วิลเฮล์ม คลิงเงนแบร์ก: ผู้ใช้เส้นจีโอเดสิกเผยรูปทรงของปริภูมิโค้ง

วิลเฮล์ม พอล อัลเบิร์ต คลิงเงนแบร์ก (Wilhelm Paul Albert Klingenberg) เกิดเมื่อวันที่ 28 มกราคม ค.ศ. 1924 ที่เมืองรอสต็อค (Rostock) แคว้นเมคเลนบวร์ก ประเทศเยอรมนี เป็นบุตรคนโตของพอล คลิงเงนแบร์ก ศาสนาจารย์โปรเตสแตนต์ กับเฮนนี ดุงเคอร์ ในจำนวนพี่น้องหกคน ครอบครัวย้ายมากรุงเบอร์ลินในปี 1934 ส่วนหนึ่งเพราะบิดาเข้าร่วมกลุ่มคริสตจักรสารภาพ (Bekennende Kirche) ที่ต่อต้านความพยายามของพรรคนาซีในการครอบงำคริสตจักร คลิงเงนแบร์กเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ผู้เชี่ยวชาญเรขาคณิตรีมันน์ (Riemannian geometry) เจ้าของผลงานเรื่องเส้นจีโอเดสิกปิด (closed geodesics) และ ทฤษฎีบทเรื่องทรงกลม (sphere theorem)

เรียนคณิตศาสตร์ด้วยตนเองท่ามกลางสงคราม

ที่เบอร์ลิน เขาเรียนภาษาละติน กรีก และฝรั่งเศส แต่ต้องเรียนคณิตศาสตร์เอง เขาจบมัธยมในปี 1941 ซึ่งตรงกับช่วงที่เขาสมัครเข้ามหาวิทยาลัยเบอร์ลินไม่ได้ จึงต้องเข้ารับราชการทหาร เขาเล่าว่าเมื่อสงครามจบและเป็นอิสระ เขาต้องหาที่เรียนต่อ เบอร์ลินที่ถูกทำลายและอยู่ใต้การปกครองของโซเวียตเป็นไปไม่ได้ ส่วนเกิททิงเงนและฮัมบูร์กก็เต็ม เขาจึงเลือกมหาวิทยาลัยคีล (Kiel)

เขาได้ปริญญาเอกที่คีลในปี 1950 ด้วยวิทยานิพนธ์ด้านเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แบบแอฟฟีน (affine differential geometry) และเป็นผู้ช่วยวิจัยจนถึงปี 1952 ช่วงนั้นเขาแก้ปัญหาเรื่องความเท่าเทียมของโครงแบบ (configuration) ในระนาบแอฟฟีนที่รูท เมาฟัง (Ruth Moufang) เคยทำไว้ ปี 1952–53 เขาไปโรม และได้รับอิทธิพลจากนักเรขาคณิตอิตาลีอย่างฟรันเชสโก เซเวรี (Severi) เอนรีโก บอมเปียนี (Bompiani) และเบเนียมิโน เซเกร (Segre) แล้วเสร็จฮาบิลิเทชันที่ฮัมบูร์ก ก่อนได้ตำแหน่งประจำที่เกิททิงเงน ที่นั่นเขาทำงานกับ คูร์ท ไรเดอไมสเตอร์ (Kurt Reidemeister) ซึ่งเขาเล่าถึงด้วยความประทับใจว่าเป็นผู้มีสติปัญญาเฉียบแหลมและความสนใจกว้างขวาง ภรรยาของไรเดอไมสเตอร์ก็เป็นช่างภาพชื่อดัง

เปลี่ยนมาสู่เรขาคณิตรีมันน์

ปี 1954–55 คลิงเงนแบร์กไปบลูมิงตัน สหรัฐอเมริกา และพบกับมาร์สตัน มอร์ส (Marston Morse) ที่พรินซ์ตัน ความสนใจของเขาเปลี่ยนจากเรขาคณิตแอฟฟีนและโปรเจกทีฟไปสู่เรขาคณิตรีมันน์ เขาอยู่ที่สถาบันการศึกษาขั้นสูงพรินซ์ตันในปี 1956–58 และไปเบิร์กลีย์ในปี 1962 ตามคำเชิญของเฉิน ซิ่นเซิน (S. S. Chern) ซึ่งเป็นผู้ที่ช่วยส่งเสริมอาชีพของเขามาตั้งแต่ได้พบกันที่ฮัมบูร์กในปี 1953 ขณะอยู่เบิร์กลีย์ เขาได้รับข้อเสนอตำแหน่งที่เวือร์ซบวร์กและไมนซ์ และเลือกไมนซ์ ในปี 1966 เขาได้รับข้อเสนอจากซูริกและบอนน์ และเลือกบอนน์ แม้จะตัดสินใจไม่ง่ายนัก

