นอร์แมน สตีนร็อด: ผู้วางรากฐานของพีชคณิตโทพอโลยีสมัยใหม่

นอร์แมน เอิร์ล สตีนร็อด (Norman Earl Steenrod) เกิดเมื่อวันที่ 22 เมษายน ค.ศ. 1910 ที่เมืองเดย์ตัน (Dayton) รัฐโอไฮโอ สหรัฐอเมริกา บิดาคือเอิร์ล ลินด์ซีย์ สตีนร็อด ครูสอนการเขียนแบบเครื่องกลที่มีดาราศาสตร์เป็นงานอดิเรก ส่วนมารดาคือซาราห์ รัทเลดจ์ ซึ่งรักดนตรี ทั้งสองเป็นครูโดยอาชีพ แต่ไม่ได้สนใจคณิตศาสตร์ สตีนร็อดเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน เจ้าของ สตีนร็อดสแควร์ (Steenrod squares) และผู้ร่วมวาง สัจพจน์ไอเลนเบิร์ก–สตีนร็อด (Eilenberg–Steenrod axioms) ของทฤษฎีโฮโมโลยี

จากช่างออกแบบเครื่องมือสู่นักโทพอโลยี

สตีนร็อดเรียนจบชั้นมัธยมรวมสิบสองปีใน 9 ปี และจบตอนอายุเพียง 15 ปี ก่อนเข้ามหาวิทยาลัย เขาทำงานเป็นช่างออกแบบเครื่องมือ (tool designer) ถึงสองปี ซึ่งเป็นอาชีพที่พี่ชายสอนให้ และช่วยให้เขามีเงินจ่ายค่าเล่าเรียน เขาเข้าเรียนที่มหาวิทยาลัยไมแอมี (Miami University) ที่ออกซฟอร์ด รัฐโอไฮโอ ในปี 1927 และย้ายไปมหาวิทยาลัยมิชิแกนที่แอนน์อาร์เบอร์ ที่นั่นเขาเรียนฟิสิกส์ ปรัชญา และเศรษฐศาสตร์ มีวิชาคณิตศาสตร์เพียงวิชาเดียว คือวิชาโทพอโลยีของเรย์มอนด์ ไวล์เดอร์ (Raymond Wilder) แต่เป็นวิชาที่กำหนดทิศทางการวิจัยของเขาไปตลอดชีวิต

สตีนร็อดจบในปี 1932 แต่ไม่ได้ทุนวิจัย เขากลับบ้านที่เดย์ตันและทำโจทย์โทพอโลยีที่ไวล์เดอร์ให้ด้วยตนเองจนเขียนบทความชิ้นแรกได้ภายในหนึ่งปี ผลงานชิ้นนั้นทำให้เขาได้รับข้อเสนอทุนจากฮาร์วาร์ด พรินซ์ตัน และดุ๊ก ก่อนเริ่มทุนที่ฮาร์วาร์ด เขาไปทำงานเป็นนักออกแบบแม่พิมพ์ที่โรงงานเชฟโรเลตในเมืองฟลินต์อีกช่วงหนึ่ง และในที่สุดก็ถูกไวล์เดอร์กับโซโลมอน เลฟเชตซ์ (Solomon Lefschetz) โน้มน้าวให้ไปพรินซ์ตัน ซึ่งเขาได้ปริญญาเอกภายในสองปีภายใต้การดูแลของเลฟเชตซ์

เส้นทางอาชีพ

สตีนร็อดแต่งงานกับแคโรลิน วิทเทอร์ (Carolyn Witter) ในปี 1938 และมีบุตรสองคน เขาย้ายไปสอนที่มหาวิทยาลัยชิคาโกในปี 1939 ก่อนกลับมิชิแกนในปี 1942 และในปี 1947 เขาย้ายกลับพรินซ์ตัน ซึ่งเป็นที่ทำงานของเขาไปตลอดชีวิต นอกจากคณิตศาสตร์ เขารักดนตรี เทนนิส กอล์ฟ หมากรุก และไพ่บริดจ์

