เจมส์ วอดเดลล์ อเล็กซานเดอร์ที่สอง: ผู้บุกเบิกทฤษฎีปมและหนึ่งในผู้ก่อตั้งสถาบันแห่งพรินซ์ตัน

จากตระกูลนักธุรกิจและศิลปินผู้มีชื่อเสียงในสหรัฐอเมริกา สู่การเป็นหนึ่งในผู้บุกเบิกสำคัญที่สุดของทอพอโลยีเชิงพีชคณิต (algebraic topology) และทฤษฎีปม (knot theory) เจมส์ วอดเดลล์ อเล็กซานเดอร์ที่สอง (James Waddell Alexander II) คือนักคณิตศาสตร์อเมริกันผู้ทิ้งมรดกทางความคิดที่ยังคงมีอิทธิพลอย่างลึกซึ้งต่อวงการคณิตศาสตร์สมัยใหม่มาจนถึงทุกวันนี้

ชีวิตช่วงต้นในครอบครัวผู้มีชื่อเสียง

อเล็กซานเดอร์เกิดเมื่อวันที่ 19 กันยายน ค.ศ. 1888 ที่เมืองซีไบรต์ รัฐนิวเจอร์ซี สหรัฐอเมริกา เขามาจากครอบครัวพรินซ์ตันเก่าแก่ที่มีชื่อเสียงโด่งดัง เป็นบุตรคนเดียวของ จอห์น ไวต์ อเล็กซานเดอร์ (John White Alexander) จิตรกรชาวอเมริกันผู้มีชื่อเสียงจากผลงานภาพจิตรกรรมฝาผนังที่หอสมุดรัฐสภาสหรัฐอเมริกา และ Elizabeth Alexander ปู่ฝ่ายมารดาของเขา James Waddell Alexander เคยดำรงตำแหน่งประธานของ Equitable Life Assurance Society ทำให้ครอบครัวของเขามีฐานะทางสังคมที่มั่งคั่ง และเปิดโอกาสให้เขาได้มีปฏิสัมพันธ์กับสังคมชั้นสูงในสหรัฐอเมริกาและต่างประเทศตั้งแต่วัยเยาว์

อเล็กซานเดอร์ศึกษาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน โดยมี ออสวอลด์ เวเบลน (Oswald Veblen) เป็นอาจารย์ผู้สอน เขาสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรีในปี ค.ศ. 1910 และปริญญาโทในปี ค.ศ. 1911 หลังจากนั้นเขาทำงานเป็นอาจารย์ผู้สอนในภาควิชาคณิตศาสตร์ของพรินซ์ตันเป็นเวลาหนึ่งปี ก่อนเดินทางไปยุโรปเพื่อศึกษาต่อที่กรุงปารีสและเมืองโบโลญญาระหว่างปี ค.ศ. 1912–1915 เมื่อเดินทางกลับพรินซ์ตัน เขาได้ยื่นวิทยานิพนธ์เรื่อง “Functions Which Map the Interior of the Unit Circle Upon Simple Regions” และได้รับปริญญาเอกในปี ค.ศ. 1915

รับใช้ชาติในสงครามโลกครั้งที่หนึ่ง

เมื่อสหรัฐอเมริกาเข้าร่วมสงครามโลกครั้งที่หนึ่งในปี ค.ศ. 1917 อเล็กซานเดอร์ได้รับหน้าที่เป็นร้อยโทในกองทัพสหรัฐอเมริกา และประจำการอยู่ที่ Aberdeen Proving Ground ในรัฐแมริแลนด์ ซึ่งเป็นสถานที่ทดสอบอาวุธยุทโธปกรณ์ที่สำคัญของกองทัพ

