8 กรกฎาคม ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์
วันนี้ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ : 8 กรกฎาคม
ทุกวันในปฏิทินล้วนมีเรื่องราวของคณิตศาสตร์ซ่อนอยู่ และวันที่ 8 กรกฎาคม ก็เป็นวันที่ผูกโยงกับบุคคลผู้ยิ่งใหญ่หลายท่าน ตั้งแต่ผู้วางรากฐานทฤษฎีความน่าจะเป็น ผู้ให้กำเนิดสัญลักษณ์ที่นักเรียนทุกคนคุ้นเคย ไปจนถึงนักคณิตศาสตร์ผู้ปฏิรูปวิธีคิดของคนทั้งศตวรรษ มาย้อนรอยกันครับ
☀️ คริสตียาน เฮยเคินส์ (Christiaan Huygens) — ถึงแก่กรรม ค.ศ. 1695
หากจะเลือกบุคคลสำคัญที่สุดของวันนี้ คงหนีไม่พ้น คริสตียาน เฮยเคินส์ นักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ และนักดาราศาสตร์ชาวดัตช์ ผู้ถึงแก่กรรมในวันที่ 8 กรกฎาคม ค.ศ. 1695 ณ กรุงเฮก เขาเป็นหนึ่งในนักวิทยาศาสตร์ที่ทรงอิทธิพลที่สุดของยุคก่อนนิวตัน
รากฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น
ในปี ค.ศ. 1657 เฮยเคินส์ตีพิมพ์หนังสือ De ratiociniis in ludo aleae (“ว่าด้วยการคำนวณในเกมเสี่ยงโชค”) ซึ่งถือเป็น ตำราเล่มแรกที่วางรากฐานทฤษฎีความน่าจะเป็นอย่างเป็นระบบ โดยได้แรงบันดาลใจจากจดหมายโต้ตอบระหว่างปัสกาลกับแฟร์มา
แนวคิดหัวใจที่เขานำเสนอคือ ค่าคาดหมาย (expectation) ซึ่งเป็นหลักการที่เรายังใช้จนถึงทุกวันนี้ หากผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือ $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ด้วยความน่าจะเป็น $p_1, p_2, \ldots, p_n$ ตามลำดับ ค่าคาดหมายจะเท่ากับ
$$ E = \sum_{i=1}^{n} p_i , x_i $$
เฮยเคินส์อธิบายไว้ในรูปของ “มูลค่าที่เป็นธรรม” ของการเข้าร่วมเกมพนัน กล่าวคือ ถ้าผู้เล่นมีโอกาสเท่ากันที่จะได้เงิน $a$ หรือ $b$ มูลค่าที่ยุติธรรมของโอกาสนั้นคือ
$$ \frac{a+b}{2} $$
ซึ่งเป็นกรณีเฉพาะของสูตรค่าคาดหมายเมื่อ $p_1 = p_2 = \tfrac{1}{2}$
เส้นโค้งไซคลอยด์และนาฬิกาลูกตุ้ม
อีกผลงานที่งดงามคือการศึกษา เส้นโค้งไซคลอยด์ (cycloid) ซึ่งเกิดจากรอยของจุดบนขอบวงกลมที่กลิ้งไปบนพื้นราบ เขียนในรูปพารามิเตอร์ได้เป็น
$$ x = r(\theta – \sin\theta), \qquad y = r(1 – \cos\theta) $$
เฮยเคินส์พิสูจน์ว่าไซคลอยด์มีสมบัติ tautochrone (หรือ isochrone) กล่าวคือ วัตถุที่ปล่อยให้ไถลลงตามเส้นโค้งนี้จะใช้เวลาถึงจุดต่ำสุด เท่ากันเสมอ ไม่ว่าจะเริ่มปล่อยจากตำแหน่งใดก็ตาม เขานำสมบัตินี้ไปออกแบบ นาฬิกาลูกตุ้ม (pendulum clock) ในปี ค.ศ. 1656 ซึ่งช่วยเพิ่มความแม่นยำในการบอกเวลาอย่างก้าวกระโดด
สำหรับลูกตุ้มอย่างง่ายที่แกว่งด้วยมุมเล็ก ๆ คาบการแกว่งประมาณได้ด้วย
$$ T \approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $$
แต่ความชาญฉลาดของเฮยเคินส์คือการใช้เส้นโค้งไซคลอยด์บังคับทางลูกตุ้ม เพื่อให้คาบ คงที่จริง แม้มุมแกว่งจะกว้างขึ้น
นอกจากนี้เฮยเคินส์ยังค้นพบดวงจันทร์ ไททัน ของดาวเสาร์ อธิบายวงแหวนของดาวเสาร์ได้ถูกต้อง และเสนอทฤษฎีคลื่นของแสง (Huygens’ principle) อันโด่งดัง
