ซามูเอล ไอเลนเบิร์ก: สถาปนิกผู้สร้างภาษากลางของคณิตศาสตร์สมัยใหม่

Samuel Eilenberg (1913–1998)

นักคณิตศาสตร์เชื้อสายโปแลนด์-อเมริกันระดับตำนาน หนึ่งในผู้บุกเบิกทอพอโลยีเชิงพีชคณิต (algebraic topology) และพีชคณิตเชิงโฮโมโลยี (homological algebra) และเป็นผู้ร่วมก่อตั้ง “ทฤษฎีหมวดหมู่” (category theory) ร่วมกับซอนเดอร์ส แม็คเลน (Saunders Mac Lane) ซึ่งกลายมาเป็นภาษากลางที่เชื่อมโยงเกือบทุกสาขาของคณิตศาสตร์สมัยใหม่เข้าด้วยกัน

ชีวิตช่วงต้นในวอร์ซอ

ซามูเอล ไอเลนเบิร์ก หรือที่เพื่อนฝูงเรียกกันติดปากว่า “แซมมี” (Sammy) เกิดเมื่อวันที่ 30 กันยายน ค.ศ. 1913 ที่กรุงวอร์ซอ ซึ่งขณะนั้นอยู่ภายใต้จักรวรรดิรัสเซีย (ปัจจุบันคือประเทศโปแลนด์) ในครอบครัวชาวยิว บิดาของเขาได้รับการศึกษาจากโรงเรียนยิว แต่ภายหลังหันมาประกอบอาชีพผู้ผลิตเบียร์ตามครอบครัวฝ่ายภรรยาที่ทำธุรกิจนี้อยู่แล้ว

ไอเลนเบิร์กเข้าศึกษาที่มหาวิทยาลัยวอร์ซอ ซึ่งในยุคนั้นเป็นศูนย์กลางสำคัญของ “สำนักทอพอโลยีโปแลนด์” (Polish school of topology) ที่มีนักคณิตศาสตร์ชื่อดังหลายคนสอนอยู่ ไม่ว่าจะเป็นมาซูร์เควิช คูราตอฟสกี เซียร์ปินสกี แซ็กส์ และบอร์ซุก จึงไม่น่าแปลกใจที่ความสนใจของไอเลนเบิร์กจะมุ่งไปที่วิชาทอพอโลยีเชิงเซตจุด (point-set topology) ตั้งแต่แรกเริ่ม เขาได้รับปริญญาโทในปี 1934 และปริญญาเอกในปี 1936 โดยมีคารอล บอร์ซุก (Karol Borsuk) เป็นอาจารย์ที่ปรึกษา วิทยานิพนธ์ของเขาว่าด้วยทอพอโลยีของระนาบ ได้รับการตีพิมพ์ในวารสาร Fundamenta Mathematicae ในปีเดียวกัน

หนีภัยสงครามสู่สหรัฐอเมริกา

ในปี 1939 ตามคำแนะนำอย่างหนักแน่นของบิดา ไอเลนเบิร์กตัดสินใจหนีออกจากยุโรปก่อนสงครามโลกครั้งที่สองจะลุกลาม เมื่อเดินทางไปถึงพรินซ์ตัน ออสวัลด์ เวบเลน (Oswald Veblen) และโซโลมอน เลฟเชตซ์ (Solomon Lefschetz) นักคณิตศาสตร์ชื่อดังผู้คอยช่วยเหลือผู้ลี้ภัยหลายคน ได้ช่วยหาตำแหน่งงานให้เขาที่มหาวิทยาลัยมิชิแกน ซึ่งในขณะนั้นกำลังเป็นศูนย์กลางทอพอโลยีที่สำคัญภายใต้การนำของเรย์ ไวล์เดอร์ (Ray Wilder) และมีนักคณิตศาสตร์ชื่อดังอย่างนอร์แมน สตีนรอด (Norman Steenrod) และเราล์ บอตต์ (Raoul Bott) ทำงานอยู่ที่นั่นด้วย

