อเล็กซานเดอร์ เกลฟอนด์: ผู้พิสูจน์ว่า 2 ยกกำลังรากที่สองของ 2 เป็นจำนวนอดิศัย

ในปี ค.ศ. 1900 เดวิด ฮิลแบร์ตตั้งปัญหา 23 ข้อให้นักคณิตศาสตร์ศตวรรษใหม่ และข้อหนึ่งที่ดูเหมือนง่ายแต่กลับยากอย่างยิ่งคือถามว่า 2 ยกกำลังรากที่สองของ 2 เป็นจำนวนประเภทใด นักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียตผู้ตอบปัญหาข้อนี้ได้สำเร็จในปี ค.ศ. 1934 คือ อเล็กซานเดอร์ โอซิโปวิช เกลฟอนด์ (Aleksandr Osipovich Gelfond) ผู้เกิดเมื่อวันที่ 24 ตุลาคม ค.ศ. 1906 ที่เมืองเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ประเทศรัสเซีย (ไม่ควรสับสนกับอิสราเอล เกลฟานด์ นักคณิตศาสตร์โซเวียตคนละคนที่มีชื่อคล้ายกัน)

Early life and education

เกลฟอนด์เป็นบุตรของโอซิป ไอแซคโควิช เกลฟอนด์ แพทย์ผู้สนใจปรัชญา เขาเข้าคณะฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโกในปี ค.ศ. 1924 และจบปริญญาตรีในปี ค.ศ. 1927 จากนั้นทำวิจัยภายใต้การดูแลของอเล็กซานเดอร์ คินชิน (Aleksandr Khinchin) และเวียเชสลาฟ สเตปานอฟ (Vyacheslav Stepanov) และจบการศึกษาระดับบัณฑิตในปี ค.ศ. 1930 ช่วงเวลาที่เขาไปเยือนเยอรมนี เขาได้รับอิทธิพลสำคัญจากฮิลแบร์ต ซีเกล (Siegel) และลันเดา (Landau) ซึ่งล้วนเป็นนักทฤษฎีจำนวนระดับแนวหน้า

จำนวนอดิศัยและปัญหาข้อที่เจ็ดของฮิลแบร์ต

เพื่อเข้าใจความสำคัญของผลงาน ต้องเริ่มจาก จำนวนอดิศัย (transcendental number) ซึ่งคือจำนวนที่ไม่ใช่คำตอบของสมการพหุนามใดที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ จำนวน π และ e เป็นตัวอย่างที่รู้จักกันดี การพิสูจน์ว่าจำนวนหนึ่งเป็นอดิศัยนั้นยากมาก เพราะต้องแสดงว่าไม่มีสมการพีชคณิตใดที่ใช้ได้เลย

ปัญหาข้อที่เจ็ดของฮิลแบร์ตถามว่า ถ้า a เป็นจำนวนพีชคณิตที่ไม่ใช่ 0 หรือ 1 และ b เป็นจำนวนพีชคณิตอตรรกยะ แล้ว a ยกกำลัง b จะเป็นจำนวนอดิศัยหรือไม่ ฮิลแบร์ตยกตัวอย่างคือ 2 ยกกำลังรากที่สองของ 2 และเชื่อกันว่าเขาคาดว่าปัญหานี้จะใช้เวลาแก้นานกว่าสมมติฐานรีมันน์และทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาเสียอีก

ทฤษฎีบทเกลฟอนด์-ชไนเดอร์ ปี ค.ศ. 1934

เกลฟอนด์เข้าโจมตีปัญหานี้อย่างต่อเนื่อง ในเอกสารปี ค.ศ. 1929 เขาพิสูจน์กรณีพิเศษที่ b เป็นจำนวนในรูปจินตภาพกำลังสอง ซึ่งทำให้ได้ว่าบางจำนวน เช่น e ยกกำลัง π เป็นอดิศัย ต่อมารอดิออน คุซมิน (Rodion Kuzmin) ขยายผลไปสู่กรณีที่ b เป็นรากที่สองของจำนวนตรรกยะ ซึ่งครอบคลุมตัวอย่างของฮิลแบร์ตในปี ค.ศ. 1930

