วิลเฮล์ม บลาชเคอ: ผู้บุกเบิกเรขาคณิตนูนและเรขาคณิตเชิงบูรณาการ

ในสาขาเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และเรขาคณิตนูน มีนักคณิตศาสตร์ไม่กี่คนที่สร้างสาขาวิชาใหม่ขึ้นมาทั้งสาขา วิลเฮล์ม บลาชเคอ (Wilhelm Blaschke) นักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรียคือหนึ่งในนั้น เขาคือผู้บุกเบิกเรขาคณิตเชิงบูรณาการ (integral geometry) และมีผลงานสำคัญมากมายในเรขาคณิตนูน แต่ชีวิตของเขากลับมีด้านที่ขัดแย้งอย่างมาก จากบทบาทและความสัมพันธ์ที่เขามีกับพรรคนาซีในเยอรมนี

ชีวิตช่วงต้นในเมืองกราซ

บลาชเคอเกิดเมื่อวันที่ 13 กันยายน ค.ศ. 1885 ที่เมืองกราซ ประเทศออสเตรีย-ฮังการี เป็นบุตรของ Josef Blaschke (ค.ศ. 1852–1917) ผู้สอนเรขาคณิตพรรณนา (descriptive geometry) ที่โรงเรียน Landes-Oberrealschule ในเมืองกราซ และ Maria Blaschke นามสกุลเดิม Edle von Mor zu Sunnegg und Morberg

บิดาของบลาชเคอถ่ายทอดความหลงใหลในเรขาคณิตแบบยาคอบ สไตเนอร์ (Jakob Steiner) ให้กับเขา รวมถึงความรักในปัญหาเชิงรูปธรรม (concrete problems) และความรู้สึกเปิดกว้างต่อวัฒนธรรมต่างประเทศที่ติดตัวเขาไปตลอดชีวิต บลาชเคอเริ่มศึกษาที่ Technische Hochschule ในเมืองกราซในปี ค.ศ. 1903 ซึ่งเขาได้รับแรงบันดาลใจแรกเริ่มด้านเรขาคณิตจาก O. von Lichtenfels ก่อนเปลี่ยนความสนใจจากสถาปัตยกรรมมาสู่คณิตศาสตร์

บลาชเคอได้รับปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยเวียนนาในปี ค.ศ. 1908 หลังจากนั้นเขาใช้เวลากว่าทศวรรษเดินทางไปทั่วยุโรปเพื่อแสวงหาการติดต่อกับนักเรขาคณิตชั้นนำในยุคนั้น ทั้ง ลุยจี เบียงกี (Luigi Bianchi) ที่เมืองปิซา เฟลิกซ์ ไคลน์ (Felix Klein), เดวิด ฮิลแบร์ท (David Hilbert) และ คาร์ล รุงเงอ (Carl Runge) ที่เมืองเกิททิงเงน เอดูอาร์ด สตูดี (Eduard Study) ที่เมืองบอนน์ และ ฟรีดริช เองเงล (Friedrich Engel)

เรขาคณิตนูนและทฤษฎีบทการเลือกของบลาชเคอ

ผลงานที่สร้างชื่อเสียงให้กับบลาชเคอมากที่สุดในสาขาเรขาคณิตนูน (convex geometry) คือ ทฤษฎีบทการเลือกของบลาชเคอ (Blaschke selection theorem) ซึ่งเป็นทฤษฎีบทพื้นฐานที่รับประกันการมีอยู่ของลำดับย่อยที่ลู่เข้าของเซตนูนที่มีขอบเขตจำกัด (bounded convex sets) ทฤษฎีบทนี้กลายเป็นเครื่องมือสำคัญที่ใช้ในการพิสูจน์การมีอยู่ของผลเฉลยในปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดของรูปทรงนูนต่าง ๆ

นอกจากนี้เขายังพัฒนาแนวคิด ผลรวมบลาชเคอ (Blaschke sum) ซึ่งเป็นวิธีการรวมรูปทรงนูนสองรูปเข้าด้วยกันโดยอาศัยฟังก์ชันความกว้าง (support function) และ อสมการบลาชเคอ-ซานตาโล (Blaschke–Santaló inequality) ซึ่งพัฒนาร่วมกับ หลุยส์ ซานตาโล (Luís Santaló) ลูกศิษย์ของเขา อสมการนี้เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของเซตนูนกับปริมาตรของเซตขั้ว (polar set) ของมัน

หนังสือของบลาชเคอเรื่อง Kreis und Kugel (วงกลมและทรงกลม) ซึ่งตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1916 ถือเป็นหนึ่งในหนังสือเล่มแรก ๆ ที่อุทิศให้กับการศึกษาเซตนูนโดยเฉพาะ และมีการทบทวนวรรณกรรมอย่างละเอียดพร้อมการอ้างอิงเพื่อให้เครดิตกับผู้ค้นพบดั้งเดิมในสาขาคณิตศาสตร์คลาสสิกนี้

ผู้บุกเบิกเรขาคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตเชิงบูรณาการ

นอกเหนือจากเรขาคณิตนูนแล้ว บลาชเคอยังมีผลงานสำคัญด้านเรขาคณิตเชิงเส้น (line geometry) และเป็นผู้ค้นพบการส่งจลนศาสตร์ (kinematic mapping) ซึ่งต่อมากลายเป็นเทคนิคพื้นฐานสำคัญในการวางรากฐานเชิงสัจพจน์ของเรขาคณิตหลายชนิด และมีบทบาทสำคัญในสาขาจลนศาสตร์ (kinematics)