ทฤษฎีบทเรื่องทรงกลม

ทฤษฎีบทเรื่องทรงกลมเป็นเรื่องที่ว่า ถ้าปริภูมิรีมันน์ (Riemannian manifold) ปิด เชื่อมโยงเชิงเดียว (simply connected) มีค่าความโค้งหน้าตัด (sectional curvature) ถูกบีบให้อยู่ในช่วงแคบพอ ปริภูมินั้นจะมีรูปทรงทางโทพอโลยีเหมือนทรงกลม ปัญหานี้เริ่มจากเฮอร์แมน เราช์ (H. E. Rauch) ในปี 1951 ที่ตั้งคำถามกับช่วงความโค้ง (1, 4] ประมาณปี 1960–1961 มาร์เซล แบร์เกอร์ (Marcel Berger) และคลิงเงนแบร์กตอบคำถามนี้ได้เชิงบวก ทฤษฎีบทจึงมักเรียกว่าทฤษฎีบททรงกลมของเราช์–แบร์เกอร์–คลิงเงนแบร์ก (Rauch–Berger–Klingenberg) ซึ่งกล่าวว่าปริภูมิดังกล่าวมีโฮมีโอมอร์ฟิซึมกับทรงกลม ส่วนการพิสูจน์เวอร์ชันเชิงอนุพันธ์ (differentiable) ที่ต้องเข้าใจโครงสร้างเรียบด้วยนั้น ไซมอน เบรนเดิล (Simon Brendle) และริชาร์ด เชิน (Richard Schoen) เพิ่งทำสำเร็จในช่วงปี 2007–2009 โดยใช้การไหลของริชชี (Ricci flow)

หัวใจของข้อพิสูจน์คือ การประมาณรัศมีการฉีด (injectivity radius estimate) ของคลิงเงนแบร์ก ซึ่งบอกว่ารัศมีที่การส่งเอกซ์โปเนนเชียลยังเป็นการส่งหนึ่งต่อหนึ่ง ถูกคุมขอบล่างได้เมื่อความโค้งถูกบีบพอ และเลมมาของคลิงเงนแบร์กระบุว่าถ้ารัศมีการฉีดไม่ถูกกำหนดโดยจุดสังยุค (conjugate point) ก็จะมีเส้นจีโอเดสิกปิดที่ยาวเป็นสองเท่าของรัศมีนั้น เครื่องมือนี้ยังถูกใช้ในงานอื่นของเรขาคณิตรีมันน์มาจนปัจจุบัน

เส้นจีโอเดสิกปิด

อีกด้านของงานคลิงเงนแบร์กคือการใช้ ทฤษฎีมอร์ส (Morse theory) ศึกษาเส้นจีโอเดสิกปิดบนปริภูมิรีมันน์ ซึ่งเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดเฉพาะที่และวนกลับมาที่จุดเดิม เขาทำงานด้านนี้ตลอดช่วงที่อยู่บอนน์ และเขียนตำรา Lectures on Closed Geodesics (1978) งานในแนวนี้ต่อมาถูกนักคณิตศาสตร์รุ่นหลังอย่างดีทเลฟ โกรมอลล์ (Gromoll) และวูล์ฟกัง ไมเออร์ (Meyer) ขยายไปสู่ผลที่ว่าปริภูมิรีมันน์ปิดโดยทั่วไปมีเส้นจีโอเดสิกปิดจำนวนอนันต์ ขณะที่ปัญหาของเส้นจีโอเดสิกปิดบนทรงกลมกลับไปถึงทฤษฎีบทของลูสเตอร์นิก–ชนีเรลมัน (Lusternik–Schnirelmann) เรื่องเส้นจีโอเดสิกปิดเรียบง่ายสามเส้น

ตำราและชีวิตนอกห้องเรียน

ตำราสำคัญของคลิงเงนแบร์กประกอบด้วย A Course in Differential Geometry (1978) Lectures on Closed Geodesics (1978) และ Riemannian Geometry (1982) ซึ่งเขากล่าวว่าเป็นหนังสือเล่มแรกในหัวข้อนี้นับจากโมโนกราฟของ แอล. พี. ไอเซนฮาร์ต (L. P. Eisenhart) ในปี 1926 เขาเกษียณในปี 1989 และได้รับเลือกเป็นสมาชิกสถาบันวิทยาศาสตร์และวรรณกรรมที่ไมนซ์ รวมทั้งได้ปริญญากิตติมศักดิ์จากมหาวิทยาลัยไลพ์ซิก

นอกวิชาการ เขาแต่งงานกับคริสทีน ค็อบ (Christine Kob) ในปี 1953 มีบุตรสามคน งานอดิเรกของเขาคือเปียโน ขี่ม้า ศิลปะจีน และศิลปะของอัลเบรชท์ ดือเรอร์ (Dürer) ความสนใจในศิลปะจีนพาเขาเดินทางไปจีนและทิเบตหลายครั้ง จนเขียนหนังสือ Tibet – Erfahrungen auf dem Dach der Welt (“ทิเบต ประสบการณ์บนหลังคาโลก”) ซึ่งตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1997

วิลเฮล์ม คลิงเงนแบร์กเสียชีวิตเมื่อวันที่ 14 ตุลาคม ค.ศ. 2010 ที่เมืองเรทเกน (Röttgen) กรุงบอนน์ ด้วยวัย 86 ปี ซึ่งตรงกับวันเดียวกับที่มันเดลบรอตเสียชีวิตในปีเดียวกัน สิ่งที่เขาทิ้งไว้คือหลักฐานว่าเมื่อความโค้งของปริภูมิถูกควบคุมพอ รูปทรงรวมของมันถูกบังคับให้ชัดเจนได้ แม้เราจะไม่เห็นปริภูมินั้นโดยตรงเลยก็ตาม

หมายเหตุ: ปีของผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์บางข้อสรุปจากเอกสารทบทวนวรรณกรรม และอาจต่างจากปีที่ตีพิมพ์ในบางแหล่งเล็กน้อย