! คริสเตียน คร็อมพ์ (Christian Kramp) — ถือกำเนิด ค.ศ. 1760
เกร็ดที่ครูคณิตศาสตร์ทุกคนควรรู้จัก — คริสเตียน คร็อมพ์ นักคณิตศาสตร์และแพทย์ชาวฝรั่งเศส เกิดวันที่ 8 กรกฎาคม ค.ศ. 1760 คือ ผู้ริเริ่มใช้สัญลักษณ์แฟกทอเรียล $n!$ ในผลงานปี ค.ศ. 1808 ซึ่งเรายังใช้กันมาจนถึงปัจจุบัน
แฟกทอเรียลนิยามได้ว่า
$$ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n = \prod_{k=1}^{n} k, \qquad 0! = 1 $$
สัญลักษณ์เล็ก ๆ นี้กลายเป็นเครื่องมือพื้นฐานของ คณิตศาสตร์เชิงการจัด (combinatorics) เช่น จำนวนวิธีจัดเรียงของ $n$ สิ่งที่แตกต่างกัน และตัวเลขเชิงการจัดอย่างสัมประสิทธิ์ทวินาม
$$ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!,(n-r)!} $$
ที่น่าทึ่งคือแนวคิดนี้ขยายต่อไปสู่ ฟังก์ชันแกมมา (Gamma function) ซึ่งทำให้ “แฟกทอเรียล” มีความหมายแม้กับจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
$$ n! = \Gamma(n+1) = \int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-t}, dt $$
⚡ อองรี การ์ตอง (Henri Cartan) — ถือกำเนิด ค.ศ. 1904
อองรี การ์ตอง นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เกิดวันที่ 8 กรกฎาคม ค.ศ. 1904 เป็นบุตรชายของ Élie Cartan นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่อีกท่านหนึ่ง เขาเป็นหนึ่งในสมาชิกผู้ก่อตั้งกลุ่มนิรนาม Bourbaki ซึ่งปฏิรูปวิธีการเขียนและจัดระเบียบคณิตศาสตร์สมัยใหม่ให้ตั้งอยู่บนโครงสร้างเชิงสัจพจน์อย่างเข้มงวด
ผลงานสำคัญของการ์ตองครอบคลุมทั้ง การวิเคราะห์เชิงซ้อนหลายตัวแปร (several complex variables) ทฤษฎีชีฟ (sheaf theory) และ พีชคณิตเชิงโฮโมโลจี (homological algebra) ซึ่งกลายเป็นภาษามาตรฐานของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทอพอโลยีในเวลาต่อมา สัมมนา “Séminaire Cartan” ของเขาที่กรุงปารีสได้บ่มเพาะนักคณิตศาสตร์ระดับแนวหน้าของโลกจำนวนมาก
📅 เกร็ดอื่น ๆ ในวันที่ 8 กรกฎาคม
- ค.ศ. 1835 — เอดา ไบรอน (Ada Lovelace) แต่งงานกับ William King ต่อมาเธอกลายเป็นที่รู้จักในฐานะผู้เขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์คนแรกของโลกจากงานร่วมกับ Charles Babbage
- ค.ศ. 1971 — คูร์ท ไรเดอไมสเตอร์ (Kurt Reidemeister) ผู้บุกเบิก ทฤษฎีปม (knot theory) และเจ้าของ “Reidemeister moves” ถึงแก่กรรม
- ค.ศ. 2010 — เดวิด แบล็กเวลล์ (David Blackwell) นักสถิติผู้ยิ่งใหญ่ เจ้าของทฤษฎีบท Rao–Blackwell และเป็นนักวิชาการผิวสีคนแรกที่ได้รับเลือกเข้าสู่ National Academy of Sciences ถึงแก่กรรม
บทส่งท้าย
จากค่าคาดหมายในเกมเสี่ยงโชคของเฮยเคินส์ สู่สัญลักษณ์ $n!$ ของคร็อมพ์ และโครงสร้างเชิงนามธรรมของการ์ตอง วันที่ 8 กรกฎาคมเตือนเราว่าคณิตศาสตร์คือมรดกที่สั่งสมต่อกันมาหลายศตวรรษ แนวคิดที่เราสอนในห้องเรียนทุกวันนี้ ล้วนมีใบหน้าและเรื่องราวของผู้คนอยู่เบื้องหลัง
แล้วพบกันใหม่ในตอนต่อไปของ “วันนี้ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์” ครับ