อาดรีเยน-มารี เลอฌ็องดร์: นักคณิตศาสตร์ผู้ไม่ต้องการให้จดจำสิ่งใดนอกจากผลงาน

มีนักคณิตศาสตร์ไม่กี่คนที่แสดงความปรารถนาอย่างชัดเจนว่าไม่ต้องการให้ประวัติชีวิตส่วนตัวถูกจดจำ อาดรีเยน-มารี เลอฌ็องดร์ (Adrien-Marie Legendre) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสคือหนึ่งในนั้น เพื่อนร่วมงานของเขา ซีเมอง เดอนี ปัวซง (Siméon Denis Poisson) เคยเขียนถึงเขาไว้ว่า เขามักแสดงความปรารถนาให้ผู้คนพูดถึงเพียงผลงานของเขาเท่านั้น เพราะผลงานเหล่านั้นคือชีวิตทั้งหมดของเขาอย่างแท้จริง แม้จะมีข้อมูลเกี่ยวกับชีวิตส่วนตัวของเขาหลงเหลืออยู่น้อยมาก แต่ผลงานทางคณิตศาสตร์ที่เขาทิ้งไว้กลับมีอิทธิพลอย่างลึกซึ้งต่อวงการฟิสิกส์คณิตศาสตร์และทฤษฎีจำนวนมาจนถึงทุกวันนี้

ชีวิตช่วงต้นในครอบครัวฐานะดี

เลอฌ็องดร์เกิดเมื่อวันที่ 18 กันยายน ค.ศ. 1752 ที่กรุงปารีส ประเทศฝรั่งเศส (แม้จะมีหลักฐานบางส่วนที่บ่งชี้ว่าเขาอาจเกิดที่เมืองตูลูสและครอบครัวย้ายมาปารีสเมื่อเขายังเด็กมาก) เขามาจากครอบครัวที่มีฐานะดี ทำให้ได้รับการศึกษาคุณภาพสูงด้านคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ที่ Collège Mazarin ในกรุงปารีส

ในปี ค.ศ. 1770 ขณะอายุเพียง 18 ปี เลอฌ็องดร์ได้ปกป้องวิทยานิพนธ์ด้านคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ที่ Collège Mazarin แม้จะไม่ใช่วิทยานิพนธ์ที่สมบูรณ์ตามมาตรฐานปัจจุบัน แต่เป็นเพียงแผนงานวิจัยที่ระบุวรรณกรรมที่เขาจะศึกษาและผลลัพธ์ที่เขาตั้งใจจะพิสูจน์ เนื่องจากไม่มีความจำเป็นต้องทำงานเลี้ยงชีพ เลอฌ็องดร์จึงสามารถอาศัยอยู่ที่กรุงปารีสและทุ่มเทให้กับการวิจัยได้อย่างเต็มที่

เส้นทางวิชาการช่วงต้น

ระหว่างปี ค.ศ. 1775–1780 เลอฌ็องดร์สอนวิชาคณิตศาสตร์ร่วมกับ ปีแยร์-ซีมง เดอ ลาปลาส (Pierre-Simon de Laplace) ที่ École Militaire ในกรุงปารีส ซึ่งตำแหน่งนี้ได้รับการแนะนำจาก ดาล็องแบร์ (d’Alembert) นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียง

ในปี ค.ศ. 1782 เลอฌ็องดร์ชนะรางวัลจาก Berlin Academy จากผลงานวิจัยเรื่องวิถีการเคลื่อนที่ของกระสุนปืนใหญ่ในตัวกลางที่มีความต้านทาน (Recherches sur la trajectoire des projectiles dans les milieux résistants) ผลงานชิ้นนี้สร้างชื่อเสียงให้กับเลอฌ็องดร์ในฐานะนักคณิตศาสตร์คนสำคัญ และดึงดูดความสนใจจาก โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากรานฌ์ (Joseph-Louis Lagrange) ซึ่งขณะนั้นทำงานอยู่ที่กรุงเบอร์ลิน ความสำเร็จนี้นำไปสู่การที่เขาได้รับเลือกเป็นสมาชิกสมทบ (adjoint) ของ Académie des Sciences ในปี ค.ศ. 1783 และเป็นสมาชิกเต็มตัว (associé) ในปี ค.ศ. 1785

