จานฟรานเชสโก มัลฟัตติ: ปัญหาของมัลฟัตติที่ใช้เวลาสองศตวรรษกว่าจะไขได้ว่าผิด

Gianfrancesco Malfatti (1731–1807)

นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีเจ้าของ “ปัญหาของมัลฟัตติ” (Malfatti’s problem) ที่ถามว่าจะวางวงกลมสามวงในรูปสามเหลี่ยมอย่างไรให้พื้นที่รวมมากที่สุด เขาเสนอคำตอบไว้ในปี 1803 แต่ภายหลังพบว่าคำตอบนั้นไม่ใช่คำตอบที่ดีที่สุดเสมอไป และต้องใช้เวลาเกือบสองศตวรรษกว่าที่วงการคณิตศาสตร์จะไขปัญหานี้ได้อย่างสมบูรณ์

ชีวิตช่วงต้นในแคว้นเตรนโต

จาน ฟรานเชสโก มัลฟัตติ เกิดเมื่อวันที่ 26 กันยายน ค.ศ. 1731 ที่เมืองอาลา แคว้นเตรนโต ซึ่งปัจจุบันอยู่ในประเทศอิตาลี เขาเริ่มการศึกษาที่วิทยาลัยเยซูอิตแห่งเวโรนา ก่อนจะศึกษาต่อที่วิทยาลัยซานฟรานเชสโกซาเวริโอในเมืองโบโลญญา ซึ่งเขาได้เรียนกับอาจารย์ที่มีชื่อเสียงหลายคน ได้แก่ เลารา บัสซี (Laura Bassi) หนึ่งในผู้หญิงคนแรก ๆ ที่ได้รับตำแหน่งศาสตราจารย์มหาวิทยาลัยในยุโรป วินเชนโซ ริกกาตี (Vincenzo Riccati) ฟรานเชสโก มาเรีย ซานอตติ (Francesco Maria Zanotti) และกาเบรียล มันเฟรดี (Gabriele Manfredi)

เส้นทางสู่มหาวิทยาลัยเฟอร์รารา

ในปี 1754 มัลฟัตติได้รับตำแหน่งผู้ดูแลห้องสมุดของมาร์ควิสคริสเตียโน เบวิลักควา ที่เมืองเฟอร์รารา ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่เขาทำงานวิจัยด้านสมการพีชคณิตอย่างจริงจัง บันทึกความจำของเขาในปี 1770 นำเสนอตัวแก้ปัญหาระดับหกเชิงรีโซลเวนต์ (sixth-degree resolvent) สำหรับสมการกำลังห้า (quintic equation) ซึ่งปัจจุบันเป็นที่รู้จักกันในชื่อ “เรโซลเวนต์ของมัลฟัตติ” (resolvent of Malfatti) ผลงานนี้ทำให้เขาได้รับแต่งตั้งเป็นประธานภาควิชาคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเฟอร์รารา ในปี 1771

มัลฟัตติยังเป็นหนึ่งในผู้ร่วมก่อตั้ง Società Italiana delle Scienze ในปี 1782 ซึ่งต่อมาพัฒนาเป็นราชบัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์แห่งชาติของอิตาลี (National Academy of Sciences of Italy) นอกจากนี้เขายังมีบทบาทในการปฏิรูปการศึกษาของสาธารณรัฐซิสปาดาเนในช่วงปฏิวัติ และมีข้อโต้แย้งทางวิชาการกับเปาโล รุฟฟีนี (Paolo Ruffini) เกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการแก้สมการพีชคณิตดีกรีสูง ซึ่งเป็นประเด็นสำคัญที่นำไปสู่การพัฒนาทฤษฎีกาลัวส์ในเวลาต่อมา เขาถูกปลดจากตำแหน่งในปี 1799 ในช่วงที่การเมืองผันผวน ก่อนจะได้รับแต่งตั้งกลับคืนในปี 1801 และเกษียณอายุไม่นานหลังจากนั้น รวมเวลาทำงานที่เฟอร์รารากว่าสามสิบปี

ปัญหาของมัลฟัตติ

ในปี 1802 มัลฟัตติพิจารณาปัญหาที่ว่า จะวางวงกลมสามวงที่สัมผัสกันเองทุกวงลงในรูปสามเหลี่ยมอย่างไร ให้แต่ละวงกลมสัมผัสกับด้านสองด้านของสามเหลี่ยมด้วย เขาตีพิมพ์คำตอบของปัญหานี้ในปี 1803 ในบทความที่เกี่ยวกับปัญหาการตัดรูปทรงเรขาคณิต (stereotomic problem) โดยที่จริงมัลฟัตติเริ่มต้นจากปัญหาที่ต่างออกไป คือการหาปริมาตรสูงสุดของทรงกระบอกสามแท่งที่ตัดออกจากแท่งปริซึมสามเหลี่ยม แต่เขาลดรูปปัญหานี้ให้เทียบเท่ากับปัญหาวงกลมในสามเหลี่ยม และถือว่าทั้งสองปัญหาเป็นปัญหาเดียวกัน

