ฌัก อาดามาร์: ผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะและนักคณิตศาสตร์ผู้ศึกษาจิตวิทยาแห่งการค้นพบ

นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เป็นที่รู้จักจากผลงานเพียงไม่กี่ชิ้น แต่ ฌัก ซาโลมง อาดามาร์ (Jacques Salomon Hadamard) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส มีผลงานครอบคลุมทฤษฎีจำนวน การวิเคราะห์เชิงซ้อน สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ไปจนถึงจิตวิทยาของการคิดทางคณิตศาสตร์ เขาเสียชีวิตเมื่อวันที่ 17 ตุลาคม ค.ศ. 1963 ที่กรุงปารีส ด้วยวัย 97 ปี ซึ่งในช่วงชีวิตที่ยืนยาวนั้น เขายังคงทำงานทางคณิตศาสตร์ต่อเนื่องจนอายุเกิน 90 ปี

Early life and education

อาดามาร์เกิดเมื่อวันที่ 8 ธันวาคม ค.ศ. 1865 ที่เมืองแวร์ซาย ประเทศฝรั่งเศส เป็นบุตรของอาเมเด อาดามาร์ ครูสอนภาษาละตินที่โรงเรียนลีเซหลุยส์-เลอ-กรองด์ ซึ่งเขาได้เข้าเรียนที่โรงเรียนเดียวกันตั้งแต่ปี ค.ศ. 1876 ครอบครัวมีเชื้อสายยิว เขาสำเร็จการศึกษาจากเอกอลนอร์มาลซูว์ปีรีเยอร์ในปี ค.ศ. 1888 และได้รับปริญญาเอกในปี ค.ศ. 1892

หลังจากสอนหนังสือที่มหาวิทยาลัยบอร์โดซ์ระหว่างปี ค.ศ. 1894-1897 เขาย้ายไปปารีส ดำรงตำแหน่งที่ซอร์บอนน์ และเป็นศาสตราจารย์ที่โกเลฌ เดอ ฟร็องซ์ (Collège de France) ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1897 จนถึงปี ค.ศ. 1935 พร้อมกับสอนที่เอกอลโปลีเทคนิกและเอกอลซองทราลในช่วงเวลาหนึ่ง ในปี ค.ศ. 1912 เขาได้รับเลือกเข้าราชบัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์ ในตำแหน่งที่ว่างลงหลังการเสียชีวิตของอ็องรี ปวงกาเร

ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ ปี ค.ศ. 1896

ผลงานที่มักถูกยกขึ้นมาก่อนเสมอคือการพิสูจน์ ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ (Prime Number Theorem) ในปี ค.ศ. 1896 ทฤษฎีบทนี้ระบุว่าจำนวนเฉพาะที่ไม่เกิน n จะมีค่าประมาณ n หารด้วยลอการิทึมธรรมชาติของ n เมื่อ n มีค่ามาก คำกล่าวนี้เป็นการตอบคำถามที่คนสงสัยมานานว่าจำนวนเฉพาะกระจายตัวอย่างไรเมื่อเข้าไปไกลๆ บนเส้นจำนวน

อาดามาร์ได้ข้อพิสูจน์นี้พร้อมกับชาร์ล-ฌอง เดอ ลา วาลเล ปุสแซ็ง (Charles-Jean de la Vallée Poussin) นักคณิตศาสตร์ชาวเบลเยียม โดยที่ทั้งสองคนทำงานอย่างอิสระต่อกัน และใช้ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ (Riemann zeta function) เป็นเครื่องมือหลัก จุดสำคัญของการพิสูจน์คือการแสดงว่าฟังก์ชันซีตาไม่มีศูนย์บนเส้นตรงที่ส่วนจริงเท่ากับ 1 ในปี ค.ศ. 1944 จี. เอช. ฮาร์ดี (G. H. Hardy) เรียกอาดามาร์ว่า “ตำนานที่ยังมีชีวิต” ของวงการคณิตศาสตร์ ซึ่งส่วนหนึ่งก็เพราะผลงานชิ้นนี้

แนวคิดและทฤษฎีบทที่ใช้ชื่อเขา

งานของอาดามาร์ครอบคลุมกว้างขวาง ในการวิเคราะห์เชิงซ้อน เขามีทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบของอาดามาร์ (Hadamard factorization theorem), ทฤษฎีบทช่องว่าง (gap theorem) และทฤษฎีบทสามวงกลม (three-circle theorem) ซึ่งส่วนใหญ่ตีพิมพ์ก่อนปี ค.ศ. 1900

อสมการของอาดามาร์ (Hadamard’s inequality) ให้ขอบเขตบนของค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ในรูปของความยาวของแถวเมทริกซ์ และมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีสมการปริพันธ์ของเฟรดโฮล์ม (Fredholm)

