John Leech: ผู้ค้นพบแลตทิซ 24 มิติที่งดงามที่สุดในคณิตศาสตร์

ในบรรดาโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่งดงามและทรงพลังที่สุด Leech lattice แลตทิซในปริภูมิ 24 มิติ ถือเป็นหนึ่งในวัตถุที่น่าทึ่งที่สุดในทฤษฎีการบรรจุทรงกลมและทฤษฎีกรุ๊ป เบื้องหลังการค้นพบนี้คือ John Leech นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้เป็นทั้งนักคิดเชิงเรขาคณิตและผู้บุกเบิกวิทยาการคอมพิวเตอร์ยุคแรกไปพร้อมกัน

จากเมือง Weybridge สู่ห้องปฏิบัติการคอมพิวเตอร์ยุคบุกเบิก

John Leech เกิดเมื่อวันที่ 21 กรกฎาคม ค.ศ. 1926 ที่เมือง Weybridge มณฑล Surrey ประเทศอังกฤษ เขาได้รับการศึกษาที่ Trent College ในแคว้น Derbyshire ก่อนจะเข้าศึกษาต่อที่ King’s College มหาวิทยาลัย Cambridge และสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรีในตำแหน่ง wrangler อันทรงเกียรติในปี ค.ศ. 1950

หลังสำเร็จการศึกษา Leech เข้าทำงานที่บริษัท Ferranti ในเมือง Manchester ซึ่งเป็นหนึ่งในบริษัทผู้บุกเบิกการสร้างคอมพิวเตอร์ดิจิทัลยุคแรกของโลก ประสบการณ์นี้หล่อหลอมให้เขาเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีความเข้าใจลึกซึ้งเรื่องการประยุกต์ใช้คอมพิวเตอร์กับปัญหาคณิตศาสตร์ ซึ่งในเวลานั้นยังเป็นแนวคิดที่ค่อนข้างใหม่มาก ในปี ค.ศ. 1954 เขากลับไปยัง Cambridge เพื่อเป็นนักวิจัยที่ห้องปฏิบัติการคณิตศาสตร์ และในช่วงนี้เองที่เขาพัฒนาโปรแกรมคอมพิวเตอร์ยุคแรกๆ ที่ใช้อัลกอริทึม Todd-Coxeter สำหรับการนับ coset ซึ่งถือเป็นผลงานบุกเบิกสำคัญของการนำคอมพิวเตอร์มาประยุกต์ใช้กับพีชคณิต

ในปี ค.ศ. 1959 เขาได้รับตำแหน่งอาจารย์ที่ Computing Laboratory ของมหาวิทยาลัย Glasgow และในปี ค.ศ. 1968 เมื่อมหาวิทยาลัย Stirling ก่อตั้งขึ้นใหม่ เขาได้รับแต่งตั้งเป็นหัวหน้าภาควิชา Computing Science คนแรกของมหาวิทยาลัยแห่งนี้

Taxicab Number ที่สามในปี 1957

ก่อนการค้นพบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของเขา Leech มีผลงานสำคัญอีกชิ้นหนึ่งในปี ค.ศ. 1957 นั่นคือการค้นพบ taxicab number ตัวที่สาม หรือ Ta(3) ซึ่งเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่สามารถเขียนเป็นผลรวมของเลขยกกำลังสามของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนที่แตกต่างกันได้ถึงสามวิธี แนวคิด taxicab number นี้มีชื่อเสียงมาจากเรื่องเล่าอันโด่งดังเกี่ยวกับ Srinivasa Ramanujan ที่มองเห็นความน่าสนใจของเลขทะเบียนแท็กซี่หมายเลข 1729 ทันทีที่ G. H. Hardy เอ่ยถึงมัน

การค้นพบ Leech Lattice ในปี 1965

ผลงานที่สร้างชื่อเสียงให้กับ Leech มากที่สุดเกิดขึ้นในปี ค.ศ. 1965 เมื่อเขาค้นพบแลตทิซที่หนาแน่นเป็นพิเศษในปริภูมิ 24 มิติ ซึ่งต่อมาถูกเรียกว่า Leech lattice จุดเริ่มต้นย้อนไปถึงปี ค.ศ. 1964 เมื่อเขาตีพิมพ์บทความเรื่องการบรรจุทรงกลม (sphere packing) ในปริภูมิแปดมิติขึ้นไป ซึ่งมีการบรรจุแลตทิซในมิติที่ 24 รวมอยู่ด้วย ก่อนที่ในปี ค.ศ. 1965 เขาจะส่งภาคผนวกเพิ่มเติมที่ให้การบรรจุที่หนาแน่นยิ่งขึ้นในมิติเดียวกัน และไม่กี่เดือนต่อมาเขาก็พบการบรรจุที่มีความหนาแน่นเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า จนบทความฉบับสมบูรณ์ได้รับการตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1967 ในนามของแลตทิซที่ใช้ชื่อของเขาเอง

