รำลึกถึง Henri Poincaré บิดาแห่งทอพอโลยีสมัยใหม่และผู้ค้นพบความอลวน

Henri Poincaré คือหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล ผู้วางรากฐานทอพอโลยีสมัยใหม่และเป็นผู้ค้นพบปรากฏการณ์ที่ต่อมากลายเป็นรากฐานของทฤษฎีความอลวน (chaos theory) ทั้งที่ในตอนแรกเขาเพียงต้องการแก้ปัญหาทางดาราศาสตร์ธรรมดาปัญหาหนึ่งเท่านั้น ในโอกาสนี้ เราขอย้อนรำลึกถึงชีวิตและผลงานของอัจฉริยะผู้นี้ ผู้ได้รับการขนานนามว่าเป็น “นักคณิตศาสตร์สากลนิยมคนสุดท้าย” ของโลก

วาระสุดท้ายของชีวิต 17 กรกฎาคม ค.ศ. 1912

Henri Poincaré เสียชีวิตเมื่อวันที่ 17 กรกฎาคม ค.ศ. 1912 ที่กรุงปารีส ด้วยภาวะเส้นเลือดอุดตันซึ่งเป็นภาวะแทรกซ้อนหลังการผ่าตัด ขณะมีอายุ 58 ปี การจากไปของเขาสร้างความสูญเสียครั้งใหญ่ให้กับวงการคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ในยุคนั้น เพราะเขายังคงทำงานวิจัยอย่างต่อเนื่องจนถึงวาระสุดท้าย และเป็นหนึ่งในผู้ที่ตามความก้าวหน้าของฟิสิกส์เชิงทฤษฎีร่วมสมัยอย่างใกล้ชิดตลอดชีวิต

แม้เวลาจะผ่านมากว่าศตวรรษแล้ว แต่ชื่อของ Poincaré ก็ยังไม่เคยจางหายไปจากวงการวิชาการ ทั้งในนามของทฤษฎีบท ข้อสันนิษฐาน และแนวคิดมากมายที่ยังใช้ชื่อของเขาอยู่จนถึงปัจจุบัน

อัจฉริยะแห่งเมือง Nancy

Jules-Henri Poincaré เกิดเมื่อวันที่ 29 เมษายน ค.ศ. 1854 ในครอบครัวที่มีฐานะดีที่เมือง Nancy ประเทศฝรั่งเศส เขาแสดงพรสวรรค์ทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์มาตั้งแต่วัยเยาว์ และมีวิธีคิดที่แปลกกว่านักคณิตศาสตร์ทั่วไป โดยนักคณิตศาสตร์ร่วมสมัยอย่าง Gaston Darboux เคยกล่าวว่า Poincaré เป็นคนที่คิดแบบสัญชาตญาณ (intuitif) เพราะมักทำงานผ่านการมองภาพในหัวมากกว่าการคำนวณเชิงพีชคณิตแบบเป็นขั้นตอน

ตลอดชีวิตการทำงาน Poincaré เป็นทั้งนักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ และนักปรัชญาวิทยาศาสตร์ในเวลาเดียวกัน เขาได้รับเลือกเข้าเป็นสมาชิกของ French Academy of Sciences ในปี ค.ศ. 1887 และดำรงตำแหน่งประธานของสถาบันนี้ในปี ค.ศ. 1906 นอกจากนี้ในปี ค.ศ. 1908 เขายังได้รับเลือกเข้าเป็นสมาชิกของ Académie Française จากผลงานหนังสือด้านปรัชญาและวิทยาศาสตร์ทั่วไปสามเล่มที่เขาเขียนขึ้น ตลอดชีวิตเขาตีพิมพ์งานวิจัยมากกว่า 500 ชิ้น และหนังสือกว่า 30 เล่ม

ปัญหาสามวัตถุที่นำไปสู่การค้นพบความอลวน

จุดเปลี่ยนสำคัญที่สุดจุดหนึ่งในชีวิตของ Poincaré เกิดขึ้นในปี ค.ศ. 1889 เมื่อพระเจ้า Oscar ที่ 2 แห่งสวีเดนได้ตั้งรางวัลสำหรับผู้ที่สามารถแก้ปัญหาที่นักคณิตศาสตร์ Karl Weierstrass ตั้งขึ้น เกี่ยวกับเสถียรภาพของระบบสุริยะ หรือที่รู้จักกันในชื่อ “ปัญหาสามวัตถุ” (three-body problem) ซึ่งเป็นโจทย์ที่นักคณิตศาสตร์ระดับตำนานอย่าง Euler, Lagrange และ Laplace ต่างเคยพยายามแก้มาแล้วแต่ไม่สำเร็จ