จุดเปลี่ยนสำคัญเกิดขึ้นเมื่อซอนเดอร์ส แม็คเลน ได้รับเชิญไปบรรยายเรื่องส่วนขยายของกลุ่ม (group extensions) ที่มิชิแกน ซึ่งกลายเป็นจุดเริ่มต้นของความร่วมมืออันยาวนานและเกิดผลิตผลมหาศาลระหว่างไอเลนเบิร์กกับแม็คเลน

กำเนิดทฤษฎีหมวดหมู่

จากความร่วมมือกับแม็คเลนในการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มโฮโมโลยีและกลุ่มโฮโมโทปี ทั้งคู่ได้พัฒนาแนวคิดที่นำไปสู่การกำเนิดของ “ทฤษฎีหมวดหมู่” (category theory) โดยในตอนแรกพวกเขาแนะนำศัพท์คำว่า “ฟังก์เตอร์” (functor) และ “ไอโซมอร์ฟิซึมธรรมชาติ” (natural isomorphism) ก่อนที่ในปี 1945 จะเพิ่มคำว่า “หมวดหมู่” (category) และ “การแปลงธรรมชาติ” (natural transformation) เข้ามาอย่างสมบูรณ์

ทฤษฎีหมวดหมู่กลายเป็นกรอบแนวคิดเชิงนามธรรมที่ทรงพลัง สามารถอธิบายโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายในภาษาเดียวกันได้ และในเวลาต่อมาได้แผ่ขยายอิทธิพลไปยังแทบทุกแขนงของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ตั้งแต่พีชคณิต ทอพอโลยี เรขาคณิต ไปจนถึงวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี ไอเลนเบิร์กและแม็คเลนยังเป็นผู้ริเริ่ม “สำนักทฤษฎีหมวดหมู่แห่งอเมริกาเหนือ” (North American School of Category Theory) และบ่มเพาะสาขาวิชานี้อย่างต่อเนื่องตลอดเส้นทางวิชาการของทั้งคู่

สัจพจน์ไอเลนเบิร์ก-สตีนรอด และรากฐานทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

นอกจากงานร่วมกับแม็คเลนแล้ว ไอเลนเบิร์กยังร่วมมือกับนอร์แมน สตีนรอด วางรากฐานเชิงสัจพจน์ให้กับทฤษฎีโฮโมโลยีในปี 1945 ก่อนจะตีพิมพ์บทพิสูจน์อย่างละเอียดในหนังสือ Foundations of Algebraic Topology เมื่อปี 1952 ซึ่งกลายเป็นตำราสำคัญที่เปลี่ยนวิธีการสอนวิชาทอพอโลยีไปอย่างสิ้นเชิง เพราะในยุคนั้นมีทฤษฎีโฮโมโลยีหลากหลายรูปแบบที่สับสน ทั้งแบบซิงกูลาร์และแบบเซลลูลาร์ แต่หนังสือเล่มนี้ใช้ภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่อธิบายให้เห็นว่าทฤษฎีเหล่านั้นล้วนเป็นฟังก์เตอร์โฮโมโลยีที่สอดคล้องกับสัจพจน์ชุดเดียวกัน ปัจจุบันสัจพจน์ชุดนี้เป็นที่รู้จักในชื่อ “สัจพจน์ไอเลนเบิร์ก-สตีนรอด” (Eilenberg–Steenrod axioms)

เขายังร่วมงานกับอ็องรี การ์ตอง (Henri Cartan) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เขียนหนังสือ Homological Algebra (1956) ซึ่งกลายเป็นตำราคลาสสิกที่เปิดสาขาพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีขึ้นมาใหม่โดยสมบูรณ์

อาชีพการงานที่มหาวิทยาลัยโคลัมเบีย

ในปี 1947 ไอเลนเบิร์กย้ายไปประจำที่ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยโคลัมเบีย ซึ่งเขาทำงานอยู่ที่นั่นจนเกษียณอายุ และดำรงตำแหน่งหัวหน้าภาควิชาถึงสองสมัย ในปี 1982 เขาได้รับแต่งตั้งเป็น “University Professor” ซึ่งเป็นเกียรติยศทางวิชาการสูงสุดที่มหาวิทยาลัยมอบให้ได้ ตลอดชีวิตการทำงานเขายังเป็นสมาชิกกลุ่มบูร์บากี (Bourbaki) กลุ่มนักคณิตศาสตร์ฝรั่งเศสที่มีชื่อเสียงด้านการเขียนตำราคณิตศาสตร์เชิงโครงสร้างนิยมอยู่นานถึง 15 ปี