สตีนร็อดสแควร์และพีชคณิตสตีนร็อด

งานวิจัยของสตีนร็อดเริ่มจากโทพอโลยีแบบเซตจุด (point-set topology) แล้วหันไปสู่พีชคณิตโทพอโลยี งานที่สร้างชื่อให้เขามากที่สุดคือการจำแนกการส่งฟังก์ชันจากสารเชิงซ้อนไปสู่ทรงกลมตามคลาสโฮโมโทปี ในระหว่างงานนี้ เขานำเสนอ สตีนร็อดสแควร์ (Steenrod squares) ซึ่งเป็น การดำเนินการโคโฮโมโลยี (cohomology operations) ชนิดหนึ่ง กล่าวคือ ฟังก์ชันที่รับคลาสโคโฮโมโลยีหนึ่งแล้วส่งออกคลาสในมิติที่สูงขึ้น โดยสอดคล้องกับการส่งฟังก์ชันระหว่างปริภูมิ การดำเนินการเหล่านี้ให้ข้อมูลเพิ่มเติมนอกเหนือจากโครงสร้างผลคูณคัพ (cup product) ธรรมดา และรวมกันเป็นโครงสร้างที่เรียกว่า พีชคณิตสตีนร็อด (Steenrod algebra) ซึ่งปัจจุบันเป็นหัวใจของพีชคณิตโทพอโลยี การบรรยายของเขาที่พรินซ์ตันเรื่องนี้ถูกเรียบเรียงโดยเดวิด เอปสไตน์ (David Epstein) และตีพิมพ์เป็นหนังสือ Cohomology Operations ในปี 1962

สัจพจน์ไอเลนเบิร์ก–สตีนร็อด

ผลงานที่ส่งอิทธิพลกว้างที่สุดอาจเป็นความร่วมมือกับ ซามูเอล ไอเลนเบิร์ก (Samuel Eilenberg) ก่อนทศวรรษ 1940 ทฤษฎีโฮโมโลยีมีอยู่หลายรูปแบบ ทั้งซิมพลิเชียล (simplicial) เอกพจน์ (singular) และเชค (Čech) แต่ยังไม่มีคำจำกัดความกลางที่บอกว่าอะไรคือ “ทฤษฎีโฮโมโลยี” ในปี 1945 ทั้งสองประกาศระบบสัจพจน์ที่สรุปสมบัติร่วมของทฤษฎีเหล่านั้น และต่อมาตีพิมพ์เป็นหนังสือ Foundations of Algebraic Topology (1952) ซึ่งเสนอสัจพจน์เจ็ดข้อ รวมถึงสัจพจน์เรื่องมิติ และพิสูจน์ว่าทฤษฎีที่ตรงตามสัจพจน์ย่อมให้ผลเหมือนกันบนปริภูมิที่เหมาะสม แนวทางนี้ทำให้ผลลัพธ์เป็นนามธรรมและพิสูจน์ได้ครั้งเดียวสำหรับทุกทฤษฎี และยังเปิดทางให้ทฤษฎีโฮโมโลยีวิสามัญ (extraordinary homology theories) ที่ละเว้นสัจพจน์เรื่องมิติ ซึ่งเป็นรากฐานของ K-ทฤษฎีและทฤษฎีโคบอร์ดิซึมในภายหลัง ผู้เขียนเคยประกาศว่าจะเขียนเล่มสอง แต่ไม่เคยเกิดขึ้น

มัดเส้นใย และการบรรยายของ AMS

อีกหัวข้อสำคัญคือ มัดเส้นใย (fibre bundles) หนังสือ The Topology of Fibre Bundles (1951) ของเขาเป็นตำราเชิงระบบเล่มแรกในเรื่องนี้ ซึ่งเฉิน ซิ่นเซิน (S. S. Chern) วิจารณ์ว่าครอบคลุมพัฒนาการของเรื่องตั้งแต่ปี 1935 และไม่ต้องการพื้นฐานพีชคณิตโทพอโลยีมากนัก ในปี 1957 เขาได้รับเชิญให้บรรยายชุด Colloquium Lectures ของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน (AMS) หัวข้อปัญหาการขยายฟังก์ชันต่อเนื่อง แม้ฉบับพิมพ์จะออกมาหลังเขาเสียชีวิตในปี 1972 บันทึกการบรรยายก็แพร่หลายในหมู่นักโทพอโลยีมานานแล้ว

บั้นปลายและมรดก

สตีนร็อดได้รับเลือกเป็นสมาชิกสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งชาติสหรัฐอเมริกา (National Academy of Sciences) เขาเสียชีวิตเมื่อวันที่ 14 ตุลาคม ค.ศ. 1971 ที่เมืองพรินซ์ตัน รัฐนิวเจอร์ซีย์ ด้วยวัย 61 ปี ไอ. เอ็ม. เจมส์ (I. M. James) เขียนว่าพีชคณิตโทพอโลยีเปลี่ยนจากสาขาเล็ก ๆ ที่มีบทบาทน้อยในช่วงหลังสงครามโลกครั้งที่สอง ไปสู่เครื่องมือที่ทำให้ปัญหาคณิตศาสตร์จำนวนมาก “ถูกแก้” โดยการแปลงเป็นปัญหาของโฮโมโลยี และความสำเร็จนี้ส่วนใหญ่มาจากอิทธิพลของสตีนร็อด

หมายเหตุ: ปีที่สตีนร็อดสแควร์ปรากฏครั้งแรกในงานตีพิมพ์ ไม่ได้ระบุไว้ในบทความนี้ เพราะแหล่งข้อมูลให้ปีไม่ตรงกัน