ผู้บุกเบิกทอพอโลยีเชิงพีชคณิตที่พรินซ์ตัน

หลังสงครามสิ้นสุดลง อเล็กซานเดอร์เดินทางกลับพรินซ์ตันและกลายเป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มนักคณิตศาสตร์ผู้มีอิทธิพลด้านทอพอโลยีที่มหาวิทยาลัยแห่งนี้ ร่วมกับ ออสวอลด์ เวเบลน และ โซโลมอน เลฟเชตซ์ (Solomon Lefschetz) เขาดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์ที่พรินซ์ตันตั้งแต่ปี ค.ศ. 1920–1951

ผลงานในช่วงแรกของอเล็กซานเดอร์เกี่ยวข้องกับการศึกษาแมนิโฟลด์มิติ n ร่วมกับเวเบลน และงานสำคัญเรื่อง การพิสูจน์ความไม่แปรเปลี่ยนของค่าคงที่บางประการในทอพอโลยี (analysis situs) เขายังเป็นผู้ริเริ่มแนวคิดสำคัญเรื่อง โฮโมโลยีเอกฐาน (singular homology) และ โคโฮโมโลยีเอกฐาน (singular cohomology) ผ่านทางแนวคิดโฮโมโลยีของโซ่ (chain homology) และโคโฮโมโลยีของโคเชน (cochain cohomology) ซึ่งกลายเป็นเครื่องมือพื้นฐานที่สำคัญที่สุดชิ้นหนึ่งของทอพอโลยีเชิงพีชคณิตสมัยใหม่

พหุนามอเล็กซานเดอร์: เครื่องมือสำคัญในทฤษฎีปม

ผลงานที่สร้างชื่อเสียงให้กับอเล็กซานเดอร์มากที่สุดคือการค้นพบ พหุนามอเล็กซานเดอร์ (Alexander polynomial) ในปี ค.ศ. 1928 ซึ่งเป็นตัวไม่แปรเปลี่ยน (invariant) ที่สำคัญที่สุดชิ้นหนึ่งในสาขาทฤษฎีปม (knot theory) พหุนามนี้ช่วยให้นักคณิตศาสตร์สามารถจำแนกความแตกต่างระหว่างปมชนิดต่าง ๆ ได้ในเชิงพีชคณิต แทนที่จะต้องอาศัยการพิจารณาด้วยสายตาเพียงอย่างเดียว

การค้นพบพหุนามอเล็กซานเดอร์ถือเป็นก้าวสำคัญที่เปิดประตูให้ทฤษฎีปมกลายเป็นสาขาคณิตศาสตร์ที่มีความเข้มงวดทางพีชคณิตมากยิ่งขึ้น ในเวลาต่อมา จอห์น ฮอร์ตัน คอนเวย์ (John Horton Conway) ได้พัฒนาต่อยอดแนวคิดนี้จนกลายเป็น พหุนามอเล็กซานเดอร์-คอนเวย์ (Alexander–Conway polynomial) ซึ่งเป็นรูปแบบที่ปรับปรุงและใช้งานง่ายยิ่งขึ้น พหุนามอเล็กซานเดอร์ยังคงเป็นเครื่องมือพื้นฐานสำคัญที่นักคณิตศาสตร์ทฤษฎีปมทั่วโลกใช้งานมาจนถึงปัจจุบัน แม้จะมีตัวไม่แปรเปลี่ยนที่ทรงพลังกว่าถูกค้นพบในเวลาต่อมา เช่น พหุนามโจนส์ (Jones polynomial)