วงกลมสามวงที่มัลฟัตติคำนวณได้นี้ ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ “วงกลมของมัลฟัตติ” (Malfatti circles) ซึ่งสามารถหาได้ด้วยวิธีการทางเรขาคณิตที่ค่อนข้างซับซ้อน และกลายเป็นปัญหาคลาสสิกที่มีชื่อเสียงในวงการเรขาคณิตมานานกว่าศตวรรษ

เมื่อคำตอบของมัลฟัตติไม่ใช่คำตอบที่ดีที่สุด

แม้วงกลมของมัลฟัตติจะเป็นคำตอบที่สวยงามในเชิงเรขาคณิต แต่กลับไม่ใช่คำตอบที่แก้ปัญหาดั้งเดิมของมัลฟัตติได้อย่างถูกต้อง นั่นคือการเพิ่มพื้นที่รวมของวงกลมทั้งสามให้มากที่สุด ในปี 1929 นักคณิตศาสตร์สองคนคือล็อบ (Lob) และริชมอนด์ (Richmond) แสดงให้เห็นว่า สำหรับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า การวางวงกลมแนบใน (incircle) หนึ่งวง ร่วมกับวงกลมเล็กอีกสองวงที่มุม จะให้พื้นที่รวมมากกว่าการจัดวางแบบมัลฟัตติเสียอีก

การค้นพบนี้จุดประกายให้เกิดการศึกษาต่อเนื่องอีกหลายทศวรรษ จนกระทั่งในปี 1967 ไมเคิล โกลด์เบิร์ก (Michael Goldberg) พิสูจน์ได้อย่างสมบูรณ์ว่า วงกลมของมัลฟัตติไม่เคยเป็นคำตอบที่ดีที่สุดของปัญหาดั้งเดิมเลย ไม่ว่าจะเป็นรูปสามเหลี่ยมชนิดใดก็ตาม กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ คำตอบที่มัลฟัตติเสนอไว้ ซึ่งเป็นที่ยอมรับกันมานานกว่า 150 ปี กลับไม่ใช่คำตอบที่ถูกต้องสำหรับปัญหาที่เขาตั้งขึ้นมาเองแต่อย่างใด

สิ่งที่น่าสนใจคือ แม้คำตอบของมัลฟัตติจะผิดในแง่ของการเพิ่มพื้นที่สูงสุด แต่ปัญหาการหาวงกลมสามวงที่สัมผัสกันเองและสัมผัสกับด้านสามเหลี่ยม (โดยไม่คำนึงถึงพื้นที่สูงสุด) ก็ยังคงเป็นปัญหาเรขาคณิตที่น่าสนใจในตัวเอง และได้รับการแก้ไขด้วยวิธีการอื่น ๆ ในเวลาต่อมาโดยยาคอบ สไตเนอร์ (Jacob Steiner) และอัลเฟรด เคลบ์ช (Alfred Clebsch)

The twilight of one's life

ในช่วงปลายชีวิต มัลฟัตติประสบปัญหาสุขภาพ ทั้งอาการทางระบบหายใจและความเครียดทางสายตา จนเกือบตาบอดสนิท แต่หลังจากเข้ารับการผ่าตัดต้อกระจก สายตาของเขาก็ฟื้นตัวพอให้สามารถทำงานวิจัยต่อไปได้จนแทบถึงวาระสุดท้ายของชีวิต เขาเสียชีวิตเมื่อวันที่ 9 ตุลาคม ค.ศ. 1807 ที่เมืองเฟอร์รารา และถูกฝังไว้ที่ชาเปลนักบุญเมาเรลิโอ ในมหาวิหารเฟอร์รารา

The Legacy He Left Behind

ปัญหาของมัลฟัตติถือเป็นตัวอย่างคลาสสิกที่แสดงให้เห็นว่า แม้แต่นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงก็อาจเข้าใจผิดเกี่ยวกับคำตอบของปัญหาที่ตนเองตั้งขึ้นได้ และบางครั้งความผิดพลาดเช่นนี้ก็อาจคงอยู่โดยไม่มีใครตรวจพบเป็นเวลานานหลายชั่วอายุคน เรื่องราวของวงกลมมัลฟัตติยังคงเป็นกรณีศึกษาที่น่าสนใจในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ เกี่ยวกับความแตกต่างระหว่าง “คำตอบที่สวยงามทางเรขาคณิต” กับ “คำตอบที่ถูกต้องตามที่ปัญหาตั้งไว้จริง ๆ” ซึ่งเป็นบทเรียนสำคัญที่ยังมีความหมายต่อวงการคณิตศาสตร์มาจนถึงปัจจุบัน