พหุนามเลอฌ็องดร์และฟังก์ชันศักย์

ผลงานที่สร้างชื่อเสียงให้กับเลอฌ็องดร์มากที่สุดในวงการฟิสิกส์คณิตศาสตร์คือ พหุนามเลอฌ็องดร์ (Legendre polynomials) ซึ่งเขาค้นพบขณะศึกษาการหาศักย์โน้มถ่วง (gravitational potential) ที่เกิดจากการกระจายตัวของมวลแบบทรงรีที่มีความสมมาตรตามแกน (ellipsoidal, axial-symmetric mass distribution) ณ จุดภายนอกใด ๆ

แนวคิดเรื่องศักย์ (potential) ซึ่งเป็นการหาปริพันธ์ของแรงตามเส้นทาง ได้รับการแนะนำในช่วงเวลาใกล้เคียงกัน (ค.ศ. 1782) โดยลาปลาสเช่นกัน ในผลงานของเขา เลอฌ็องดร์ได้ขยายอนุกรมของศักย์แบบแมคลอริน (Maclaurin expansion) และเมื่อหาอนุพันธ์เทียบกับระยะทาง เขาได้อนุกรมของแรงในรูปของพหุนามเลอฌ็องดร์แบบธรรมดา และเมื่อหาอนุพันธ์เทียบกับมุมละติจูด เขาได้ฟังก์ชันเลอฌ็องดร์ที่เกี่ยวข้อง (associated Legendre functions) พหุนามและฟังก์ชันเหล่านี้กลายเป็นเครื่องมือพื้นฐานสำคัญในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ ตั้งแต่ทฤษฎีศักย์ ไฟฟ้าพลศาสตร์ ไปจนถึงกลศาสตร์ควอนตัม โดยเฉพาะในการแก้สมการชเรอดิงเงอร์สำหรับอะตอมไฮโดรเจน

การแปลงเลอฌ็องดร์: เครื่องมือสำคัญในฟิสิกส์คณิตศาสตร์

อีกหนึ่งผลงานสำคัญของเลอฌ็องดร์คือ การแปลงเลอฌ็องดร์ (Legendre transformation) ซึ่งเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่ใช้แปลงฟังก์ชันหนึ่งไปเป็นอีกฟังก์ชันหนึ่งที่มีตัวแปรต่างไปจากเดิม โดยรักษาข้อมูลทั้งหมดของฟังก์ชันเดิมไว้ การแปลงนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์ (analytical mechanics) โดยเฉพาะในการเปลี่ยนจากกรอบแนวคิดแบบลากรางเจียน (Lagrangian) ไปสู่กรอบแนวคิดแบบแฮมิลตัน (Hamiltonian) รวมถึงมีบทบาทสำคัญในอุณหพลศาสตร์ (thermodynamics) ในการเปลี่ยนระหว่างฟังก์ชันสถานะต่าง ๆ

ผลงานด้านทฤษฎีจำนวนและฟังก์ชันวงรี

นอกเหนือจากพหุนามเลอฌ็องดร์และการแปลงเลอฌ็องดร์แล้ว เขายังมีผลงานสำคัญด้านทฤษฎีจำนวน (number theory) โดยเฉพาะการเสนอสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ (Legendre symbol) ซึ่งเป็นเครื่องมือสำคัญในการศึกษาสมภาคกำลังสอง (quadratic residues) นอกจากนี้เขายังเป็นผู้ให้การพิสูจน์อย่างง่ายว่าค่า π เป็นจำนวนอตรรกยะ และเป็นผู้พิสูจน์คนแรกที่แสดงว่า π² ก็เป็นจำนวนอตรรกยะเช่นกัน

ในสาขาฟังก์ชันวงรี (elliptic functions) เลอฌ็องดร์ทุ่มเทเวลาศึกษาเป็นเวลานานหลายทศวรรษ และผลงานของเขาในเรื่องนี้ได้วางรากฐานสำคัญที่ต่อมาถูกพัฒนาต่อยอดโดย นีลส์ เฮนริก อาเบล (Niels Henrik Abel) และ คาร์ล กุสตาฟ จาโคบี (Carl Gustav Jacobi) จนกลายเป็นทฤษฎีฟังก์ชันวงรีสมัยใหม่ที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น

ผู้บุกเบิกวิธีกำลังสองน้อยที่สุด

เลอฌ็องดร์ยังเป็นที่รู้จักในฐานะผู้ตีพิมพ์คำอธิบายวิธีกำลังสองน้อยที่สุด (method of least squares) อย่างเป็นทางการเป็นคนแรกในปี ค.ศ. 1805 ในฐานะกระบวนการทางพีชคณิตสำหรับการปรับเส้นโค้งให้เข้ากับข้อมูล แม้ในภายหลังจะพบว่า คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (Carl Friedrich Gauss) ได้ค้นพบวิธีการเดียวกันนี้มาก่อนหน้าเขาแล้ว แต่เลอฌ็องดร์ก็ยังคงได้รับการยกย่องในฐานะผู้ตีพิมพ์อย่างเป็นทางการคนแรก วิธีการนี้ต่อมาได้รับการพิสูจน์ทางสถิติศาสตร์อย่างเข้มงวดโดยทั้งเกาส์และลาปลาส และกลายเป็นเครื่องมือพื้นฐานที่สำคัญที่สุดชิ้นหนึ่งในสถิติศาสตร์และวิทยาศาสตร์ข้อมูลสมัยใหม่

