เปาโล รุฟฟีนี: แพทย์ผู้ท้าทายความเชื่อเรื่องการแก้สมการดีกรีห้า

ก่อนที่ นีลส์ เฮนริก อาเบล (Niels Henrik Abel) จะพิสูจน์อย่างสมบูรณ์ว่าสมการดีกรี 5 ทั่วไปไม่สามารถแก้ได้ด้วยสูตรพีชคณิต มีนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีคนหนึ่งที่พยายามพิสูจน์ข้อความเดียวกันนี้มาก่อนแล้วเกือบสองทศวรรษ เปาโล รุฟฟีนี (Paolo Ruffini) คือนักคณิตศาสตร์และแพทย์ผู้ได้รับการยกย่องว่าเป็นบุคคลแรกที่พยายามพิสูจน์อย่างจริงจังว่าไม่มีคำตอบเชิงพีชคณิตสำหรับสมการทั่วไปดีกรีห้า แม้การพิสูจน์ของเขาจะยังไม่สมบูรณ์เต็มที่ตามมาตรฐานที่เข้มงวดในภายหลังก็ตาม

ชีวิตช่วงต้นในรัฐสันตะปาปา

รุฟฟีนีเกิดเมื่อวันที่ 22 กันยายน ค.ศ. 1765 ที่เมืองวาเลนตาโน รัฐสันตะปาปา (ปัจจุบันอยู่ในประเทศอิตาลี) เป็นบุตรของ Basilio Ruffini แพทย์ประจำเมือง เมื่อรุฟฟีนีอยู่ในวัยรุ่น ครอบครัวของเขาย้ายไปยังเมืองเรจโจใกล้กับเมืองโมเดนา

ในวัยเด็ก รุฟฟีนีตั้งใจจะเข้าสู่ฐานะนักบวช (Holy orders) และถึงขั้นได้รับการโกนผมแบบนักบวช (tonsure) แล้ว แต่ในภายหลังเขาเปลี่ยนใจ และเข้าศึกษาต่อที่มหาวิทยาลัยโมเดนาในปี ค.ศ. 1783 เพื่อศึกษาคณิตศาสตร์ การแพทย์ ปรัชญา และวรรณกรรม โดยมีอาจารย์ผู้สอนที่มีชื่อเสียงหลายท่าน อาทิ Luigi Fantini ผู้สอนเรขาคณิต และ Paolo Cassiani ผู้สอนแคลคูลัส

นักศึกษาผู้กลายเป็นอาจารย์ตั้งแต่ยังเรียนไม่จบ

เหตุการณ์ที่น่าสนใจเกิดขึ้นในปี ค.ศ. 1787 เมื่อตระกูล Este ผู้ปกครองเมืองโมเดนาในขณะนั้นแต่งตั้ง Cassiani อาจารย์ของรุฟฟีนีให้ดำรงตำแหน่งสมาชิกสภา ทำให้เขาต้องออกจากมหาวิทยาลัย รุฟฟีนีซึ่งยังเป็นนักศึกษาอยู่จึงได้รับมอบหมายให้สอนวิชารากฐานของการวิเคราะห์ (foundations of analysis) แทนอาจารย์ของตนเองตลอดปีการศึกษา ค.ศ. 1787–1788

รุฟฟีนีสำเร็จการศึกษาในปี ค.ศ. 1788 ด้วยปริญญาทั้งด้านปรัชญา การแพทย์ และคณิตศาสตร์ และในฤดูใบไม้ร่วงปีเดียวกันนั้นเอง เขาก็ได้รับตำแหน่งถาวรเป็นศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยโมเดนา ขณะอายุเพียง 22 ปี ในปี ค.ศ. 1791 เขายังได้รับใบอนุญาตประกอบวิชาชีพแพทย์จากศาลการแพทย์แห่งเมืองโมเดนาอีกด้วย ทำให้รุฟฟีนีกลายเป็นทั้งนักคณิตศาสตร์และแพทย์ผู้ประกอบวิชาชีพควบคู่กันไปตลอดชีวิต

ทฤษฎีบทอาเบล-รุฟฟีนี: ก้าวสำคัญก่อนยุคของอาเบล

ผลงานที่สร้างชื่อเสียงให้กับรุฟฟีนีมากที่สุดในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์คือความพยายามพิสูจน์ว่าสมการทั่วไปดีกรีห้า (general quintic equation) ไม่มีคำตอบเชิงพีชคณิตด้วยราก (algebraic solution with radicals) ในปี ค.ศ. 1799 เขาได้ตีพิมพ์ผลงาน La teoria generale delle equazioni ซึ่งนำเสนอการพิสูจน์แรกของเขาในเรื่องนี้ โดยอาศัยความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์และการเรียงสับเปลี่ยน (permutations) ที่ค้นพบโดย โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากรานฌ์ (Joseph-Louis Lagrange) ก่อนหน้านั้นไม่กี่ปี

อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ครั้งแรกนี้ถูกวิพากษ์วิจารณ์ว่ายังไม่สมบูรณ์เพียงพอ รุฟฟีนีจึงตีพิมพ์ฉบับปรับปรุงในปี ค.ศ. 1813 หลังจากถกเถียงกับนักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงหลายคน แม้ผู้เชี่ยวชาญบางคนยังคงมีความกังขาต่อความสมบูรณ์ของการพิสูจน์นี้ แต่ก็ได้รับการยอมรับจาก โอกุสแต็ง-ลุยส์ โกชี (Augustin-Louis Cauchy) นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงในขณะนั้น

ในปี ค.ศ. 1824 นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ นีลส์ เฮนริก อาเบล ได้ตีพิมพ์การพิสูจน์ที่สมบูรณ์และเข้มงวดยิ่งขึ้น ซึ่งยืนยันข้อสรุปเดียวกันกับที่รุฟฟีนีเคยเสนอไว้ ปัจจุบันผลลัพธ์นี้จึงเป็นที่รู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทอาเบล-รุฟฟีนี (Abel–Ruffini theorem) เพื่อให้เกียรติแก่ทั้งสองคน แม้รุฟฟีนีจะเป็นผู้บุกเบิกแนวคิดนี้ก่อน แต่ความไม่สมบูรณ์ในรายละเอียดบางประการของการพิสูจน์ทำให้เขาไม่ได้รับเครดิตเต็มที่เทียบเท่ากับอาเบลในสายตาของประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์กระแสหลัก

งานของรุฟฟีนีในเรื่องนี้ยังมีความสำคัญในฐานะที่เป็นการพัฒนาทฤษฎีการแทนที่ (theory of substitutions) ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นสำคัญที่นำไปสู่การพัฒนาทฤษฎีกรุ๊ปสมัยใหม่ (modern group theory) ในเวลาต่อมา

กฎของรุฟฟีนี: เครื่องมือหารพหุนามที่ยังใช้กันในโรงเรียนทุกวันนี้

นอกเหนือจากทฤษฎีบทอาเบล-รุฟฟีนีแล้ว ผลงานที่รุฟฟีนีทิ้งไว้และยังคงมีการใช้งานอย่างกว้างขวางในปัจจุบันคือ กฎของรุฟฟีนี (Ruffini’s rule) ซึ่งเป็นวิธีการหารพหุนามแบบสังเคราะห์ (synthetic division) ที่ใช้หารพหุนามด้วยตัวประกอบเชิงเส้นในรูป (x – r) ได้อย่างรวดเร็วและมีประสิทธิภาพ

ในเวลาต่อมา ศาสตราจารย์ Florian Cajori ได้ชี้ให้เห็นว่าวิธีการคำนวณของรุฟฟีนีมีความเหมือนกันโดยพื้นฐานกับสิ่งที่รู้จักกันในชื่อ “วิธีของฮอร์เนอร์” (Horner’s method) ซึ่งพัฒนาโดย William George Horner ในเวลาต่อมา และวิธีของรุฟฟีนีมีความชัดเจนและครบถ้วนไม่แพ้การอธิบายของฮอร์เนอร์เองในปี ค.ศ. 1819 ด้วยเหตุนี้ บางครั้งเทคนิคนี้จึงถูกเรียกว่า “วิธีรุฟฟีนี-ฮอร์เนอร์” (Ruffini-Horner method) เพื่อให้เกียรติแก่ทั้งสองคน กฎของรุฟฟีนียังคงเป็นเทคนิคพื้นฐานที่สอนกันในโรงเรียนมัธยมศึกษาทั่วโลกมาจนถึงทุกวันนี้ ในฐานะเครื่องมือสำคัญสำหรับการหารพหุนามอย่างรวดเร็ว