Poincaré ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้อย่างสมบูรณ์ แต่แนวทางการวิเคราะห์ของเขากลับสร้างความประทับใจมากพอที่จะได้รับรางวัลไป ที่น่าสนใจยิ่งกว่านั้นคือ หลังจากส่งผลงานไปแล้ว เขาพบว่าตนเองทำผิดพลาดจากคำถามที่นักคณิตศาสตร์ชาวสวีเดน Lars Edvard Phragmén ตั้งข้อสงสัยไว้ และต้องรีบแก้ไขงานอย่างเร่งด่วน ระหว่างกระบวนการแก้ไขนี้เองที่ Poincaré ค้นพบสิ่งที่น่าทึ่งอย่างยิ่ง นั่นคือระบบพลวัตที่กำหนดได้แน่นอน (deterministic system) กลับสามารถแสดงพฤติกรรมที่คาดเดาไม่ได้ในระยะยาว หากเงื่อนไขเริ่มต้นเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อย เขาบรรยายลักษณะของวิถีการเคลื่อนที่ที่ซับซ้อนราวกับ “ตาข่ายที่มีรอยหยักซับซ้อนไม่รู้จบ” ซึ่งเป็นการอธิบายเชิงคณิตศาสตร์ครั้งแรกของสิ่งที่ปัจจุบันเรียกกันว่าความอลวน

ในเวลาต่อมา Poincaré เขียนไว้ในหนังสือ Science and Method อธิบายแนวคิดนี้ไว้อย่างเรียบง่ายว่า ความแตกต่างเพียงเล็กน้อยในเงื่อนไขเริ่มต้นของระบบสามารถนำไปสู่ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันอย่างมหาศาลในท้ายที่สุด ทำให้การพยากรณ์ระยะยาวเป็นไปไม่ได้ แนวคิดนี้เองที่กลายเป็นรากฐานสำคัญของทฤษฎีความอลวนที่พัฒนาต่อยอดอย่างจริงจังในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 เมื่อคอมพิวเตอร์ทำให้นักคณิตศาสตร์สามารถศึกษาระบบที่ซับซ้อนเหล่านี้ได้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

บิดาแห่งทอพอโลยีสมัยใหม่

นอกเหนือจากงานด้านกลศาสตร์ท้องฟ้าแล้ว Poincaré ยังได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้ก่อตั้งสาขาทอพอโลยีเชิงพีชคณิต (algebraic topology) เขาเป็นผู้ริเริ่มแนวคิดเรื่องกลุ่มมูลฐาน (fundamental group) ในบทความที่ตีพิมพ์เมื่อปี ค.ศ. 1894 และพัฒนาทฤษฎีโฮโมโลยี (homology theory) ซึ่งเป็นเครื่องมือสำคัญในการศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนรูปอย่างต่อเนื่อง

ในปี ค.ศ. 1904 เขาตั้งข้อสันนิษฐานที่รู้จักกันในชื่อ ข้อความคาดการณ์ปวงกาเร (Poincaré conjecture) ซึ่งเกี่ยวกับคุณสมบัติทางทอพอโลยีของทรงกลมสามมิติ และกลายเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยากและสำคัญที่สุดของวงการคณิตศาสตร์นานเกือบศตวรรษ กระทั่งนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Grigori Perelman สามารถพิสูจน์ได้สำเร็จในปี ค.ศ. 2002 ซึ่งเป็นหนึ่งในเหตุการณ์สำคัญที่สุดของวงการคณิตศาสตร์ในยุคปัจจุบัน

มรดกที่ยังมีชีวิตอยู่แม้เวลาผ่านไปกว่าศตวรรษ

แม้ Poincaré จะจากไปแล้วกว่า 100 ปี แต่ผลงานของเขายังคงมีอิทธิพลต่อวงการคณิตศาสตร์และฟิสิกส์มาจนถึงทุกวันนี้ ทั้งในด้านกลศาสตร์ท้องฟ้า ทอพอโลยี และแม้แต่งานด้านฟิสิกส์เชิงสัมพัทธภาพที่เขาก็มีส่วนร่วมพัฒนารูปแบบสมัยใหม่ของการแปลงลอเรนซ์ (Lorentz transformation) ควบคู่ไปกับ Albert Einstein และ Hendrik Lorentz

ความน่าทึ่งของ Poincaré ไม่ได้อยู่แค่ปริมาณผลงานอันมหาศาล แต่อยู่ที่ความสามารถในการมองเห็นความเชื่อมโยงระหว่างสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกัน ไม่ว่าจะเป็นทอพอโลยี กลศาสตร์ท้องฟ้า หรือฟิสิกส์เชิงทฤษฎี เขาจึงได้รับการยกย่องให้เป็นหนึ่งใน “นักคณิตศาสตร์สากลนิยม” (universalist) คนสุดท้ายของโลก ผู้ที่สามารถเข้าใจและมีส่วนร่วมในแทบทุกแขนงของคณิตศาสตร์ในยุคของตนได้อย่างลึกซึ้ง

ในวันครบรอบการจากไปของเขาในทุกๆ ปี จึงเป็นโอกาสอันดีที่จะย้อนระลึกถึงชายผู้หนึ่งที่แม้จะไม่อยู่กับเราแล้ว แต่ความคิดของเขายังคงส่องทางให้นักวิทยาศาสตร์รุ่นแล้วรุ่นเล่าต่อไป