ดอริส แชตต์ชไนเดอร์: นักคณิตศาสตร์ผู้ไขรหัสเรขาคณิตเบื้องหลังภาพของเอเชอร์

เมื่อเราเห็นภาพปลา นก หรือกิ้งก่าที่ค่อยๆ ประสานกันเต็มพื้นที่ในงานของเอ็ม. ซี. เอเชอร์ (M. C. Escher) ศิลปินชาวดัตช์ เราอาจตื่นตาตื่นใจกับความงาม แต่ ดอริส แชตต์ชไนเดอร์ (Doris Schattschneider) นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน ถามต่อไปว่า เบื้องหลังนั้นมีโครงสร้างทางคณิตศาสตร์อะไรอยู่ และเอเชอร์สร้างมันขึ้นมาอย่างไร เธอเกิดเมื่อวันที่ 19 ตุลาคม ค.ศ. 1939 ที่สเตเทนไอแลนด์ นครนิวยอร์ก และเป็นผู้เชี่ยวชาญด้านการปูกระเบื้องระนาบ (tilings) และคณิตศาสตร์ในงานศิลปะของเอเชอร์ที่ได้รับการยอมรับมากที่สุดคนหนึ่งของโลก

ชีวิตช่วงต้นและการศึกษา

ดอริสมีนามสกุลเดิมว่าวูด (Wood) มารดาของเธอชื่อชาร์ล็อตต์ เป็นครูสอนภาษาละติน เธอเริ่มเข้าเรียนที่เมืองเลกแพลซิด ก่อนที่จะศึกษาต่อที่มหาวิทยาลัยเยล และได้รับปริญญาเอกในปี ค.ศ. 1966 จากวิทยานิพนธ์เรื่อง “Restricted Roots of a Semi-simple Algebraic Group” ซึ่งเป็นงานด้านกรุ๊ปพีชคณิต โดยมีสึเนโอะ ทามางาวะ (Tsuneo Tamagawa) และอิจิโร ซาตาเกะ (Ichirô Satake) เป็นอาจารย์ที่ปรึกษา

ต่อมาเธอเป็นศาสตราจารย์สาขาคณิตศาสตร์ที่วิทยาลัยโมเรเวียน (Moravian College) ในรัฐเพนซิลเวเนีย จนเกษียณเป็นศาสตราจารย์กิตติคุณ ความสนใจของเธอค่อยๆ ขยับจากพีชคณิตนามธรรมไปสู่เรขาคณิตของลวดลายและสมมาตร

จากกรุ๊ปสมมาตรสู่ศิลปะของเอเชอร์

แชตต์ชไนเดอร์เริ่มหลงใหลงานของเอเชอร์ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1976 และเป็นหนึ่งในผู้ร่วมสร้างของเล่นเชิงคณิตศาสตร์ที่ชื่อ “คาไลโดไซเคิล” (Escher Kaleidocycles) ร่วมกับวอลเลซ วอล์กเกอร์ (Wallace Walker) ในปี ค.ศ. 1977 ในด้านวิชาการ เธอตีพิมพ์บทความ “The plane symmetry groups: Their recognition and notation” ในปี ค.ศ. 1978 ซึ่งอธิบายวิธีจำแนกและเรียกชื่อกรุ๊ปสมมาตรของลวดลายระนาบทั้ง 17 แบบ (wallpaper groups) ให้ผู้อ่านนำไปใช้ได้จริง

ผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดของความหลงใหลนี้คือหนังสือ “M. C. Escher: Visions of Symmetry” ตีพิมพ์ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1990 โดยสำนักพิมพ์ W. H. Freeman และมีฉบับปรับปรุงในปี ค.ศ. 2004 ซึ่งมีบทส่งท้ายสรุปความก้าวหน้าของหัวข้อนี้ระหว่างปี ค.ศ. 1990-2004 หนังสือเล่มนี้ตรวจสอบสมุดบันทึกของเอเชอร์ในช่วงปี ค.ศ. 1938-1941 และนำเสนอภาพวาดคาบทั้ง 137 ภาพกับแบบลายอีก 14 แบบ พร้อมวิเคราะห์ชนิดของระบบ กรุ๊ปสมมาตร และบันทึกของเอเชอร์เอง ในแต่ละภาพ นอกจากนี้ยังอธิบายว่าเอเชอร์ใช้สมมาตรสองสีและหลายสีอย่างกว้างขวาง และนำภาพวาดคาบเหล่านั้นไปพัฒนาเป็นงานพิมพ์สำเร็จรูปอย่างไร

