เปาล์ แบร์เนย์ส: ผู้ร่วมสร้างระบบสัจพจน์ NBG และมือขวาของฮิลแบร์ท

ในบรรดานักตรรกวิทยาผู้มีบทบาทสำคัญในการวางรากฐานทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์สมัยใหม่ เปาล์ แบร์เนย์ส (Paul Bernays) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสคือหนึ่งในบุคคลสำคัญที่สุด เขาคือผู้ร่วมพัฒนาระบบสัจพจน์ที่รู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีเซตฟอน นอยมันน์-แบร์เนย์ส-เกอเดล (Von Neumann–Bernays–Gödel set theory หรือ NBG) และเป็นผู้ช่วยที่ใกล้ชิดที่สุดคนหนึ่งของ เดวิด ฮิลแบร์ท (David Hilbert) นักคณิตศาสตร์ระดับตำนานแห่งเมืองเกิททิงเงน

ชีวิตช่วงต้นในครอบครัวปัญญาชนยิว

แบร์เนย์สเกิดเมื่อวันที่ 17 ตุลาคม ค.ศ. 1888 ที่กรุงลอนดอน ประเทศอังกฤษ ในครอบครัวชาวยิวเยอรมันที่มีชื่อเสียงด้านวิชาการและธุรกิจ เขาศึกษาคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน ภายใต้การดูแลของอาจารย์ผู้มีชื่อเสียงหลายท่าน ทั้ง อิสไซ ชูร์ (Issai Schur) และ เอ็ดมันด์ ลันเดา (Edmund Landau) ผู้ซึ่งกลายเป็นอาจารย์ที่ปรึกษาวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขาที่มหาวิทยาลัยเกิททิงเงนในปี ค.ศ. 1912 วิทยานิพนธ์ของเขาเรื่อง “Über die Darstellung von positiven, ganzen Zahlen durch die primitiven, binären quadratischen Formen einer nicht-quadratischen Diskriminante” เกี่ยวข้องกับการแทนค่าจำนวนเต็มบวกด้วยรูปแบบกำลังสองทวินาม

ผู้ช่วยคนสำคัญของฮิลแบร์ท

หลังสำเร็จการศึกษา แบร์เนย์สทำงานเป็นอาจารย์บรรยาย (Privatdozent) ที่มหาวิทยาลัยซูริกเป็นเวลาห้าปี ก่อนเดินทางกลับไปยังเกิททิงเงน ซึ่งเขาได้ร่วมงานอย่างใกล้ชิดกับ เดวิด ฮิลแบร์ท นักคณิตศาสตร์ระดับตำนานผู้ซึ่งในช่วงปลายอาชีพการงานพยายามเอาชนะความท้าทายที่เกิดจากแนวคิดสัญชานญาณนิยม (intuitionism) ของ แอล.อี.เจ. บราวเวอร์ (L.E.J. Brouwer) ที่มีต่อคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิม

แบร์เนย์สมีบทบาทสำคัญในฐานะเสาหลักที่แข็งแกร่งในการสนับสนุนโปรแกรมของฮิลแบร์ท (Hilbert’s program) ซึ่งมุ่งหวังที่จะสร้างรูปแบบเชิงตรรกะที่เข้มงวดให้กับคณิตศาสตร์ทั้งหมด (formalism) ผลงานที่สำคัญที่สุดชิ้นหนึ่งของความร่วมมือนี้คือหนังสือคลาสสิก Grundlagen der Mathematik (รากฐานของคณิตศาสตร์) ซึ่งตีพิมพ์เป็นสองเล่มระหว่างปี ค.ศ. 1934–1939 โดยใช้ชื่อของฮิลแบร์ทเป็นผู้เขียนร่วม แม้เนื้อหาส่วนใหญ่จะเป็นผลงานของแบร์เนย์สเองก็ตาม