บลาชเคอยังเป็นผู้บุกเบิกสาขา เรขาคณิตเชิงบูรณาการ (integral geometry) ซึ่งเป็นการศึกษาปริมาณเชิงเรขาคณิตที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้กรุ๊ปการแปลงบางประเภท โดยอาศัยเทคนิคของการหาปริพันธ์บนปริภูมิของวัตถุเรขาคณิต เช่น เส้นตรง ระนาบ หรือวงกลม สาขานี้มีความเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งกับทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงเรขาคณิต (geometric probability) และมีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในสาขาสถิติศาสตร์เชิงพื้นที่ (spatial statistics) ในเวลาต่อมา

นอกจากนี้เขายังเป็นผู้บุกเบิก เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ทอพอโลยี (topological differential geometry) ซึ่งเป็นการศึกษาการส่งที่หาอนุพันธ์ได้ (differentiable mappings) ที่ไม่แปรเปลี่ยน ผลงานหลักของเขาในเรื่องนี้ถูกรวบรวมไว้ในตำราสามเล่มเรื่อง Vorlesungen über Differentialgeometrie ซึ่งกลายเป็นตำราสำคัญและมีอิทธิพลอย่างมากในยุคนั้น

เส้นทางวิชาการที่หลากหลาย

บลาชเคอได้รับตำแหน่งศาสตราจารย์วิสามัญที่ Deutsche Technische Hochschule เมืองปราก ในปี ค.ศ. 1913 ก่อนย้ายไปดำรงตำแหน่งที่มหาวิทยาลัยไลพ์ซิกในอีกสองปีถัดมา ในปี ค.ศ. 1917 เขาได้รับแต่งตั้งเป็นศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเคอนิกส์แบร์ก และในปี ค.ศ. 1919 เขารับตำแหน่งศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยฮัมบูร์ก ซึ่งเขาทำงานอยู่ที่นั่นตลอดช่วงที่เหลือของอาชีพการงาน

ตลอดอาชีพการงาน บลาชเคอมีลูกศิษย์ปริญญาเอกที่มีชื่อเสียงระดับโลกหลายคน อาทิ ชิงเชิน เฉิน (Shiing-Shen Chern) นักเรขาคณิตชาวจีน-อเมริกันผู้มีชื่อเสียง หลุยส์ ซานตาโล (Luís Santaló), เอมานูเอล สเปอร์เนอร์ (Emanuel Sperner) และ แกร์ฮาร์ด ทอมเซน (Gerhard Thomsen)

ผู้ก่อตั้งวารสารคณิตศาสตร์

บลาชเคอมีบทบาทสำคัญในการก่อตั้งวารสารคณิตศาสตร์ที่มีอิทธิพลหลายฉบับ โดยเฉพาะวารสาร Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg ซึ่งกลายเป็นเวทีสำคัญสำหรับการตีพิมพ์ผลงานวิจัยด้านเรขาคณิตในยุคนั้น

ข้อถกเถียงเรื่องความสัมพันธ์กับพรรคนาซี

แม้จะมีผลงานทางวิชาการที่โดดเด่น แต่ชีวิตของบลาชเคอกลับมีด้านที่ขัดแย้งอย่างมาก เขาเป็นสมาชิกของพรรคนาซี (Nazi Party) และให้การสนับสนุนอย่างเปิดเผย บทบาทของเขาในช่วงยุคไรช์ที่สามยังคงเป็นประเด็นที่ถกเถียงกันในหมู่นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์มาจนถึงปัจจุบัน โดยเฉพาะเรื่องผลกระทบที่เขามีต่อเพื่อนร่วมงานและนักคณิตศาสตร์ชาวยิวในช่วงเวลานั้น ซึ่งเป็นเงามืดที่ปกคลุมมรดกทางวิชาการอันโดดเด่นของเขา

The final stage of life and the legacy left behind

วิลเฮล์ม บลาชเคอเสียชีวิตเมื่อวันที่ 17 มีนาคม ค.ศ. 1962 ที่เมืองฮัมบูร์ก ประเทศเยอรมนี ขณะอายุ 76 ปี แม้ชีวิตของเขาจะเต็มไปด้วยความขัดแย้งทางการเมืองและจริยธรรม แต่ผลงานทางคณิตศาสตร์ที่เขาทิ้งไว้ยังคงมีอิทธิพลอย่างลึกซึ้งต่อวงการเรขาคณิตนูน เรขาคณิตเชิงบูรณาการ และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์มาจนถึงทุกวันนี้

ทฤษฎีบทการเลือกของบลาชเคอยังคงเป็นเครื่องมือพื้นฐานสำคัญที่นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกใช้ในการศึกษาเซตนูนและปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุด ขณะที่สาขาเรขาคณิตเชิงบูรณาการที่เขาบุกเบิกก็ยังคงเป็นสาขาการวิจัยที่มีชีวิตชีวา ซึ่งเชื่อมโยงเรขาคณิตเข้ากับความน่าจะเป็นและสถิติศาสตร์เชิงพื้นที่ในรูปแบบที่มีคุณค่าอย่างยิ่งต่อวงการคณิตศาสตร์ประยุกต์สมัยใหม่ เรื่องราวชีวิตของบลาชเคอจึงเป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนของประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ ที่ผลงานทางปัญญาอันยิ่งใหญ่สามารถดำรงอยู่ร่วมกับข้อบกพร่องทางจริยธรรมส่วนบุคคลอันร้ายแรงได้ในบุคคลเดียวกัน