ความมั่นคงในความเชื่อทางศาสนา

รุฟฟีนีเป็นคาทอลิกผู้เคร่งครัดตลอดชีวิต เมื่อฝรั่งเศสภายใต้การนำของนโปเลียน โบนาปาร์ตเข้ายึดครองดัชชีโมเดนาในปี ค.ศ. 1796 รุฟฟีนีได้รับแต่งตั้งให้ดำรงตำแหน่งในองค์กรนิติบัญญัติของสาธารณรัฐซิสอัลไพน์ แต่เมื่อสาธารณรัฐใหม่เรียกร้องให้เขาสาบานตนจงรักภักดี รุฟฟีนีปฏิเสธด้วยเหตุผลทางศาสนา ทำให้เขาถูกห้ามไม่ให้ดำรงตำแหน่งอาจารย์หรือตำแหน่งราชการใด ๆ

แม้จะถูกกีดกันจากตำแหน่งทางวิชาการ รุฟฟีนีก็ไม่ย่อท้อ เขายังคงประกอบวิชาชีพแพทย์และทำงานวิจัยทางคณิตศาสตร์ต่อไปจนกระทั่งนโปเลียนพ่ายแพ้ในปี ค.ศ. 1814 ซึ่งในปีเดียวกันนั้นเขาก็เดินทางกลับมหาวิทยาลัยโมเดนาอย่างถาวร และได้รับแต่งตั้งเป็นอธิการบดี (rector) พร้อมทั้งสอนวิชาคณิตศาสตร์และการแพทย์ควบคู่กันไป เขาดำรงตำแหน่งประธานของ Accademia nazionale delle scienze ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1816 จนกระทั่งเสียชีวิต

ผลงานด้านการแพทย์และปรัชญา

นอกเหนือจากคณิตศาสตร์ รุฟฟีนียังมีผลงานตีพิมพ์ด้านการแพทย์และปรัชญาอีกหลายชิ้น เช่น Della immortalità dell’anima (ว่าด้วยความเป็นอมตะของจิตวิญญาณ) ในปี ค.ศ. 1806 ซึ่งอุทิศให้กับสมเด็จพระสันตะปาปาปิอุสที่ 7 ผู้ซึ่งส่งเหรียญทองคำมามอบให้เป็นการตอบแทน และ Riflessioni critiche sopra il saggio filosofico intorno alle probabilità del signor conte Laplace ในปี ค.ศ. 1821 ซึ่งเป็นบทวิจารณ์เชิงวิพากษ์ต่อผลงานปรัชญาว่าด้วยความน่าจะเป็นของเคานต์ลาปลาส แสดงให้เห็นถึงความรอบรู้ของรุฟฟีนีทั้งในด้านอภิปรัชญาและประเด็นทางศาสนา

ในปี ค.ศ. 1820 ระหว่างการระบาดของโรคไข้รากสาดใหญ่ (typhus) รุฟฟีนีได้อุทิศตนดูแลรักษาผู้ป่วยอย่างเต็มที่ในฐานะแพทย์ จนตัวเขาเองติดเชื้อโรคนี้ด้วย และตีพิมพ์บันทึกความจำเรื่อง “Memoria sul tifo contagioso” เกี่ยวกับประสบการณ์ของเขาในเรื่องนี้

บั้นปลายชีวิตและมรดกที่ทิ้งไว้

เปาโล รุฟฟีนีเสียชีวิตเมื่อวันที่ 10 พฤษภาคม ค.ศ. 1822 ที่เมืองโมเดนา ขณะอายุ 56 ปี จากภาวะแทรกซ้อนทางสุขภาพที่อาจเกี่ยวเนื่องกับการติดเชื้อไข้รากสาดใหญ่ที่เขาได้รับขณะดูแลผู้ป่วยเมื่อสองปีก่อน

แม้การพิสูจน์ทฤษฎีบทอาเบล-รุฟฟีนีของเขาจะยังไม่สมบูรณ์เต็มที่ตามมาตรฐานความเข้มงวดในปัจจุบัน แต่รุฟฟีนีก็ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้บุกเบิกคนสำคัญที่ปูทางไปสู่การพัฒนาทฤษฎีกรุ๊ปสมัยใหม่ ผ่านทฤษฎีการแทนที่ที่เขาริเริ่มไว้ ขณะที่กฎของรุฟฟีนีเพื่อการหารพหุนามยังคงเป็นเครื่องมือพื้นฐานที่นักเรียนคณิตศาสตร์ทั่วโลกเรียนรู้กันมาจนถึงทุกวันนี้ เรื่องราวชีวิตของรุฟฟีนีสะท้อนให้เห็นถึงความเป็นนักปราชญ์รอบด้าน (polymath) ผู้ผสมผสานบทบาทของนักคณิตศาสตร์ แพทย์ และผู้ยึดมั่นในหลักการทางศาสนาเข้าไว้ด้วยกันอย่างกลมกลืน