ฮันส์ ไฮล์บรอนน์: ผู้ไขปัญหาเลขคลาสของสนามกำลังสองจินตภาพ

Hans Heilbronn (1908–1975)

นักคณิตศาสตร์เชื้อสายเยอรมัน-อังกฤษผู้มีผลงานสำคัญด้านทฤษฎีจำนวน โดยเฉพาะ “ปัญหาเลขคลาส” (class number problem) ของสนามกำลังสองจินตภาพ (imaginary quadratic field) ซึ่งเขาพิสูจน์ได้ว่ามีสนามกำลังสองจินตภาพที่มีเลขคลาสเท่ากับ 1 เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น โดยต่อยอดจากงานของเฮคเคอ ดอยริง และมอร์เดลล์

ชีวิตช่วงต้นในเบอร์ลิน

ฮันส์ อาร์โนลด์ ไฮล์บรอนน์ เกิดเมื่อวันที่ 8 ตุลาคม ค.ศ. 1908 ที่กรุงเบอร์ลิน ประเทศเยอรมนี ในครอบครัวชาวยิวชนชั้นกลาง เขาเข้าเรียนที่ Realgymnasium Berlin-Schmargendorf ระหว่างปี 1914–1926 ก่อนจะเข้าศึกษาต่อในระดับมหาวิทยาลัยที่เบอร์ลิน ไฟรบวร์ก และเกิททิงเงน ที่เกิททิงเงนนี้เองที่เขาได้ศึกษาภายใต้การดูแลของเอ็ดมุนด์ ลันเดา (Edmund Landau) นักคณิตศาสตร์ชื่อดังด้านทฤษฎีจำนวน และสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาเอกในปี 1933 ด้วยวิทยานิพนธ์เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ ซึ่งต่อยอดแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับข้อความคาดการณ์ของแบร์ทรันด์ (Bertrand’s conjecture)

หนีภัยนาซีสู่อังกฤษ

หลังสำเร็จการศึกษา ไฮล์บรอนน์ทำงานเป็นผู้ช่วยของลันเดาอยู่ระยะหนึ่ง แต่เมื่อกฎหมายข้าราชการพลเรือนของนาซี (Nazi Civil Service Law) ในปี 1933 บังคับให้ชาวยิวถูกไล่ออกจากตำแหน่งราชการ ไฮล์บรอนน์จึงถูกบีบให้ลาออกและหนีออกจากเยอรมนีไปยังประเทศอังกฤษ ที่นั่นหลุยส์ มอร์เดลล์ (Louis Mordell) นักคณิตศาสตร์ชื่อดังได้ช่วยจัดหาตำแหน่งงานให้เขาที่เมืองแมนเชสเตอร์ ก่อนที่ไฮล์บรอนน์จะได้รับตำแหน่งชั่วคราวที่เมืองบริสตอล ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่เขาสร้างผลงานวิจัยที่มีชื่อเสียงที่สุดร่วมกับอี.เอช. ลินฟูท (E. H. Linfoot)

ปัญหาเลขคลาสของเกาส์

ปัญหาเลขคลาสเป็นคำถามเก่าแก่ที่ตั้งขึ้นโดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ เกี่ยวกับ “เลขคลาส” (class number) ของสนามกำลังสองจินตภาพ Q(√−d) ซึ่งเป็นปริมาณที่วัดความซับซ้อนของโครงสร้างไอดีลในวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตของสนามนั้น เกาส์ตั้งข้อสันนิษฐานว่าเลขคลาสของ Q(√−d) จะมีค่าเพิ่มขึ้นแบบไม่มีขอบเขตเมื่อค่า d เพิ่มขึ้น

ไฮล์บรอนน์ประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานนี้ได้สำเร็จ โดยอาศัยแนวคิดที่สืบทอดมาจากงานของเอริช เฮคเคอ (Erich Hecke) มักซ์ ดอยริง (Max Deuring) และหลุยส์ มอร์เดลล์ ผลลัพธ์นี้มีความสำคัญอย่างยิ่ง เพราะเป็นก้าวสำคัญที่นำไปสู่การแก้ปัญหาเลขคลาสเท่ากับ 1 อย่างสมบูรณ์ในเวลาต่อมา ผลงานของไฮล์บรอนน์ยังได้รับการวางนัยทั่วไปเพิ่มเติมในเวลาต่อมาโดยคาร์ล ซีเกล (Carl Siegel) และริชาร์ด บราวเออร์ (Richard Brauer)

สนามกำลังสองจินตภาพที่มีเลขคลาสเท่ากับ 1

ผลงานที่โด่งดังที่สุดของไฮล์บรอนน์เกิดจากความร่วมมือกับอี.เอช. ลินฟูทที่เมืองบริสตอล ทั้งสองสามารถพิสูจน์ได้ว่า มีสนามกำลังสองจินตภาพที่มีเลขคลาสเท่ากับ 1 อยู่ไม่เกินสิบสนามเท่านั้น (กล่าวคือ d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 ซึ่งเป็นเก้าค่าที่ทราบแน่นอน และอาจมีค่าที่สิบที่ยังไม่แน่ชัด) ผลลัพธ์นี้มีความสำคัญมากเพราะเกี่ยวข้องโดยตรงกับปัญหาว่า จำนวนเต็มใดบ้างที่วงแหวนจำนวนเต็มของสนามกำลังสองจินตภาพมีสมบัติการแยกตัวประกอบเฉพาะแบบเอกภาพ (unique factorization)

