคณิตศาสตร์ที่เขาไม่เคยคาดคิดมาก่อน

ชีวิตช่วงต้นในชนบทสวิส

เดอ แรมเกิดเมื่อวันที่ 10 กันยายน ค.ศ. 1903 ที่หมู่บ้านโรช แคว้นโว ประเทศสวิตเซอร์แลนด์ เป็นบุตรคนที่ห้าจากพี่น้องทั้งหมดหกคนของ Léon de Rham วิศวกรก่อสร้างที่ทำงานในโรงงานปูนซีเมนต์ขนาดใหญ่ และ Marie Louise นามสกุลเดิม Du Pasquier ครอบครัวของเขาอาศัยอยู่ในบ้านหลังงามท่ามกลางบรรยากาศชนบท และเดอ แรมเคยกล่าวในภายหลังว่า เขาโชคดีที่ได้เกิดในชนบทและใช้ชีวิตสิบหกปีแรกที่นั่น

เดอ แรมเข้าเรียนระดับประถมศึกษาที่หมู่บ้านโรช ก่อนไปเรียนต่อที่โรงเรียนมัธยม Collège d’Aigle ระหว่างปี ค.ศ. 1914–1919 ซึ่งอยู่ห่างจากบ้านราว 7 กิโลเมตร ต้องเดินทางด้วยรถไฟทุกวัน ช่วงเวลาที่เขาเรียนที่นี่ตรงกับช่วงสงครามโลกครั้งที่หนึ่งพอดี ทำให้บริการรถไฟลดลงอย่างมาก เขาต้องขึ้นรถไฟเที่ยวแรกตอนตีหกทุกเช้า เดอ แรมเคยเล่าว่าเขาไม่ค่อยชอบโรงเรียนนักและไม่ใช่นักเรียนที่โดดเด่น สิ่งที่เขาสนใจจริง ๆ กลับเป็นการวาดภาพและใฝ่ฝันอยากเป็นจิตรกร

จากศิลปะสู่คณิตศาสตร์

ในปี ค.ศ. 1919 ครอบครัวของเดอ แรมย้ายไปอยู่ที่เมืองโลซาน ในอพาร์ตเมนต์เช่าที่ปราสาทโบลิเยอ ซึ่งเขาอาศัยอยู่ที่นั่นตลอดชีวิตที่เหลือ เขาเริ่มเรียนที่ Gymnasium ในเมืองโลซานโดยเน้นสายมนุษยศาสตร์ ตามความหลงใหลในวรรณกรรมและปรัชญา แต่เรียนคณิตศาสตร์เพียงเล็กน้อยเท่านั้น

ในปี ค.ศ. 1921 เดอ แรมเข้าศึกษาต่อที่คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยโลซาน โดยเขาเล่าในภายหลังว่าการตัดสินใจนี้มาจาก “ความรู้สึกถึงช่องว่างในความรู้ ความอยากรู้อยากเห็น และเสน่ห์ของความลึกลับ” หลังเรียนไปได้ห้าภาคการศึกษา เขาก็ตัดสินใจเลิกเรียนเคมี ชีววิทยา และฟิสิกส์ เพื่อทุ่มเทให้กับคณิตศาสตร์อย่างเต็มตัว วิชาที่เขาเคยมองว่าเป็น “อาณาเขตปิดที่ดูเหมือนจะเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างสิ่งใหม่” กลับกลายเป็น “อาณาเขตอันกว้างใหญ่ไพศาล” ในสายตาของเขา โดยได้รับการสนับสนุนและคำแนะนำจากอาจารย์ผู้ดีสองท่านคือ Gustave Dumas และ Dmitry Mirimanoff เขาสำเร็จการศึกษาในฤดูใบไม้ร่วงปี ค.ศ. 1925

โอกาสแห่งชีวิตที่กรุงปารีส

หลังสำเร็จการศึกษา เดอ แรมเดินทางไปกรุงปารีสเพื่อศึกษาต่อภายใต้การดูแลของ อ็องรี เลอเบก (Henri Lebesgue) ที่ Collège de France ความสนใจในเรื่องทอพอโลยี (analysis situs) ของเขาเกิดจากการได้อ่านบันทึกความจำของอ็องรี ปวงกาเร (Henri Poincaré) ซึ่งเขาได้พบกับข้อความคาดการณ์อันโด่งดังของปวงกาเร และเคยพยายามพิสูจน์มันด้วยตนเอง

ที่กรุงปารีสนี้เอง เดอ แรมได้พบกับ เอลี การ์ตอง (Élie Cartan) ซึ่งต่อมากลายเป็นอาจารย์ที่ปรึกษาวิทยานิพนธ์ของเขา เดอ แรมเคยบรรยายถึงช่วงเวลานี้ว่าเป็น “โอกาสแห่งชีวิตของผม” เมื่อเขาได้พบกับบันทึกของการ์ตองที่ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1928 ซึ่งเสนอความเชื่อมโยงระหว่างรูปแบบเชิงอนุพันธ์ (differential forms) บนแมนิโฟลด์กับตัวยืนยงเชิงทอพอโลยี (topological invariant) ของมัน แต่ยังไม่มีการพิสูจน์ที่สมบูรณ์ เขาสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาเอกที่กรุงปารีสในเดือนมิถุนายน ค.ศ. 1931 ด้วยวิทยานิพนธ์เรื่องทอพอโลยีของแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้

