วาตสวาฟ เซียร์ปินสกี: ผู้สร้างสามเหลี่ยมและพรมที่กลายเป็นต้นแบบของแฟร็กทัล

ก่อนที่คำว่า “แฟร็กทัล” จะถูกตั้งขึ้น มีนักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์ท่านหนึ่งสร้างรูปทรงที่ภายหลังกลายเป็นตัวอย่างต้นแบบของวิชานี้ไว้แล้ว ผู้นั้นคือ วาตสวาฟ ฟรันซิเชก เซียร์ปินสกี (Wacław Franciszek Sierpiński) ผู้เสียชีวิตเมื่อวันที่ 21 ตุลาคม ค.ศ. 1969 ที่กรุงวอร์ซอ ประเทศโปแลนด์ ด้วยวัย 87 ปี เขาเป็นผู้นำคนสำคัญของสำนักคณิตศาสตร์โปแลนด์ซึ่งเจริญรุ่งเรืองในช่วงระหว่างสงครามโลกทั้งสองครั้ง

Early life and education

เซียร์ปินสกีเกิดเมื่อวันที่ 14 มีนาคม ค.ศ. 1882 ที่กรุงวอร์ซอ ซึ่งในขณะนั้นอยู่ภายใต้จักรวรรดิรัสเซีย บิดาเป็นแพทย์ เขาเข้าเรียนที่มหาวิทยาลัยวอร์ซอตั้งแต่ปี ค.ศ. 1899 โดยได้รับอิทธิพลแรกจากผลงานของนักคณิตศาสตร์รัสเซียผู้เป็นอาจารย์คือโวรอนอย (Voronoy) และวิทยานิพนธ์ของเขาได้รับเหรียญทองในการประกวด หลังจบการศึกษาในปี ค.ศ. 1904 เขาศึกษาต่อและได้ปริญญาเอกในปี ค.ศ. 1906 ที่มหาวิทยาลัยยาเกียลโลเนียน

ในปี ค.ศ. 1907 เขาเริ่มสนใจทฤษฎีเซต และในปี ค.ศ. 1908 หลังได้ตำแหน่งที่มหาวิทยาลัยลวอฟ (Lwów) เขากลายเป็นบุคคลแรกในโลกที่บรรยายวิชาทฤษฎีเซตเป็นวิชาเฉพาะ

สงครามและการกลับสู่วอร์ซอ

สงครามโลกครั้งที่หนึ่งทำให้ชีวิตของเขาปั่นป่วน เขาถูกกักกันที่เมืองเวียตกา (Viatka) ในรัสเซีย ก่อนที่จะย้ายไปมอสโกและทำงานร่วมกับนิโคไล ลูซิน (Nikolai Luzin) ซึ่งทำให้ทั้งสองร่วมกันศึกษาเซตเชิงวิเคราะห์และเซตโปรเจกทีฟ ผลลัพธ์หนึ่งในช่วงนั้นคือเขาเป็นคนแรกที่ยกตัวอย่างของ “จำนวนปกติสัมบูรณ์” (absolutely normal number) ซึ่งบอเรลเคยพิสูจน์ว่ามีอยู่แต่ยังไม่มีผู้ใดแสดงตัวอย่าง

เมื่อสงครามสิ้นสุด เขากลับมาที่เมืองลวอฟ แล้วย้ายไปเป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยวอร์ซอในปี ค.ศ. 1919 และทำงานที่นั่นจนเกษียณในปี ค.ศ. 1960 ในปี ค.ศ. 1920 เขาร่วมกับซีกมุนต์ ยานิสเชฟสกี (Zygmunt Janiszewski) และสเตฟาน มาซูร์เกวิช (Stefan Mazurkiewicz) ก่อตั้งวารสาร Fundamenta Mathematicae ซึ่งเป็นวารสารที่เชี่ยวชาญด้านทฤษฎีเซตและทอพอโลยี และเป็นเวทีหลักของสำนักคณิตศาสตร์โปแลนด์ เขาร่วมเป็นบรรณาธิการต่อเนื่องหลายปี

สามเหลี่ยมและพรมเซียร์ปินสกี

ผลงานที่ทำให้ชื่อของเขาเป็นที่รู้จักในวงกว้างคือรูปทรงสองแบบที่เขาอธิบายไว้ในช่วงปี ค.ศ. 1915-1916 (แม้ลวดลายคล้ายกันจะปรากฏในงานศิลปะอิตาลีตั้งแต่ศตวรรษที่ 13 ก็ตาม)

สามเหลี่ยมเซียร์ปินสกี (Sierpiński triangle หรือ gasket) สร้างได้โดยเริ่มจากสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่ง แล้วเจาะสามเหลี่ยมเล็กออกจากตรงกลาง เหลือสามเหลี่ยมเล็กสามรูปที่มุม จากนั้นทำซ้ำกับแต่ละรูป ไปเรื่อยๆ ไม่สิ้นสุด ผลลัพธ์คือรูปทรงที่พื้นที่เป็นศูนย์ แต่ความยาวเส้นขอบเป็นอนันต์ และมีมิติแบบเศษส่วนประมาณ 1.585 ตามค่าลอการิทึมของ 3 หารด้วยลอการิทึมของ 2 ที่น่าสนใจคือรูปแบบนี้ปรากฏเมื่อระบายสีเลขคี่และเลขคู่ในสามเหลี่ยมปาสกาล