ในปี ค.ศ. 1934 เกลฟอนด์ตีพิมพ์บทความ “On the seventh problem of D. Hilbert” ซึ่งพิสูจน์กรณีทั่วไปทั้งหมด ผลลัพธ์ที่ได้เรียกว่า ทฤษฎีบทเกลฟอนด์-ชไนเดอร์ (Gelfond–Schneider theorem) กล่าวว่า ถ้า α และ β เป็นจำนวนพีชคณิต โดย α ไม่ใช่ 0 หรือ 1 และ β ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ แล้ว α ยกกำลัง β เป็นจำนวนอดิศัย ธีโอดอร์ ชไนเดอร์ (Theodor Schneider) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน พิสูจน์ผลลัพธ์เดียวกันโดยอิสระในช่วงเวลาเดียวกัน ด้วยวิธีที่ต่างออกไป

ผลที่ตามมามีหลายอย่าง เช่น 2 ยกกำลังรากที่สองของ 2 (ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าค่าคงที่เกลฟอนด์-ชไนเดอร์) เป็นอดิศัย และ e ยกกำลัง π (ค่าคงที่เกลฟอนด์) ก็เป็นอดิศัยเช่นกัน วิธีการที่เขาคิดขึ้นถูกนักคณิตศาสตร์อื่นรับไปใช้และพัฒนาแนวคิดใหม่ๆ ในทฤษฎีจำนวนอดิศัยอย่างรวดเร็ว

ข้อความคาดการณ์ของเกลฟอนด์และผู้สืบทอด

ในปี ค.ศ. 1929 เกลฟอนด์เสนอข้อความคาดการณ์ที่ขยายผลลัพธ์นี้ไปสู่ผลรวมเชิงเส้นของลอการิทึมของจำนวนพีชคณิต ซึ่งยังเป็นปัญหาเปิดอยู่ถึง 37 ปี จนกระทั่งอลัน เบเกอร์ (Alan Baker) พิสูจน์ได้ในปี ค.ศ. 1966 ซึ่งงานของเบเกอร์ได้รับเหรียญฟิลด์สในปี ค.ศ. 1970 และเป็นเครื่องมือที่ใช้ในทฤษฎีจำนวนอย่างกว้างขวาง รวมถึงการแก้สมการไดโอแฟนไทน์

ลูกศิษย์ของเกลฟอนด์ได้แก่เกรกอรี เฟรย์มัน (Gregory Freiman) และเนาม เฟลด์แมน (Naum Feldman) ซึ่งหลังพัฒนาวิธีของเกลฟอนด์ให้ประมาณ “ขนาดของความเป็นอดิศัย” ของลอการิทึมของจำนวนพีชคณิตได้

ปัญหาอื่นของเกลฟอนด์

ในช่วงปลายอาชีพ เกลฟอนด์ศึกษาผลรวมของหลักเลขเมื่อเขียนจำนวนเต็มในฐานต่างๆ และตั้งข้อสงสัยหลายข้อเกี่ยวกับการกระจายตัวของผลรวมหลักในลำดับเลขคณิตและในจำนวนเฉพาะ ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าปัญหาของเกลฟอนด์ และคริสตอฟ มอดุยส์ (Christian Mauduit) กับโจเอล ริวา (Joël Rivat) ตอบส่วนที่ว่าด้วยจำนวนเฉพาะได้ในช่วงทศวรรษ 2000

ชีวิตการทำงานและบั้นปลาย

เกลฟอนด์สอนที่มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโกและทำงานที่สถาบันสเตกลอฟ มีผู้บันทึกว่าเขาทุ่มเทเวลาให้การฝึกนักวิชาการหนุ่มสาวอย่างมาก ด้วยความใส่ใจ ความเมตตา และความเคารพต่อความเป็นปัจเจกของลูกศิษย์ แม้ตัวเขาเองจะมีบุคลิกที่โดดเด่นเฉพาะตัว

เขาเสียชีวิตเมื่อวันที่ 7 พฤศจิกายน ค.ศ. 1968 ที่กรุงมอสโก ด้วยวัย 62 ปี แต่ชื่อของเขายังปรากฏในตำราทฤษฎีจำนวนทั่วโลก ในฐานะผู้ที่ตอบปัญหาที่ฮิลแบร์ตเชื่อว่าจะไม่มีใครตอบได้ในเร็ววัน