ระบบสัจพจน์ NBG: การปรับปรุงทฤษฎีเซตของฟอน นอยมันน์

หลังจากที่พรรคนาซีเข้ายึดอำนาจในเยอรมนีในปี ค.ศ. 1933 แบร์เนย์สถูกบังคับให้ต้องออกจากตำแหน่งที่เกิททิงเงนเนื่องจากภูมิหลังทางเชื้อชาติของเขา แม้ฮิลแบร์ทจะยังคงจ้างเขาเป็นผู้ช่วยส่วนตัวอยู่ระยะหนึ่ง แต่ในที่สุดแบร์เนย์สก็ต้องเดินทางออกจากเยอรมนี โชคดีที่เขายังคงถือสัญชาติสวิส ทำให้การย้ายไปตั้งรกรากที่เมืองซูริกไม่ใช่เรื่องยากลำบากมากนัก

ที่เมืองซูริกนี้เอง แบร์เนย์สทุ่มเทให้กับการศึกษาทฤษฎีเซต โดยพยายามปรับปรุงระบบสัจพจน์เซอร์เมโล-เฟรงเคิล (Zermelo-Fraenkel) ให้มีความคล่องตัวมากขึ้น ผลงานนี้ปรากฏในบทความชุดที่มีชื่อว่า “A System of Axiomatic Set Theory” ซึ่งตีพิมพ์ต่อเนื่องระหว่างปี ค.ศ. 1937–1954 และต่อมาถูกรวบรวมเป็นหนังสือ Axiomatic Set Theory ในปี ค.ศ. 1958

ในงานนี้เอง แบร์เนย์สได้ปรับปรุงและขัดเกลาผลงานดั้งเดิมของ จอห์น ฟอน นอยมันน์ (John von Neumann) เกี่ยวกับตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซต จนกลายเป็นระบบที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีเซตฟอน นอยมันน์-แบร์เนย์ส-เกอเดล (NBG) ซึ่งต่อมาได้รับการพัฒนาต่อยอดเพิ่มเติมโดย เคิร์ท เกอเดล (Kurt Gödel) ระบบสัจพจน์นี้มีข้อได้เปรียบสำคัญเหนือระบบเซอร์เมโล-เฟรงเคิลตรงที่สามารถแยกความแตกต่างระหว่าง “เซต” (sets) กับ “คลาส” (classes) ได้อย่างชัดเจน ซึ่งช่วยหลีกเลี่ยงความขัดแย้งบางประการที่เกิดขึ้นในทฤษฎีเซตแบบดั้งเดิม

ผลงานอื่น ๆ ด้านตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์

นอกเหนือจากระบบสัจพจน์ NBG แล้ว แบร์เนย์สยังมีผลงานสำคัญอื่น ๆ อีกมากมาย เช่น สัจพจน์การเลือกแบบต่อเนื่อง (axiom of dependent choice), ทฤษฎีคลาสแบร์เนย์ส (Bernays class theory), คลาสแบร์เนย์ส-เชินฟิงเคิล (Bernays–Schönfinkel class) ในตรรกศาสตร์ และ ระบบสัจพจน์แบร์เนย์ส-ทาร์สกี (Bernays–Tarski axiom system)

นอกจากนี้เขายังมีผลงานสำคัญเกี่ยวกับเงื่อนไขการพิสูจน์ได้ของฮิลแบร์ท-แบร์เนย์ส (Hilbert–Bernays provability conditions) ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล (Gödel’s incompleteness theorems) ในรูปแบบทั่วไป และ ข้อขัดแย้งฮิลแบร์ท-แบร์เนย์ส (Hilbert–Bernays paradox) ในปี ค.ศ. 1972 เขายังเป็นผู้ร่วมก่อตั้งวารสาร Dialectica ซึ่งเป็นวารสารสำคัญด้านปรัชญาและตรรกศาสตร์

เส้นทางวิชาการที่ ETH ซูริก

แบร์เนย์สทำงานที่ Eidgenössische Technische Hochschule (ETH) หรือสถาบันเทคโนโลยีแห่งสหพันธ์สวิสในเมืองซูริก โดยเริ่มต้นในตำแหน่งชั่วคราวตั้งแต่ปี ค.ศ. 1934 ก่อนเดินทางไปเยือนสถาบัน Institute for Advanced Study ที่เมืองพรินซ์ตันในช่วงปี ค.ศ. 1935–1936 และในที่สุดก็ได้รับตำแหน่งครึ่งเวลาที่ ETH ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1945 เป็นต้นมา