ปัญหาเรื่องค่าที่สิบที่อาจเป็นไปได้ถูกไขในเวลาต่อมาโดยเคิร์ต เฮกเนอร์ (Kurt Heegner) ซึ่งพิสูจน์ในปี 1952 ว่าสนามที่สิบดังกล่าวไม่มีอยู่จริง ทำให้ปัญหานี้ได้รับการปิดลงอย่างสมบูรณ์ในที่สุด แม้บทพิสูจน์ของเฮกเนอร์จะมีข้อบกพร่องเล็กน้อยที่ต้องรอการแก้ไขจากนักคณิตศาสตร์รุ่นหลัง แต่แนวคิดหลักของเขาก็ได้รับการยอมรับว่าถูกต้อง ค่า d = 163 ซึ่งเป็นค่าสุดท้ายในรายการจึงเป็นที่รู้จักกันในชื่อ “จำนวนเฮกเนอร์ตัวที่เก้า” ที่มีความสำคัญอย่างมากในทฤษฎีจำนวน

มิตรภาพและการสนับสนุนจากมอร์เดลล์

หลุยส์ มอร์เดลล์มีบทบาทสำคัญอย่างมากต่อชีวิตและอาชีพการงานของไฮล์บรอนน์ ไม่เพียงช่วยจัดหาที่พักให้เขาที่แมนเชสเตอร์เมื่อแรกหนีมาถึงอังกฤษเท่านั้น แต่ยังมอบทุนการศึกษาให้เขาในปี 1934 อีกด้วย ความช่วยเหลือเหล่านี้มีส่วนสำคัญที่ทำให้ไฮล์บรอนน์สามารถสร้างผลงานวิจัยอันทรงคุณค่าต่อมาได้สำเร็จ

อาชีพการงานที่เคมบริดจ์และบริสตอล

ตั้งแต่ปี 1935 ไฮล์บรอนน์ได้รับตำแหน่ง Bevan Fellowship ที่ Trinity College มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่เขาร่วมงานกับฮาโรลด์ เดเวนพอร์ต (Harold Davenport) นักคณิตศาสตร์ชื่อดังอีกคนหนึ่ง ทว่าในปี 1940 ไฮล์บรอนน์ถูกกักขังในฐานะ “คนต่างด้าวศัตรู” (enemy alien) ตามนโยบายของรัฐบาลอังกฤษในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง ก่อนจะได้รับการปลดปล่อยและเข้ารับราชการในกองทัพอังกฤษในเวลาต่อมา

หลังสงครามสิ้นสุดลง ไฮล์บรอนน์กลับไปรับตำแหน่ง Reader ที่มหาวิทยาลัยบริสตอลในปี 1946 และก้าวขึ้นเป็นศาสตราจารย์และหัวหน้าภาควิชาในปี 1949 เขาได้รับเลือกเป็นสมาชิกของ Royal Society ในปี 1951 ซึ่งเป็นเกียรติยศทางวิชาการระดับสูงสุดของสหราชอาณาจักร และดำรงตำแหน่งประธานของ London Mathematical Society ระหว่างปี 1959–1961

ย้ายถิ่นสู่แคนาดา

ในปี 1964 ไฮล์บรอนน์ลาออกจากตำแหน่งที่บริสตอลและย้ายไปยังทวีปอเมริกาเหนือ โดยเข้ารับตำแหน่งศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยโทรอนโต ประเทศแคนาดา และได้รับสัญชาติแคนาดาอย่างเป็นทางการในปี 1970

บั้นปลายชีวิต

ไฮล์บรอนน์มีอาการหัวใจวายในปี 1973 และเสียชีวิตเมื่อวันที่ 28 เมษายน ค.ศ. 1975 ที่เมืองโทรอนโต ประเทศแคนาดา ระหว่างการผ่าตัดฝังเครื่องกระตุ้นหัวใจ (pacemaker) ขณะอายุ 66 ปี

มรดกที่ทิ้งไว้

ผลงานของฮันส์ ไฮล์บรอนน์ในการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของเกาส์เกี่ยวกับเลขคลาสของสนามกำลังสองจินตภาพ ถือเป็นหนึ่งในความสำเร็จสำคัญของทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตในศตวรรษที่ 20 ผลงานร่วมกับลินฟูทที่จำกัดจำนวนสนามกำลังสองจินตภาพที่มีเลขคลาสเท่ากับ 1 ให้เหลือเพียงไม่เกินสิบสนาม ยังคงเป็นผลลัพธ์คลาสสิกที่ถูกอ้างอิงถึงในการศึกษาทฤษฎีจำนวนพีชคณิตและเรขาคณิตเลขคณิต (arithmetic geometry) มาจนถึงปัจจุบัน และเป็นตัวอย่างสำคัญของความร่วมมือทางวิชาการข้ามรุ่นที่เริ่มต้นจากเฮคเคอ สู่ดอยริงและมอร์เดลล์ ก่อนจะมาบรรจบที่ไฮล์บรอนน์ และปิดท้ายด้วยเฮกเนอร์ในที่สุด