หลุยส์ อาร์โบกาสต์: ผู้บุกเบิกแคลคูลัสเชิงรูปสัญลักษณ์
Louis Arbogast (1759–1803)
นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้บุกเบิกแคลคูลัสเชิงรูปสัญลักษณ์ (operational calculus) และเป็นผู้แยกสัญลักษณ์ของการดำเนินการ (operation) ออกจากสัญลักษณ์ของปริมาณ (quantity) อย่างเป็นระบบเป็นคนแรก เจ้าของ “กฎของอาร์โบกาสต์” (Arbogast’s rule) ที่ใช้คำนวณอนุพันธ์อันดับสูง
ชีวิตช่วงต้น
หลุยส์ ฟร็องซัวส์ อ็องตวน อาร์โบกาสต์ เกิดเมื่อวันที่ 4 ตุลาคม ค.ศ. 1759 ที่เมืองมุตซิก แคว้นอัลซัส ประเทศฝรั่งเศส ข้อมูลเกี่ยวกับวัยเด็กและการศึกษาขั้นต้นของเขาหลงเหลืออยู่น้อยมาก แต่ข้อมูลเริ่มปรากฏชัดเจนขึ้นเมื่อเขาศึกษาอยู่ที่วิทยาลัยกอลมาร์ ซึ่งเขาได้เข้าร่วมการแข่งขันทางคณิตศาสตร์ที่จัดโดยราชบัณฑิตยสถานแห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก อันเป็นจุดเริ่มต้นที่ทำให้ชื่อของเขาเริ่มเป็นที่รู้จักในวงวิชาการ
ในปี 1789 อาร์โบกาสต์ย้ายจากกอลมาร์ไปยังสตราสบูร์ก ซึ่งเขาได้สอนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนปืนใหญ่ (École d’Artillerie) ในปีเดียวกันนั้นเขายังได้ยื่นรายงานฉบับสำคัญเรื่องแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ต่อ Académie des Sciences ในกรุงปารีส แม้รายงานฉบับนั้นจะไม่เคยได้รับการตีพิมพ์ก็ตาม
เส้นทางวิชาการในช่วงปฏิวัติฝรั่งเศส
อาชีพการงานของอาร์โบกาสต์ที่สตราสบูร์กเจริญก้าวหน้าขึ้นเรื่อย ๆ ในปี 1794 เขาได้รับแต่งตั้งเป็นศาสตราจารย์วิชาแคลคูลัสที่ École Centrale (ซึ่งต่อมาจะกลายเป็น École Polytechnique) แม้ในทางปฏิบัติเขาจะสอนอยู่ที่ École Préparatoire เป็นหลักก็ตาม ผลงานทางวิชาการของเขาทำให้ได้รับเลือกเป็นสมาชิกของ Académie des Sciences ในปี 1792 และสมาชิกแผนกคณิตศาสตร์ของ Institut National ในปี 1796
แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และกฎของอาร์โบกาสต์
จุดมุ่งหมายหลักของ “แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์” (calculus of derivatives) ตามความเข้าใจของอาร์โบกาสต์ คือการสร้างกฎเกณฑ์ที่ง่ายและแม่นยำสำหรับการหาค่าการกระจายอนุกรม (series expansion) ของฟังก์ชัน ผลงานสำคัญที่สุดของเขาในด้านนี้คือสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ “สูตรฟาอาดีบรูโน” (Faà di Bruno’s formula) ซึ่งเป็นสูตรสำหรับคำนวณอนุพันธ์อันดับสูงของฟังก์ชันประกอบ (composite function) โดยอาร์โบกาสต์ได้นำเสนอสูตรนี้ไว้ในตำราแคลคูลัสของเขาตั้งแต่ปี 1800 ซึ่งเร็วกว่าที่ฟรันเชสโก ฟาอาดีบรูโน (Francesco Faà di Bruno) จะตีพิมพ์ผลงานเรื่องเดียวกันถึง 55 ปี จึงถือว่าตำราของอาร์โบกาสต์เป็นเอกสารตีพิมพ์ฉบับแรกที่กล่าวถึงสูตรนี้
“กฎของอาร์โบกาสต์” ที่คนทั่วไปรู้จักในปัจจุบันเป็นกฎเชิงผสมเชิงการจัด (combinatorial rule) สำหรับคำนวณอนุพันธ์อันดับสูงของฟังก์ชันประกอบ ซึ่งให้วิธีคิดอย่างเป็นระบบในการกระจายพจน์ต่าง ๆ โดยไม่ต้องคำนวณซ้ำซ้อนทีละขั้น ถือเป็นเครื่องมือสำคัญที่ช่วยให้การคำนวณอนุกรมเทย์เลอร์และปัญหาที่เกี่ยวข้องทำได้สะดวกขึ้นมาก