ตำราเรขาคณิตที่ทรงอิทธิพล

ผลงานเขียนที่มีชื่อเสียงและเป็นที่นิยมอย่างมากของเลอฌ็องดร์คือหนังสือ Éléments de géométrie ซึ่งตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1794 หนังสือเล่มนี้เป็นการปรับปรุงและทำให้เนื้อหาใน Elements ของยูคลิดเข้าถึงได้ง่ายขึ้น กลายเป็นตำราเรียนเรขาคณิตที่มีอิทธิพลอย่างกว้างขวางในยุคนั้น และมีการตีพิมพ์ภาคผนวกเพิ่มเติมอีกหลายฉบับในเวลาต่อมา รวมถึงการพิสูจน์เรื่องความอตรรกยะของค่า π ที่กล่าวมาข้างต้น

ช่วงเวลาที่ยากลำบากจากการปฏิวัติฝรั่งเศส

การปะทุขึ้นของการปฏิวัติฝรั่งเศสในปี ค.ศ. 1789 ส่งผลกระทบอย่างมากต่อชีวิตของเลอฌ็องดร์ เมื่อ Académie Royale ถูกยุบเลิก และมรดกทางการเงินของครอบครัวเขาก็เริ่มลดน้อยลงเรื่อย ๆ ในช่วงเวลานี้เขาแต่งงานกับ Marguerite-Claudine Couhin (ทั้งคู่ไม่มีบุตรด้วยกัน) และต้องทำงานในตำแหน่งราชการหลายตำแหน่งเพื่อความอยู่รอด รวมถึงการทำงานในคณะกรรมการที่แปลงหน่วยวัดมุมให้เป็นระบบทศนิยมในปี ค.ศ. 1791 และต่อมาในปี ค.ศ. 1799 เขาได้รับตำแหน่งผู้ตรวจสอบวิชาคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนปืนใหญ่แทนที่ลาปลาส

เลอฌ็องดร์ยังมีส่วนร่วมในโครงการสำรวจธรณีสัณฐาน (geodesic survey) ร่วมกันระหว่างหอสังเกตการณ์ปารีสและกรีนิชในปี ค.ศ. 1787 ซึ่งนำไปสู่การค้นพบทฤษฎีบทสำคัญเกี่ยวกับคุณสมบัติของสามเหลี่ยมเมื่อเคลื่อนย้ายจากพื้นผิวทรงกลมไปยังระนาบราบ

บั้นปลายชีวิตและมรดกที่ทิ้งไว้

อาดรีเยน-มารี เลอฌ็องดร์เสียชีวิตเมื่อวันที่ 9 มกราคม ค.ศ. 1833 ที่กรุงปารีส ประเทศฝรั่งเศส ขณะอายุ 80 ปี แม้เขาจะเป็นบุคคลที่ค่อนข้างเก็บตัวและไม่ต้องการให้มีการจดจำประวัติชีวิตส่วนตัวมากนัก แต่ผลงานทางคณิตศาสตร์ที่เขาทิ้งไว้กลับมีความสำคัญอย่างยิ่งและยังคงมีอิทธิพลมาจนถึงทุกวันนี้

แม้บางครั้งจะถูกเงาของนักคณิตศาสตร์ร่วมสมัยที่มีชื่อเสียงกว่าอย่างลากรานฌ์และลาปลาสบดบัง แต่เลอฌ็องดร์ก็มีบทบาทสำคัญอย่างมากในโลกคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 18 พหุนามเลอฌ็องดร์และการแปลงเลอฌ็องดร์ยังคงเป็นเครื่องมือพื้นฐานที่นักฟิสิกส์และวิศวกรทั่วโลกใช้งานอยู่ทุกวันนี้ ตั้งแต่กลศาสตร์ควอนตัมไปจนถึงอุณหพลศาสตร์ สะท้อนให้เห็นถึงความปรารถนาของเขาที่เป็นจริง นั่นคือการให้ผลงานพูดแทนตัวตนของเขาเอง