เมทริกซ์อาดามาร์ (Hadamard matrix) เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเป็น +1 หรือ -1 และมีแถวตั้งฉากกันทั้งหมด แนวคิดนี้ถูกนำไปใช้ในทฤษฎีรหัสแก้ไขข้อผิดพลาด (error-correcting codes) การออกแบบการทดลอง และการประมวลผลสัญญาณ ส่วนข้อความคาดการณ์ที่ว่าเมทริกซ์ชนิดนี้มีอยู่เมื่อขนาดเป็นพหุคูณของ 4 ทุกกรณีก็ยังเป็นปัญหาเปิดจนถึงปัจจุบัน และชื่อของเขายังปรากฏในวงการคอมพิวเตอร์ควอนตัมผ่านเกตอาดามาร์ (Hadamard gate)

ในด้านสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย อาดามาร์เสนอแนวคิดเรื่อง “ปัญหาที่วางตัวดี” (well-posed problem) ซึ่งหมายถึงปัญหาที่มีคำตอบ คำตอบนั้นเป็นหนึ่งเดียว และเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องตามข้อมูลตั้งต้น เกณฑ์นี้ยังเป็นมาตรฐานในการพิจารณาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ นอกจากนี้ มีรายงานว่าเขาเป็นผู้ตั้งชื่อสาขา “การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน” (functional analysis) และงานของเขาเรื่องเส้นจีออเดสิกบนพื้นผิวที่มีความโค้งเป็นลบก็นับเป็นต้นธารของพลศาสตร์เชิงสัญลักษณ์ (symbolic dynamics) ที่นำไปสู่ทฤษฎีความอลวนในเวลาต่อมา

จิตวิทยาของการประดิษฐ์ในสาขาคณิตศาสตร์

นอกจากงานเชิงเทคนิค อาดามาร์ยังเขียนหนังสือ “The Psychology of Invention in the Mathematical Field” (ค.ศ. 1945) ซึ่งใช้การสำรวจตนเอง (introspection) และคำตอบจากนักคณิตศาสตร์คนอื่น เพื่อพิจารณาว่าความคิดทางคณิตศาสตร์เกิดขึ้นได้อย่างไร

เขาอภิปรายถึงบทบาทของการ “ฟักตัว” (incubation) ของปัญหาในใจ ซึ่งความคิดสำคัญอาจโผล่ขึ้นมาหลังจากหยุดคิดเรื่องนั้นไปชั่วคราว โดยยกตัวอย่างประสบการณ์ที่ปวงกาเรเล่าไว้ และหนังสือยังมีภาคผนวกที่รวมคำตอบของอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ซึ่งบรรยายว่าความคิดของตนเองเกิดจากภาพที่ค่อนข้างชัดเจนมากกว่าจากถ้อยคำ หนังสือเล่มนี้ยังถูกอ้างถึงในงานเกี่ยวกับความคิดสร้างสรรค์และการศึกษาคณิตศาสตร์

ครูและบั้นปลายชีวิต

ลูกศิษย์ของอาดามาร์ประกอบด้วยมอริส เฟรเชต์ (Maurice Fréchet), ปอล เลวี (Paul Lévy), โซเลม มานเดลบรอยต์ (Szolem Mandelbrojt) และอ็องเดร ไวล์ (André Weil) ซึ่งล้วนเป็นนักคณิตศาสตร์ระดับแนวหน้าของฝรั่งเศสและของโลก ส่วนสัมมนาอาดามาร์ (Séminaire Hadamard) ที่เขาจัดที่ปารีสก็เป็นศูนย์กลางของความเคลื่อนไหวทางคณิตศาสตร์ในยุคนั้น

ชีวิตส่วนตัวของเขาเต็มไปด้วยความสูญเสีย บุตรชายสองคนแรกซึ่งเป็นนายทหารเสียชีวิตในสงครามโลกครั้งที่หนึ่ง และบุตรชายคนที่สามเสียชีวิตในสงครามโลกครั้งที่สอง ซึ่งในช่วงนั้นอาดามาร์เองก็ต้องลี้ภัยออกจากปารีสเพราะเชื้อสายยิว หลังสงครามเขากลับมาใช้ชีวิตในฝรั่งเศสและได้รับเหรียญทองของศูนย์วิจัยวิทยาศาสตร์แห่งชาติ (CNRS) ในปี ค.ศ. 1956 สำหรับผลงานตลอดชีวิต

อาดามาร์เสียชีวิตเมื่อวันที่ 17 ตุลาคม ค.ศ. 1963 ที่ปารีส ผลงานของเขาปรากฏอยู่ทั่วไปในตำราคณิตศาสตร์ ตั้งแต่ทฤษฎีจำนวน ไปจนถึงวิศวกรรมและวิทยาการคอมพิวเตอร์ ส่วนหนังสือเรื่องจิตวิทยาของการประดิษฐ์ก็ยังคงถูกอ่านโดยผู้ที่สนใจว่าความคิดทางคณิตศาสตร์เกิดขึ้นอย่างไร