ในช่วงบั้นปลายชีวิตการทำงาน ไอเลนเบิร์กหันไปสนใจทฤษฎีหมวดหมู่บริสุทธิ์อย่างจริงจัง และยังนำแนวคิดเหล่านี้ไปประยุกต์ใช้กับทฤษฎีออโตมาตา (automata theory) โดยเขียนตำราหลายเล่มในชื่อ Automata, Languages, and Machines อีกทั้งยังคิดค้นแบบจำลองการคำนวณที่เรียกว่า “X-machine” และขั้นตอนวิธีแยกตัวประกอบเฉพาะ (prime decomposition algorithm) สำหรับเครื่องจักรสถานะจำกัด ซึ่งอยู่ในแนวทางเดียวกับทฤษฎีโครห์น-โรดส์ (Krohn–Rhodes theory)

Honors and Personal Life

ผลงานของไอเลนเบิร์กได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง เขาได้รับรางวัลวูล์ฟสาขาคณิตศาสตร์ (Wolf Prize) ในปี 1986 ร่วมกับอัตเล เซลเบิร์ก (Atle Selberg) จากผลงานพื้นฐานด้านทอพอโลยีเชิงพีชคณิตและพีชคณิตเชิงโฮโมโลยี และได้รับรางวัลเลอรอย พี. สตีล (Leroy P. Steele Prize) ในปี 1987 นอกจากนี้เขายังได้รับเลือกเป็นสมาชิกของ National Academy of Sciences แห่งสหรัฐอเมริกา และได้รับปริญญากิตติมศักดิ์จากหลายสถาบัน รวมถึงมหาวิทยาลัยเพนซิลเวเนีย ซึ่งในโอกาสรับปริญญากิตติมศักดิ์ปี 1985 เขาได้รับการยกย่องว่าเป็น “นักคณิตศาสตร์ผู้มีสไตล์ยอดเยี่ยมที่สุดของเรา”

นอกเหนือจากงานคณิตศาสตร์ ไอเลนเบิร์กยังมีความหลงใหลในศิลปะเอเชียตะวันออกเฉียงใต้ และสะสมผลงานศิลปะจนกลายเป็นหนึ่งในคอลเลกชันที่สำคัญที่สุดของโลกในหมวดนี้ ซึ่งภายหลังเขาได้บริจาคให้กับพิพิธภัณฑ์ศิลปะเมโทรโพลิทัน (Metropolitan Museum of Art) ในนครนิวยอร์ก

เขาเสียชีวิตเมื่อวันที่ 30 มกราคม ค.ศ. 1998 ที่นครนิวยอร์ก ขณะอายุ 84 ปี

The Legacy He Left Behind

ซามูเอล ไอเลนเบิร์กถือเป็นหนึ่งในสถาปนิกคนสำคัญของคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 20 แนวคิดที่เขาร่วมสร้างขึ้น ไม่ว่าจะเป็นทอพอโลยีเชิงพีชคณิตที่เป็นระบบ พีชคณิตเชิงโฮโมโลยี และทฤษฎีหมวดหมู่ ล้วนมีชีวิตของตัวเองและแผ่ขยายอิทธิพลไปไกลเกินกว่าที่ผู้ริเริ่มจะคาดคิด โดยเฉพาะทฤษฎีหมวดหมู่ที่ปัจจุบันกลายเป็นภาษากลางซึ่งแทรกซึมอยู่ในแทบทุกแขนงของคณิตศาสตร์ร่วมสมัย ตั้งแต่พีชคณิต เรขาคณิต ตรรกศาสตร์ ไปจนถึงวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีและฟิสิกส์คณิตศาสตร์