แลตทิซนี้มีความพิเศษตรงที่ให้การบรรจุทรงกลมที่หนาแน่นที่สุดเท่าที่รู้จักในปริภูมิ 24 มิติ (ซึ่งภายหลังได้รับการพิสูจน์อย่างเข้มงวดว่าเป็นการบรรจุที่หนาแน่นที่สุดจริงในมิตินี้) และยังมีคุณสมบัติทางสมมาตรที่น่าทึ่งอย่างยิ่ง Leech เองสังเกตเห็นว่ากลุ่มสมมาตรของแลตทิซนี้น่าจะมีความน่าสนใจเป็นพิเศษ แม้ตัวเขาเองจะไม่มีพื้นฐานทฤษฎีกรุ๊ปเพียงพอที่จะพิสูจน์ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับโครงสร้างของมันได้อย่างสมบูรณ์ แต่เขาก็ยังสามารถหาขอบเขตล่างของอันดับของกลุ่มสมมาตรนี้ได้ ซึ่งภายหลังได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นอันดับที่แท้จริงพอดี

จากแลตทิซสู่ทฤษฎีกรุ๊ปเชิงจำกัด

การค้นพบของ Leech จุดประกายให้นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ศึกษาต่อยอดอย่างกว้างขวาง โดยเฉพาะ John Conway ที่สามารถคำนวณกลุ่มสมมาตรที่สมบูรณ์ของ Leech lattice ได้สำเร็จ ซึ่งนำไปสู่การค้นพบกลุ่มเชิงเดี่ยวสามกลุ่มที่เรียกว่า Conway groups อันเป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มเชิงเดี่ยวประปราย (sporadic simple groups) ที่มีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งในการจัดจำแนกกลุ่มเชิงเดี่ยวจำกัดทั้งหมด (classification of finite simple groups) ซึ่งเป็นหนึ่งในโครงการที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของวงการพีชคณิตในศตวรรษที่ 20

การจากไปที่แม่น้ำ Clyde

John Leech เป็นผู้สนับสนุนตัวยงในการอนุรักษ์เรือกลไฟใบพัด Waverley ซึ่งเป็นเรือประวัติศาสตร์ของสกอตแลนด์ เขาเสียชีวิตด้วยอาการหัวใจวายขณะอยู่บนเรือลำนี้ระหว่างการล่องเรือเที่ยวสุดท้ายของฤดูกาลเมื่อวันที่ 28 กันยายน ค.ศ. 1992 ระหว่างเดินทางกลับจาก Rothesay สู่ Largs โดยมีการลดธงลงครึ่งเสาเพื่อไว้อาลัยแด่เขาขณะเรือมุ่งหน้ากลับสู่เมือง Glasgow เขาเสียชีวิตห่างจากการจากไปของ Daniel Gorenstein ผู้ดูแลโครงการจัดจำแนกกลุ่มเชิงเดี่ยวจำกัดเพียงหนึ่งเดือนเท่านั้น ซึ่งกลุ่มประปรายทั้งสามที่ Conway ค้นพบจากแลตทิซของ Leech ก็มีบทบาทสำคัญในโครงการเดียวกันนี้

มรดกที่ยังคงเป็นรากฐานสำคัญ

Leech lattice ยังคงเป็นหนึ่งในวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่นักวิจัยศึกษาต่อยอดมากที่สุดมาจนถึงปัจจุบัน ทั้งในทฤษฎีการเข้ารหัส (coding theory) ทฤษฎีกรุ๊ป และแม้แต่ทฤษฎีสตริงในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี ซึ่งแลตทิซนี้ปรากฏอยู่ในโครงสร้างของทฤษฎีสนามคอนฟอร์มัลบางประเภท เรื่องราวของ John Leech จึงเป็นตัวอย่างที่งดงามของการที่ความอยากรู้อยากเห็นเชิงเรขาคณิตอย่างบริสุทธิ์ สามารถนำไปสู่การค้นพบที่ส่งอิทธิพลไปไกลเกินกว่าสาขาที่มันถือกำเนิดขึ้นมา