พรมเซียร์ปินสกี (Sierpiński carpet) ใช้หลักการเดียวกันกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยแบ่งเป็นเก้าส่วนเท่ากันแล้วเจาะส่วนกลางออก ซ้ำไปเรื่อยๆ ได้รูปทรงที่มีมิติแบบเศษส่วนประมาณ 1.893

สำหรับเซียร์ปินสกี รูปทรงเหล่านี้คือตัวอย่างในทอพอโลยีเซต เขาใช้มันแสดงว่ามีปริภูมิที่มีสมบัติเหนือสามัญสำนึก เช่น เส้นโค้งที่เป็นสากลสำหรับเส้นโค้งระนาบ (universal plane curve) ภายหลังเมื่อเบอนัวต์ มานเดลบรอต (Benoît Mandelbrot) ตั้งชื่อ “แฟร็กทัล” ในทศวรรษ 1970 รูปทรงเหล่านี้ก็กลายเป็นตัวอย่างต้นแบบที่ถูกยกขึ้นมาเสมอ และยังเป็นแรงบันดาลใจให้ศิลปะ สถาปัตยกรรม และการออกแบบเสาอากาศ

ทฤษฎีเซต ทอพอโลยี และทฤษฎีจำนวน

งานของเซียร์ปินสกีไม่ได้หยุดอยู่ที่แฟร็กทัล ผลงานวิจัยของเขาในทฤษฎีเซตและทอพอโลยีมีหลายร้อยชิ้น เขาศึกษาสัจพจน์การเลือกและสมมติฐานคอนตินิวอัม ซึ่งต่อมาเขาพิสูจน์ว่าสมมติฐานคอนตินิวอัมวางนัยทั่วไปส่งผลให้สัจพจน์การเลือกเป็นจริงด้วย เขายังพยายามหาลักษณะเฉพาะเชิงทอพอโลยีของคอนตินิวอัม ซึ่งนำไปสู่ตัวอย่างปริภูมิที่มีสมบัติแปลกประหลาดอีกหลายตัว และชื่อของเขาปรากฏใน “เซตเซียร์ปินสกี” (Sierpiński set) และ “ปริภูมิเซียร์ปินสกี” (Sierpiński space)

ในช่วงหลังของชีวิตเขาเพิ่มงานด้านทฤษฎีจำนวนอีกราว 100 ชิ้น หนึ่งในเรื่องที่เป็นที่รู้จักคือ จำนวนเซียร์ปินสกี (Sierpiński numbers) ซึ่งเป็นจำนวนคี่ k ที่ทำให้ k คูณกำลังของ 2 แล้วบวก 1 เป็นจำนวนประกอบเสมอ ตัวเลข 78,557 เป็นหนึ่งในจำนวนเหล่านี้และเชื่อกันว่าเล็กที่สุด แต่การพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนที่เล็กกว่านี้ยังเป็นปัญหาเปิด ซึ่งโครงการคอมพิวเตอร์แบบกระจายยังคงค้นหากันอยู่จนปัจจุบัน

รวมทั้งหมด เซียร์ปินสกีตีพิมพ์งานวิจัยกว่า 700 ชิ้นและหนังสือราว 50 เล่ม ซึ่งเป็นผลผลิตที่น่าทึ่งมาก

ครูผู้สร้างสำนักคณิตศาสตร์

ลูกศิษย์ของเขามีสเตฟาน มาซูร์เกวิช (Stefan Mazurkiewicz) ซึ่งต่อมาเป็นครูของนักคณิตศาสตร์โปแลนด์ชื่อดังอีกหลายคน, เอ็ดเวิร์ด มาร์เชฟสกี (Edward Marczewski), อันด์เชย์ ชินเซล (Andrzej Schinzel) และอันเดรย์ ร็อตเกวิช (Andrzej Rotkiewicz) ซึ่งร็อตเกวิชเขียนถึงอาจารย์ไว้ว่า เซียร์ปินสกีมีสุขภาพแข็งแรงเป็นพิเศษและอารมณ์ร่าเริง

The war period and the later stage of life

ในสงครามโลกครั้งที่สอง เซียร์ปินสกีอยู่ในกรุงวอร์ซอที่ถูกยึดครอง และเช่นเดียวกับครูชาวโปแลนด์หลายคน เขาสอนในมหาวิทยาลัยใต้ดิน ห้องสมุดและต้นฉบับจำนวนมากของเขาสูญหายไปในความเสียหายของวอร์ซอปลายสงคราม หลังสงครามเขากลับมาทำงานต่อ และได้รับเกียรติจากสถาบันวิชาการหลายแห่ง รวมถึงเป็นสมาชิกของสถาบันวิทยาศาสตร์พระสันตะปาปาในปี ค.ศ. 1968 ตามที่บันทึกไว้

เซียร์ปินสกีเสียชีวิตเมื่อวันที่ 21 ตุลาคม ค.ศ. 1969 ที่กรุงวอร์ซอ ทิ้งไว้ซึ่งมรดกที่ปรากฏในตำราทอพอโลยี ทฤษฎีเซต ทฤษฎีจำนวน และในภาพที่คนทั่วไปเห็นได้ง่ายที่สุดคือสามเหลี่ยมที่เต็มไปด้วยรูซ้อนกันไม่สิ้นสุด