บิดาแห่งแคลคูลัสเชิงรูปสัญลักษณ์
ผลงานที่สร้างชื่อเสียงให้อาร์โบกาสต์มากที่สุดคือแนวคิดเรื่อง “แคลคูลัสเชิงรูปสัญลักษณ์” หรือ “แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ” (operational calculus) ซึ่งเป็นแนวคิดที่แทบไม่มีใครคาดคิดมาก่อนในยุคนั้น แต่ภายหลังกลับมีความสำคัญเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ในวงการวิทยาศาสตร์ อาร์โบกาสต์เป็นนักเขียนคนแรกที่แยกสัญลักษณ์ของการดำเนินการออกจากสัญลักษณ์ของปริมาณอย่างเป็นระบบ โดยนำเสนอสัญกรณ์ตัวดำเนินการ DF สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน F และปฏิบัติต่อสัญลักษณ์การดำเนินการเหล่านี้ราวกับเป็นปริมาณทางพีชคณิตที่สามารถบวก คูณ หรือจัดการได้โดยตรง
แนวคิดที่ลากรานจ์และลาปลาซเคยศึกษาไว้อย่างไม่เป็นระบบในทศวรรษ 1770 ถูกอาร์โบกาสต์นำมาจัดรูปเป็นความเท่ากันเชิงตัวดำเนินการ (operator equalities) อย่างสมบูรณ์ในหนังสือ Calcul des dérivations (1800) ของเขา ซึ่งถือเป็นก้าวสำคัญที่ปูทางไปสู่การพัฒนาแคลคูลัสเชิงรูปสัญลักษณ์ในศตวรรษต่อ ๆ มา โดยเฉพาะผลงานของโอลิเวอร์ เฮวีไซด์ (Oliver Heaviside) ในปลายศตวรรษที่ 19 ที่นำแนวคิดทำนองเดียวกันไปประยุกต์ใช้แก้สมการเชิงอนุพันธ์ในวิศวกรรมไฟฟ้า
นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์
นอกจากงานวิจัยของตนเองแล้ว อาร์โบกาสต์ยังสนใจประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์อย่างจริงจัง เขาเป็นผู้จัดหมวดหมู่เอกสารของมาแร็ง แม็รแซน (Marin Mersenne) และรวบรวมสำเนาต้นฉบับบันทึกความจำและจดหมายของนักคณิตศาสตร์คนสำคัญหลายคน เช่น แฟร์มา เดการ์ต โยฮันน์ แบร์นูลลี วาริญง และโลปีตาล ซึ่งเป็นคุณูปการสำคัญต่อการอนุรักษ์ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ฝรั่งเศส
บั้นปลายชีวิตและผู้สืบทอดงาน
อาร์โบกาสต์มีมิตรภาพและความร่วมมือทางวิชาการอันใกล้ชิดกับฟร็องซัวส์ ฟร็องแซส์ (François Français) ซึ่งทั้งคู่ทำงานร่วมกันด้านแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และแคลคูลัสเชิงรูปสัญลักษณ์ เมื่ออาร์โบกาสต์เสียชีวิตลงเมื่อวันที่ 8 เมษายน ค.ศ. 1803 ที่เมืองสตราสบูร์ก ขณะอายุ 43 ปี ฟร็องแซส์ได้รับมรดกต้นฉบับเอกสารและผลงานทางคณิตศาสตร์ของเขาทั้งหมด และสานต่องานด้านแคลคูลัสเชิงรูปสัญลักษณ์ โดยนำเสนอบันทึกความจำที่ประยุกต์ใช้วิธีการเหล่านี้ศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุในตัวกลางที่มีแรงต้านต่อ Académie des Sciences ในปี 1804
The Legacy He Left Behind
แม้ชื่อของหลุยส์ อาร์โบกาสต์อาจไม่เป็นที่รู้จักในวงกว้างเท่านักคณิตศาสตร์ร่วมยุคอย่างลากรานจ์หรือลาปลาซ แต่แนวคิดเรื่องการแยกสัญลักษณ์การดำเนินการออกจากปริมาณที่เขาริเริ่มไว้ กลับกลายเป็นรากฐานสำคัญของแคลคูลัสเชิงรูปสัญลักษณ์สมัยใหม่ ซึ่งมีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ทั้งในทางคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และวิศวกรรมศาสตร์มาจนถึงปัจจุบัน