ทฤษฎีบทเดอ แรมและโคโฮโมโลยีเดอ แรม

ผลลัพธ์ที่เดอ แรมพิสูจน์ในวิทยานิพนธ์นี้ ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทเดอ แรม (De Rham’s theorem) ซึ่งสามารถอธิบายได้ในรูปของไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างกรุ๊ปโคโฮโมโลยี ทฤษฎีบทนี้พร้อมด้วยผลลัพธ์ต่อเนื่องมากมายที่ตามมา ถือเป็นก้าวสำคัญของคณิตศาสตร์ร่วมสมัย

จากทฤษฎีบทนี้เอง เกิดเป็น โคโฮโมโลยีเดอ แรม (de Rham cohomology) ซึ่งเป็นเครื่องมือที่เชื่อมโยงทั้งทอพอโลยีเชิงพีชคณิตและทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์เข้าด้วยกัน โดยสามารถแสดงข้อมูลเชิงทอพอโลยีพื้นฐานของแมนิโฟลด์เรียบ (smooth manifold) ในรูปแบบที่เหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการคำนวณและการแสดงคลาสโคโฮโมโลยีอย่างเป็นรูปธรรม โดยอาศัยการมีอยู่ของรูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่มีคุณสมบัติตามที่กำหนดไว้ล่วงหน้า

โคโฮโมโลยีเดอ แรมกลายเป็นเครื่องมือพื้นฐานที่สำคัญที่สุดชิ้นหนึ่งของเรขาคณิตสมัยใหม่ และถูกนำไปประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในหลายสาขา ตั้งแต่เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต ไปจนถึงฟิสิกส์เชิงทฤษฎี โดยเฉพาะในทฤษฎีสนามควอนตัมและทฤษฎีสตริง

เส้นทางวิชาการที่โลซานและเจนีวา

เดอ แรมได้รับแต่งตั้งเป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยโลซานตั้งแต่ปี ค.ศ. 1932 และดำรงตำแหน่งควบคู่กันที่มหาวิทยาลัยเจนีวาด้วยในภายหลัง เขาทำงานอยู่ในสวิตเซอร์แลนด์ตลอดชีวิตการทำงาน แม้จะเดินทางไปบรรยายและทำงานร่วมกับนักคณิตศาสตร์ทั่วโลกอยู่เสมอ

นอกจากทฤษฎีบทเดอ แรมแล้ว เขายังมีผลงานอื่น ๆ ที่ตั้งชื่อตามเขาอีกมากมาย เช่น เส้นโค้งเดอ แรม (de Rham curve) ซึ่งเป็นเส้นโค้งแฟร็กทัลชนิดหนึ่ง และ ตัวยืนยงเดอ แรม (de Rham invariant) ในทอพอโลยี รวมถึงผลงานสำคัญด้านทฤษฎีโฮโลโนมี (holonomy theory) ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

เกียรติยศตลอดชีวิตการทำงาน

เดอ แรมได้รับเกียรติยศมากมายตลอดชีวิตการทำงาน ในปี ค.ศ. 1965 เขาได้รับ รางวัลมาร์แซล เบอนัวส์ (Marcel Benoist Prize) อันเป็นหนึ่งในรางวัลวิทยาศาสตร์ที่ทรงเกียรติที่สุดของประเทศสวิตเซอร์แลนด์ เพื่อเป็นการยกย่องผลงานตลอดชีวิตของเขาในสาขาทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์

The final stage of life and the legacy left behind

จอร์จ เดอ แรมเสียชีวิตเมื่อวันที่ 9 ตุลาคม ค.ศ. 1990 ที่เมืองโลซาน ประเทศสวิตเซอร์แลนด์ ขณะอายุ 87 ปี ตลอดชีวิตการทำงานเกือบ 60 ปี เขาได้สร้างมรดกทางคณิตศาสตร์ที่ยังคงเป็นเครื่องมือพื้นฐานสำคัญของเรขาคณิตและทอพอโลยีสมัยใหม่มาจนถึงทุกวันนี้ หนังสือของเขาเรื่อง Differentiable Manifolds: Forms, Currents, Harmonic Forms ซึ่งตีพิมพ์ครั้งแรกเป็นภาษาฝรั่งเศสในปี ค.ศ. 1955 ยังคงเป็นตำราอ้างอิงสำคัญสำหรับนักเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ทั่วโลก

เรื่องราวชีวิตของเดอ แรม จากเด็กชายที่ไม่ชอบโรงเรียนและใฝ่ฝันอยากเป็นจิตรกร สู่การเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่มีอิทธิพลมากที่สุดคนหนึ่งแห่งศตวรรษที่ 20 เป็นเครื่องเตือนใจว่าความรักในวิชาใดวิชาหนึ่งอาจไม่ปรากฏชัดตั้งแต่วัยเยาว์เสมอไป แต่เมื่อได้พบกับสิ่งที่ใช่ ความหลงใหลนั้นก็สามารถนำพาไปสู่การค้นพบที่ยิ่งใหญ่ได้เช่นกัน