เอวาริสต์ กาลัวส์: อัจฉริยะผู้เปลี่ยนวิธีคิดเรื่องสมการและเสียชีวิตเมื่ออายุ 20 ปี

ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ ไม่มีเรื่องใดที่ผสมความอัจฉริยะ โศกนาฏกรรม และความเข้าใจผิดแบบวีรบุรุษเข้าด้วยกันได้เท่าเรื่องของ เอวาริสต์ กาลัวส์ (Évariste Galois) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้เกิดเมื่อวันที่ 25 ตุลาคม ค.ศ. 1811 ที่เมืองบูร์-ลา-แรน (Bourg-la-Reine) ใกล้กรุงปารีส และเสียชีวิตเมื่อวันที่ 31 พฤษภาคม ค.ศ. 1832 ด้วยวัยเพียง 20 ปี 7 เดือน ผลงานทั้งหมดของเขารวมกันมีไม่ถึง 100 หน้า แต่สร้างทฤษฎีที่เป็นรากฐานของพีชคณิตสมัยใหม่

วัยเด็กและบรรยากาศการเมือง

บิดาของกาลัวส์ นิโกลา-กาเบรียล กาลัวส์ เป็นผู้นำพรรคเสรีนิยมของเมืองและต่อมาเป็นนายกเทศมนตรี ส่วนมารดา อาเดลาอีด-มารี เดอมองต์ เป็นผู้ที่ได้รับการศึกษาดีทั้งปรัชญา วรรณกรรมคลาสสิก และศาสนา เธอเป็นครูคนเดียวของเขาจนอายุ 12 ปี ในครอบครัวไม่มีใครที่มีความสามารถทางคณิตศาสตร์เด่นชัด

ในปี ค.ศ. 1823 กาลัวส์เข้าเรียนที่โรงเรียนลีเซหลุยส์-เลอ-กรองด์ และเริ่มเรียนคณิตศาสตร์เมื่ออายุราว 16 ปี เขาอ่านหนังสือเรขาคณิตของเลอฌ็องดร์ (Legendre) จบอย่างรวดเร็ว และหันไปอ่านงานระดับสูงของลากรองฌ์และอาเบลโดยตรง ในปี ค.ศ. 1829 บทความแรกของเขาเรื่องเศษส่วนต่อเนื่องได้รับการตีพิมพ์

ความล้มเหลวที่ต่อเนื่อง

ปีเดียวกันนั้น เกิดโศกนาฏกรรมในครอบครัว บิดาจบชีวิตตนเองหลังข้อพิพาทกับบาทหลวงในหมู่บ้าน ซึ่งส่งผลกระทบรุนแรงต่อกาลัวส์ ช่วงนั้นเขาสอบเข้าเอกอลโปลีเทคนิก ซึ่งเป็นสถาบันที่เขาใฝ่ฝัน แต่ไม่ผ่าน เรื่องเล่าที่ว่าเขาขว้างแปรงลบกระดานใส่ผู้คุมสอบนั้นเป็นตำนานที่เล่าต่อๆ กัน และเรื่องที่น่าเชื่อกว่าคือเขากระโดดข้ามขั้นตอนเหตุผลมากเกินไป จนผู้สอบไม่เข้าใจ เขาจึงได้เข้าเอกอลนอร์มาลซูว์ปีรีเยอร์แทน

ต้นฉบับงานวิจัยเรื่องสมการที่เขาส่งให้ราชบัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์ ถูกมอบให้โฌแซฟ ฟูเรียร์ (Fourier) ซึ่งเสียชีวิตไม่นานหลังจากนั้น ต้นฉบับจึงสูญหาย ในเดือนมกราคม ค.ศ. 1831 กาลัวส์พยายามกลับมาส่งผลงานอีกครั้ง คราวนี้ถึงมือซีเมยง-เดอนี ปัวซง (Poisson) ซึ่งเห็นว่าเข้าใจยากและขอให้เขียนอธิบายเพิ่ม

การเมือง คุก และคืนสุดท้าย

กาลัวส์เป็นสาธารณรัฐนิยมที่เข้มข้นในยุคที่ฝรั่งเศสเต็มไปด้วยความวุ่นวายทางการเมืองหลังการปฏิวัติเดือนกรกฎาคม ค.ศ. 1830 เขาถูกไล่ออกจากเอกอลนอร์มาลซูว์ปีรีเยอร์หลังเขียนจดหมายวิจารณ์ผู้อำนวยการ ถูกจับหลังงานเลี้ยงของกลุ่มสาธารณรัฐนิยมในเดือนพฤษภาคม ค.ศ. 1831 ซึ่งเขาถูกกล่าวหาว่าชูแก้วอวยพรโดยถือมีด และพ้นผิดในการพิจารณาคดี แต่ถูกจับอีกครั้งและจำคุกที่เรือนจำแซงต์-เปลาฌี (Sainte-Pélagie) ต่อมาในช่วงโรคอหิวาตกโรคระบาด เขาถูกย้ายไปสถานพักฟื้น ซึ่งเขาตกหลุมรักสเตฟานี ลูกสาวของแพทย์คนหนึ่ง เขาออกจากที่คุมขังในเดือนเมษายน ค.ศ. 1832