แม้จะมีการวิพากษ์วิจารณ์ในภายหลังว่า ETH ไม่ได้ปฏิบัติต่อนักวิชาการผู้มีชื่อเสียงอย่างแบร์เนย์สอย่างสมเกียรติเท่าที่ควร แต่ตัวแบร์เนย์สเองกลับไม่เคยมองในมุมนั้น และรู้สึกซาบซึ้งใจอย่างมากที่ ETH ให้ความช่วยเหลือเขาในช่วงเวลาที่ยากลำบากที่สุดของชีวิต

ลูกศิษย์ผู้มีชื่อเสียงระดับโลก

ตลอดอาชีพการงาน แบร์เนย์สมีลูกศิษย์ปริญญาเอกที่มีชื่อเสียงระดับโลกหลายคน อาทิ คอร์ราโด เบิห์ม (Corrado Böhm), จูเลียส ริชาร์ด บือชี (Julius Richard Büchi), แฮสเคลล์ เคอร์รี (Haskell Curry) ผู้บุกเบิกตรรกศาสตร์เชิงผสม, แกร์ฮาร์ด เกนต์เซน (Gerhard Gentzen) และ ซอนเดอร์ส แม็คเลน (Saunders Mac Lane) ผู้ร่วมก่อตั้งทฤษฎีแคทีกอรี ซึ่งล้วนแล้วแต่มีบทบาทสำคัญในการพัฒนาตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์ในเวลาต่อมา

เรื่องเล่าในห้องสัมมนา

มีเรื่องเล่าที่น่าสนใจเกี่ยวกับบุคลิกภาพของแบร์เนย์สในห้องสัมมนาที่ ETH ซึ่งบันทึกไว้ในหนังสือ The Secret Life of Numbers โดย George Szpiro เล่าถึงเหตุการณ์ที่แบร์เนย์สมักจะเป็นผู้ตั้งคำถามแรกในการนำเสนอผลงานเสมอ จนก่อให้เกิดการถกเถียงอย่างเข้มข้นในหมู่นักตรรกวิทยาคนอื่น ๆ ที่เข้าร่วมสัมมนา สะท้อนให้เห็นถึงความกระตือรือร้นทางวิชาการที่ไม่เคยลดน้อยลงแม้ในวัยชรา

บั้นปลายชีวิตและมรดกที่ทิ้งไว้

เปาล์ แบร์เนย์สเสียชีวิตเมื่อวันที่ 18 กันยายน ค.ศ. 1977 ที่เมืองซูริก ประเทศสวิตเซอร์แลนด์ ขณะอายุ 88 ปี หลังจากการเสียชีวิตของเขา ประเพณีการศึกษาตรรกศาสตร์ที่เขาได้ปลูกฝังไว้ที่ ETH ยังคงได้รับการสืบทอดต่อโดยเพื่อนร่วมงานของเขา ทั้ง Hans Läuchli และ Ernst Specker ซึ่งดำเนินการสัมมนาต่อไปอีกหลายทศวรรษ

ตลอดชีวิตการทำงาน แบร์เนย์สได้สร้างมรดกทางความคิดที่ยังคงมีอิทธิพลอย่างลึกซึ้งต่อวงการตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์และทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์มาจนถึงทุกวันนี้ ระบบสัจพจน์ NBG ที่เขาช่วยพัฒนายังคงเป็นหนึ่งในกรอบแนวคิดพื้นฐานที่นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกศึกษาและใช้งานควบคู่ไปกับระบบเซอร์เมโล-เฟรงเคิล สะท้อนให้เห็นถึงคุณูปการอันยั่งยืนของนักตรรกวิทยาผู้อุทิศชีวิตให้กับการแสวงหารากฐานที่มั่นคงของคณิตศาสตร์