เซมยอน แกร์ชกอริน: ผู้วาดวงกลมล้อมรอบค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์

เซมยอน อาโรโนวิช แกร์ชกอริน (Semyon Aranovich Gershgorin) เกิดเมื่อวันที่ 24 สิงหาคม ค.ศ. 1901 ที่เมืองพรูชานี ซึ่งขณะนั้นเป็นส่วนหนึ่งของจักรวรรดิรัสเซีย (ปัจจุบันอยู่ในประเทศเบลารุส) ในครอบครัวชาวยิวเชื้อสายเบลารุส แม้จะมีชีวิตอยู่เพียงสั้น ๆ เพียง 31 ปี แต่แกร์ชกอรินก็ทิ้งผลงานทางคณิตศาสตร์ไว้ที่ยังคงเป็นเครื่องมือพื้นฐานสำคัญในพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขมาจนถึงทุกวันนี้

นักคณิตศาสตร์ผู้เชี่ยวชาญด้านการประมาณค่าเชิงตัวเลข

แกร์ชกอรินเริ่มการศึกษาที่สถาบันเทคโนโลยีเปโตรกราด (Petrograd Technological Institute) ในปี 1923 และปกป้องวิทยานิพนธ์อันโดดเด่นที่เสนอต่อภาควิชากลศาสตร์ ในปี 1930 เขาได้รับตำแหน่งศาสตราจารย์ และในปีเดียวกันนั้นก็ได้รับแต่งตั้งให้ทำงานที่สถาบันวิศวกรรมเครื่องกลแห่งเลนินกราด (Leningrad Mechanical Engineering Institute) ซึ่งเป็นสถาบันที่เขาทำงานหลักในด้านพีชคณิต ทฤษฎีฟังก์ชันตัวแปรเชิงซ้อน วิธีการโดยประมาณและเชิงตัวเลข และสมการเชิงอนุพันธ์

ลักษณะเด่นที่สุดของแกร์ชกอรินคือแนวทางการแก้ปัญหาที่มีความคิดสร้างสรรค์ ผสมผสานกับพลังและความชัดเจนในการวิเคราะห์ ในบทความปี 1926 เรื่อง “กลไกสำหรับการสร้างฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน” เขาได้อธิบายกลไกเชิงกลที่สามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเชิงซ้อน ทั้งการบวก ลบ คูณ และหาร โดยเสนอว่ากลไกดังกล่าวสามารถประกอบเข้าด้วยกันเป็นกลไกที่ใหญ่ขึ้นสำหรับฟังก์ชันที่ซับซ้อนมากขึ้นได้ เขายังออกแบบอุปกรณ์สำหรับสร้างวงรี ซึ่งแบบจำลองสำเนายังคงจัดแสดงอยู่ที่พิพิธภัณฑ์เยอรมัน (Deutsches Museum) ในเมืองมิวนิกจนถึงปัจจุบัน ในปี 1929 เขาได้ตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับโครงข่ายไฟฟ้าเพื่อหาคำตอบโดยประมาณของสมการอนุพันธ์ของลาปลาซ ซึ่งนำเสนอวิธีการหาคำตอบโดยประมาณของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยผ่านการสร้างแบบจำลองที่อาศัยโครงข่ายของส่วนประกอบไฟฟ้า

ทฤษฎีบทวงกลมที่กลายเป็นเครื่องมือมาตรฐาน

ผลงานที่มีชื่อเสียงที่สุดของแกร์ชกอรินคือ ทฤษฎีบทวงกลมแกร์ชกอริน (Gershgorin circle theorem) ซึ่งเขาตีพิมพ์ในปี 1931 ทฤษฎีบทนี้ให้วิธีการที่เรียบง่ายแต่ทรงพลังในการประมาณตำแหน่งของค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalues) ของเมทริกซ์จัตุรัส โดยไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าลักษณะเฉพาะที่แท้จริงเลย

หลักการของทฤษฎีบทคือ สำหรับเมทริกซ์เชิงซ้อนขนาด n×n ใด ๆ เราสามารถสร้างวงกลมบนระนาบเชิงซ้อนได้ n วง โดยแต่ละวงมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่สมาชิกแนวทแยงมุมของเมทริกซ์ และมีรัศมีเท่ากับผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกอื่น ๆ ทั้งหมดในแถวเดียวกัน ทฤษฎีบทระบุว่าค่าลักษณะเฉพาะทุกตัวของเมทริกซ์จะต้องอยู่ภายในวงกลมเหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งวงเสมอ เครื่องมือนี้กลายเป็นที่นิยมใช้กันอย่างแพร่หลายในพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลข (numerical linear algebra) เพราะให้ขอบเขตของค่าลักษณะเฉพาะได้อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องคำนวณอันซับซ้อน ซึ่งมีประโยชน์อย่างยิ่งในการวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบ การประมาณค่าความคลาดเคลื่อนในการแก้สมการเมทริกซ์ Ax = b และการวิเคราะห์ลูกโซ่มาร์คอฟ (Markov chains)

ทฤษฎีบทวงกลมแกร์ชกอรินยังคงถูกสอนในหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขทั่วโลกมาจนถึงปัจจุบัน และเป็นจุดเริ่มต้นของการพัฒนาทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องอื่น ๆ เช่น ทฤษฎีบทของเบราเออร์ (Brauer’s theorem) ที่ใช้วงรีคาสสินี (Cassini ovals) เพื่อให้ขอบเขตที่แม่นยำยิ่งขึ้น

ชีวิตที่สั้นแต่ทรงคุณค่า

แม้จะมีผลงานที่โดดเด่นในสาขาการประมาณค่าเชิงตัวเลข แกร์ชกอรินกลับเสียชีวิตอย่างกะทันหันเมื่อวันที่ 30 พฤษภาคม ค.ศ. 1933 ที่เมืองเลนินกราด ด้วยวัยเพียง 31 ปี คำไว้อาลัยของเขาระบุว่า งานที่ต้องใช้ความเข้มข้นและความเครียดสูงได้บั่นทอนสุขภาพของเขา จนนำไปสู่การเจ็บป่วยโดยไม่คาดคิด

ชื่อของแกร์ชกอรินปรากฏในหลากหลายรูปแบบการทับศัพท์ ทั้ง Geršgorin, Gerschgorin, Gerszgorin และจากการทับศัพท์ภาษายิดดิชเป็น Hirshhorn หรือ Hirschhorn ซึ่งสะท้อนให้เห็นถึงรากเหง้าทางภาษาแบบยิวแอชเคนาซีของนามสกุลนี้ แม้ชีวิตของเขาจะสั้นเกินไป แต่ทฤษฎีบทวงกลมที่เขาทิ้งไว้ยังคงเป็นเครื่องมือที่ขาดไม่ได้สำหรับนักคณิตศาสตร์ วิศวกร และนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ทั่วโลกในการวิเคราะห์เมทริกซ์มาจนถึงทุกวันนี้ เกือบหนึ่งศตวรรษหลังจากที่เขาค้นพบมัน