เมื่อวันที่ 30 พฤษภาคม ค.ศ. 1832 กาลัวส์ดวลปืนกับคู่ต่อสู้ และเสียชีวิตในวันถัดมาที่โรงพยาบาลโกแช็ง สาเหตุของการดวลยังไม่ชัดเจน แหล่งข้อมูลหนึ่งระบุว่ามีความเกี่ยวข้องกับสเตฟานี บางแหล่งเสนอว่าเกี่ยวกับการเมือง หรือแม้แต่อาจเป็นแผนสังหารโดยเจ้าหน้าที่ของรัฐ ชื่อของคู่ต่อสู้ก็ไม่เป็นที่ยืนยันแน่ชัด มีคำบอกเล่าว่าเขาพูดกับอัลเฟรด น้องชาย ขณะนอนป่วยว่า อย่าร้องไห้ เพราะเขาต้องใช้ความกล้าทั้งหมดที่มีเพื่อตายตอนอายุยี่สิบ งานศพจัดขึ้นเมื่อวันที่ 2 มิถุนายน

ความเข้าใจผิดเรื่อง “คืนก่อนดวล”

ตำนานยอดนิยมเล่าว่ากาลัวส์เขียนผลงานสำคัญทั้งหมดของเขาในคืนก่อนการดวล เรื่องนี้เกินจริง ความจริงคือเขาได้พัฒนาแนวคิดหลักมาตลอดหลายปีก่อนหน้านั้น และส่งผลงานให้ราชบัณฑิตยสถานแล้วหลายครั้ง สิ่งที่เขาทำในช่วงสุดท้ายคือ ในวันที่ 29 พฤษภาคม เขาเขียนจดหมายถึงเพื่อนสนิทชื่อโอกุสต์ เชอวาลีเยร์ (Auguste Chevalier) เพื่อสรุปผลที่เขาค้นพบ ซึ่งเขาตั้งใจให้ถึงเกาส์และยาโคบีด้วย และเรียงลำดับต้นฉบับ มีบันทึกข้างหน้ากระดาษที่เขาเขียนไว้ว่าเขาไม่มีเวลาแล้ว แต่ผลงานที่ได้รับการยกย่องนั้นเป็นผลของงานหลายปี ไม่ใช่งานเพียงคืนเดียว

ทฤษฎีกาลัวส์

แนวคิดของกาลัวส์ตอบคำถามที่ค้างคาวงการมานาน สมการกำลังสอง กำลังสาม และกำลังสี่มีสูตรแก้ด้วยรากที่ n ทว่าสมการกำลังห้าไม่มี นีลส์ เฮนริก อาเบล (Niels Henrik Abel) พิสูจน์ได้แล้วว่าสมการกำลังห้าทั่วไปไม่มีสูตรแบบนั้น แต่กาลัวส์ไปไกลกว่านั้น โดยให้เกณฑ์ที่บอกได้ว่าสมการพหุนามใดๆ ก็ตามแก้ด้วยราก (solvable by radicals) ได้หรือไม่

กุญแจคือการกำหนด กลุ่มของกาลัวส์ (Galois group) ให้สมการ ซึ่งเป็นกลุ่มของการสลับรากที่ยังรักษาความสัมพันธ์เชิงพีชคณิตระหว่างรากไว้ เขาแสดงว่าสมการแก้ด้วยรากได้ก็ต่อเมื่อกลุ่มนี้มีโครงสร้างที่เรียกว่า “แก้ได้” (solvable) และสำหรับสมการกำลังห้าทั่วไป กลุ่มที่เกี่ยวข้องคือกลุ่มสมมาตร S5 ซึ่งไม่ใช่กลุ่มแก้ได้ ผลลัพธ์นี้ทั้งอธิบายว่าทำไมสูตรเช่นนั้นไม่มี และเปลี่ยนวิธีคิดเรื่องสมการจากการหาสูตรเป็นการศึกษาสมมาตร

ในกระบวนการนี้ เขายังเป็นผู้ใช้คำว่า “กลุ่ม” (groupe) ในความหมายทางเทคนิคเป็นคนแรก และแนะนำแนวคิดสำคัญหลายอย่าง เช่น กลุ่มย่อยปกติ (normal subgroup) และสนามจำกัด (finite fields) ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าสนามกาลัวส์

การยอมรับหลังเสียชีวิต

ผลงานของกาลัวส์เกือบถูกลืม จนกระทั่งโฌแซฟ ลียูวิลล์ (Joseph Liouville) อ่านต้นฉบับ รับรองความถูกต้อง และตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1846 จากนั้นกามีย์ ฌอร์ดัง (Camille Jordan) เผยแพร่ในตำราปี ค.ศ. 1870 และต่อมาเอมิล อาร์ทิน (Emil Artin) ปรับรูปทฤษฎีให้อยู่ในภาษาสนามและออโตมอร์ฟิซึมแบบที่ใช้สอนในปัจจุบัน

ทฤษฎีกาลัวส์ยังอธิบายว่าเหตุใดปัญหาเรขาคณิตโบราณ เช่น การแบ่งมุมสามส่วนหรือการเพิ่มปริมาตรลูกบาศก์เป็นสองเท่าด้วยวงเวียนกับสันตรง ทำไม่ได้ และแนวคิดของเขายังอยู่ในใจกลางของทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่ รวมถึงการแทนค่ากาลัวส์ที่ใช้ในการพิสูจน์ที่ยิ่งใหญ่ในศตวรรษที่ 20

มรดก

กาลัวส์เสียชีวิตเมื่อวันที่ 31 พฤษภาคม ค.ศ. 1832 โดยไม่รู้เลยว่าหน้ากระดาษเหล่านั้นจะกลายเป็นโครงสร้างกลางของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เรื่องราวของเขาจึงเตือนเราสองอย่างพร้อมกัน คือความอัจฉริยะอาจถูกมองข้ามได้ง่ายเมื่อมาก่อนกาล และตำนานที่งดงามบางเรื่องก็ควรถูกแก้ไขให้ตรงกับความจริง เพราะความจริงของงานที่เขาสั่งสมมาหลายปีนั้นน่าประทับใจกว่าตำนานเสียอีก