วันนี้ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ : จอร์จ กรีน (14 กรกฎาคม ค.ศ. 1793)
ทุกครั้งที่นักศึกษาวิชาแคลคูลัสเวกเตอร์เปิดตำราไปเจอ ทฤษฎีบทกรีน (Green’s Theorem) ที่แปลงปริพันธ์รอบเส้นโค้งปิดให้กลายเป็นปริพันธ์สองชั้นบนพื้นที่ปิดล้อม แทบไม่มีใครนึกภาพออกว่าเจ้าของชื่อทฤษฎีบทนี้ไม่ได้เป็นศาสตราจารย์มหาวิทยาลัยตั้งแต่ต้น แต่เป็น มือโม่แป้งจากเมืองนอตทิงแฮม ที่ได้เรียนหนังสือในระบบเพียงปีเดียวในชีวิต
จากโรงสีลมสู่ทฤษฎีบท
จอร์จ กรีน เกิดที่เมืองสไนน์ตัน (Sneinton) ใกล้เมืองนอตทิงแฮม ประเทศอังกฤษ รับศีลล้างบาปในวันที่ 14 กรกฎาคม ค.ศ. 1793 บิดาของเขาเป็นช่างทำขนมปังที่ต่อมาสร้างฐานะจนมีโรงสีลมอิฐเป็นของตนเองในปี 1807 กรีนได้รับการศึกษาในระบบเพียงประมาณหนึ่งปี ระหว่างอายุ 8-9 ขวบ ที่เหลือทั้งหมดเขาเรียนรู้ด้วยตนเอง โดยใช้เวลาศึกษาคณิตศาสตร์อยู่บนชั้นบนของโรงสีลม ขณะที่ต้องทำงานเป็นช่างโม่แป้งอยู่ชั้นล่าง
ไม่มีใครทราบแน่ชัดว่ากรีนเข้าถึงตำราคณิตศาสตร์ยุคใหม่ของทวีปยุโรปได้อย่างไร นักประวัติศาสตร์สันนิษฐานว่าอาจได้รับอิทธิพลจากบาทหลวงจอห์น ทอปลิส (John Toplis) ผู้เชี่ยวชาญคณิตศาสตร์ฝรั่งเศสที่อาศัยอยู่ในละแวกเดียวกัน
ในปี 1828 กรีนตีพิมพ์ผลงานชิ้นสำคัญที่สุดในชีวิตด้วยทุนตนเอง ชื่อว่า An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism จำหน่ายแบบสมัครสมาชิกให้เพื่อนและคนรู้จักเพียง 51 คน ซึ่งส่วนใหญ่ไม่เข้าใจเนื้อหาเลยด้วยซ้ำ แต่ในบทความนี้เองที่ ทฤษฎีบทกรีน และ ฟังก์ชันกรีน (Green’s function) ปรากฏขึ้นเป็นครั้งแรก
หัวใจคณิตศาสตร์ของทฤษฎีบทกรีน
ทฤษฎีบทกรีนในรูปแบบที่นักศึกษาคุ้นเคยกล่าวว่า สำหรับสนามเวกเตอร์ $(P, Q)$ ที่ราบเรียบบนบริเวณ $D$ ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งปิดเรียบ $C$ ในทิศทวนเข็มนาฬิกา
$$ \oint_C \left(P,dx + Q,dy\right) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA $$
สมการนี้คือกรณีสองมิติของทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ (Divergence Theorem) และเป็นสะพานเชื่อมระหว่างปริพันธ์เส้นกับปริพันธ์พื้นที่ ซึ่งเป็นแนวคิดแกนกลางของวิชา Vector Analysis ที่สอนกันในหลักสูตรคณิตศาสตร์ทั่วโลก
ที่สำคัญไม่แพ้กันคือแนวคิด ฟังก์ชันกรีน ซึ่งกรีนใช้แก้สมการของปัวซง (Poisson’s equation) โดยเขียนคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยในรูปปริพันธ์ของฟังก์ชันที่แทนผลตอบสนองต่อแหล่งกำเนิดแบบจุด (point source) แนวคิดนี้ในปัจจุบันเป็นเครื่องมือมาตรฐานในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยทั้งในไฟฟ้าสถิต กลศาสตร์ควอนตัม และวิศวกรรมคลื่น
ชื่อเสียงที่มาช้าเกินไป
น่าเศร้าที่ผลงานของกรีนแทบไม่มีใครในวงการคณิตศาสตร์รู้จักระหว่างที่เขายังมีชีวิตอยู่ กรีนเสียชีวิตในปี 1841 หลังจากได้เข้าศึกษาที่วิทยาลัยกอนวิลล์แอนด์ไคอัส มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ในวัย 40 ปี ผลงานของเขาไม่ได้รับความสนใจอย่างแท้จริงจนกระทั่งปี 1846 เมื่อ ลอร์ดเคลวิน (William Thomson) ค้นพบบทความของกรีนโดยบังเอิญและนำไปเผยแพร่ต่อในวงกว้าง ทำให้แนวคิดของกรีนกลายเป็นรากฐานสำคัญของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ยุคใหม่ในเวลาต่อมา
ปัจจุบันโรงสีลมของครอบครัวกรีนได้รับการบูรณะและเปิดเป็นพิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์ George Green’s Windmill ที่เมืองนอตทิงแฮม เป็นอนุสรณ์ของนักคณิตศาสตร์ผู้ไม่เคยผ่านห้องเรียนมหาวิทยาลัยแต่ทิ้งมรดกทางคณิตศาสตร์ไว้ให้โลกอย่างมหาศาล
กิจกรรมชวนคิด
- ลองพิสูจน์ทฤษฎีบทกรีนสำหรับกรณีพิเศษที่ $D$ เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก โดยแยกพิจารณาปริพันธ์ตามแต่ละด้าน
- เพราะเหตุใดทฤษฎีบทกรีนจึงถือเป็นกรณีสองมิติของทฤษฎีบทสโตกส์ (Stokes’ Theorem)? ลองเขียนความเชื่อมโยงระหว่างสองทฤษฎีบทนี้
- ฟังก์ชันกรีนสำหรับสมการลาปลาซในวงกลมหนึ่งหน่วยมีรูปแบบอย่างไร? ลองสืบค้นและอธิบายการนำไปใช้แก้ปัญหาค่าขอบเขต
- เรื่องราวของกรีนสะท้อนอะไรเกี่ยวกับการเรียนรู้คณิตศาสตร์ด้วยตนเอง (self-taught mathematics) ในบริบทการศึกษาปัจจุบัน?
เอกสารอ้างอิง
Cannell, D. M. (2001). George Green: Mathematician and Physicist 1793–1841 (2nd ed.). Society for Industrial and Applied Mathematics.
O’Connor, J. J., & Robertson, E. F. (n.d.). George Green. MacTutor History of Mathematics Archive. University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Green/
University of Nottingham. (n.d.). George Green – Mathematician, Physicist and Miller. https://www.nottingham.ac.uk/physics/about/history/george-green.aspx
บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของซีรีส์ “วันนี้ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์” — ย้อนรอยเรื่องราวนักคณิตศาสตร์ที่หล่อหลอมโลกวิชาคณิตศาสตร์ในทุก ๆ วันของปี