ผลงานสำคัญอื่น ๆ ในทอพอโลยี

นอกเหนือจากพหุนามอเล็กซานเดอร์แล้ว เขายังทิ้งผลงานและแนวคิดสำคัญอื่น ๆ ที่ตั้งชื่อตามเขาไว้อีกมากมาย เช่น ทวิลักษณะอเล็กซานเดอร์ (Alexander duality) ซึ่งเป็นทฤษฎีบทสำคัญที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างโฮโมโลยีของเซตย่อยหนึ่งกับโคโฮโมโลยีของส่วนประกอบของเซตนั้นในทรงกลม และ กลเม็ดอเล็กซานเดอร์ (Alexander’s trick) ซึ่งเป็นเทคนิคสำคัญที่แสดงให้เห็นว่าโฮโมมอร์ฟิซึมใด ๆ ของทรงกลมหน่วยสามารถขยายไปเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของลูกบอลหน่วยได้ รวมถึง ทฤษฎีบทความกระชับของอเล็กซานเดอร์ (Alexander’s Compactness Theorem) หรือที่รู้จักกันในชื่อ Alexander’s Sub-Basis Theorem ในทอพอโลยีเซตทั่วไป

หนึ่งในสมาชิกผู้ก่อตั้งสถาบัน Institute for Advanced Study

คุณูปการที่สำคัญไม่แพ้ผลงานวิจัยของอเล็กซานเดอร์คือบทบาทของเขาในฐานะหนึ่งในสมาชิกผู้ก่อตั้งคนแรกของ Institute for Advanced Study ที่เมืองพรินซ์ตัน ซึ่งก่อตั้งขึ้นในปี ค.ศ. 1930 เขาดำรงตำแหน่งคณาจารย์ของสถาบันแห่งนี้ระหว่างปี ค.ศ. 1933–1947 ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่สถาบันแห่งนี้กำลังกลายเป็นศูนย์กลางความคิดทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ทฤษฎีที่สำคัญที่สุดแห่งหนึ่งของโลก โดยมีนักวิทยาศาสตร์ระดับตำนานอย่าง อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ทำงานอยู่ที่นั่นในช่วงเวลาเดียวกัน

ชีวิตส่วนตัวและเกียรติยศ

ในวันที่ 11 มกราคม ค.ศ. 1918 อเล็กซานเดอร์แต่งงานกับ Natalia Levitzkaja หญิงชาวรัสเซีย ทั้งคู่มีบุตรด้วยกันสองคน ตลอดชีวิตการทำงาน เขาได้รับ รางวัลโบเชอร์ (Bôcher Memorial Prize) จากสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันในปี ค.ศ. 1928 อันเป็นการยืนยันถึงคุณค่าของผลงานวิจัยด้านการวิเคราะห์และทอพอโลยีของเขา นอกจากนี้เขายังได้รับเลือกเป็นสมาชิกของ National Academy of Sciences ในปี ค.ศ. 1930

บั้นปลายชีวิตและมรดกที่ทิ้งไว้

เจมส์ วอดเดลล์ อเล็กซานเดอร์ที่สองเสียชีวิตเมื่อวันที่ 23 กันยายน ค.ศ. 1971 ที่เมืองพรินซ์ตัน รัฐนิวเจอร์ซี ขณะอายุ 83 ปี เพียงสี่วันหลังวันเกิดปีที่ 83 ของเขา ตลอดชีวิตการทำงาน เขาได้สร้างมรดกทางคณิตศาสตร์ที่ยั่งยืนในสองด้านสำคัญ ทั้งในฐานะผู้บุกเบิกทอพอโลยีเชิงพีชคณิตที่ช่วยวางรากฐานให้กับสาขานี้ในยุคเริ่มต้น และในฐานะหนึ่งในผู้ก่อตั้งสถาบันวิจัยที่มีชื่อเสียงระดับโลกอย่าง Institute for Advanced Study

พหุนามอเล็กซานเดอร์และแนวคิดอื่น ๆ ที่เขาทิ้งไว้ยังคงเป็นเครื่องมือพื้นฐานสำคัญที่นักคณิตศาสตร์ทฤษฎีปมและทอพอโลยีทั่วโลกใช้งานอยู่ในปัจจุบัน สะท้อนให้เห็นถึงคุณูปการอันยั่งยืนของนักคณิตศาสตร์ผู้เดินทางจากโลกแห่งศิลปะและธุรกิจ สู่การเป็นหนึ่งในผู้บุกเบิกสำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่