นักวิจารณ์ยกย่องว่าหนังสือเล่มนี้ตอบคำถามว่า “เขาทำได้อย่างไร” ได้อย่างเป็นระบบ และมีขอบเขต ขนาด และความงดงามที่ไม่มีหนังสือเกี่ยวกับเอเชอร์เล่มอื่นเทียบได้ มีนักวิจารณ์คนหนึ่งสรุปว่าเธอเขียนหนังสือเรื่องเอเชอร์ “เพื่อนักคณิตศาสตร์” ต่อมาเธอยังร่วมกับมีเกเล เอมเมอร์ (Michele Emmer) แก้ไขหนังสือ “M. C. Escher’s Legacy: A Centennial Celebration” (ค.ศ. 2003) เนื่องในวาระครบรอบหนึ่งศตวรรษของเอเชอร์

เรื่องราวของมาร์จอรี ไรซ์ และ “การยกย่องมือสมัครเล่น”

หนึ่งในเรื่องที่คนจดจำเกี่ยวกับแชตต์ชไนเดอร์คือบทบาทของเธอในการเปิดเผยผลงานของมาร์จอรี ไรซ์ (Marjorie Rice) แม่บ้านผู้ไม่มีพื้นฐานคณิตศาสตร์ระดับสูง ซึ่งหลังอ่านคอลัมน์ของมาร์ติน การ์ดเนอร์ (Martin Gardner) เรื่องการปูกระเบื้องด้วยห้าเหลี่ยม ก็ค้นพบแบบการปูกระเบื้องด้วยห้าเหลี่ยมนูนชนิดใหม่ ซึ่งนับกันว่ามีสี่ชนิดที่เธอค้นพบ

การ์ดเนอร์ส่งงานของไรซ์ให้แชตต์ชไนเดอร์ซึ่งเป็นผู้เชี่ยวชาญด้านลวดลายการปูกระเบื้อง เธอสงสัยในตอนแรก แต่เมื่อตรวจสอบอย่างละเอียดก็ยืนยันได้ว่าผลลัพธ์ของไรซ์ถูกต้อง เธอจึงช่วยการ์ดเนอร์เผยแพร่การค้นพบนี้ และยกย่องงานของไรซ์ว่าเป็นผลงานสำคัญของนักคณิตศาสตร์สมัครเล่น โดยต่อมาในปี ค.ศ. 1981 เธอเขียนบทความ “In praise of amateurs” (ยกย่องมือสมัครเล่น) และในการบรรยายครั้งหนึ่ง เธอแนะนำไรซ์ให้ผู้ฟังรู้จักในฐานะผู้ที่เดินหน้าการศึกษาเรื่องการปูกระเบื้องด้วยตนเอง เรื่องนี้เป็นตัวอย่างที่ชัดเจนว่าคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นของนักวิชาการเท่านั้น

ผลงานเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับการปูกระเบื้อง

นอกเหนือจากงานด้านเอเชอร์ แชตต์ชไนเดอร์ยังมีผลงานเชิงทฤษฎีในเรื่องการปูกระเบื้อง เช่นบทความ “One Corona is Enough for the Euclidean Plane” (ค.ศ. 1998) ที่เธอเขียนร่วมกับนิโคไล ดอลบิลิน (Nikolai Dolbilin) ซึ่งเกี่ยวกับเงื่อนไขเชิงท้องถิ่นของการปูกระเบื้องที่ส่งผลต่อโครงสร้างโดยรวม ผลงานเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าเธอไม่ใช่เพียงผู้เล่าเรื่องคณิตศาสตร์ในงานศิลปะ แต่เป็นผู้ทำวิจัยจริงในสาขาเรขาคณิตเชิงการจัดหมู่ที่ลึกซึ้ง

มรดกและความสำคัญ

สิ่งที่ทำให้ดอริส แชตต์ชไนเดอร์ โดดเด่นคือการเป็นสะพานเชื่อมระหว่างคณิตศาสตร์ที่เคร่งครัดกับศิลปะที่ดึงดูดสายตา เธอทำให้นักศึกษา ศิลปิน และผู้สนใจทั่วไปมองเห็นว่ากรุ๊ปสมมาตรไม่ใช่นามธรรมที่อยู่ห่างตัว แต่เป็นกฎที่ซ่อนอยู่ในกระเบื้อง ผ้า ลวดลาย และภาพวาดอันโด่งดังของเอเชอร์ ดอริส แชตต์ชไนเดอร์เกิดเมื่อวันที่ 19 ตุลาคม ค.ศ. 1939 และงานของเธอยังคงถูกอ่านและอ้างอิงโดยผู้ที่สนใจคณิตศาสตร์ของลวดลายและศิลปะทั่วโลก