ฌัก อาดามาร์: ผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะและนักคณิตศาสตร์ผู้ศึกษาจิตวิทยาแห่งการค้นพบ

นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เป็นที่รู้จักจากผลงานเพียงไม่กี่ชิ้น แต่ ฌัก ซาโลมง อาดามาร์ (Jacques Salomon Hadamard) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส มีผลงานครอบคลุมทฤษฎีจำนวน การวิเคราะห์เชิงซ้อน สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ไปจนถึงจิตวิทยาของการคิดทางคณิตศาสตร์ เขาเสียชีวิตเมื่อวันที่ 17 ตุลาคม ค.ศ. 1963 ที่กรุงปารีส ด้วยวัย 97 ปี ซึ่งในช่วงชีวิตที่ยืนยาวนั้น เขายังคงทำงานทางคณิตศาสตร์ต่อเนื่องจนอายุเกิน 90 ปี

ชีวิตช่วงต้นและการศึกษา

อาดามาร์เกิดเมื่อวันที่ 8 ธันวาคม ค.ศ. 1865 ที่เมืองแวร์ซาย ประเทศฝรั่งเศส เป็นบุตรของอาเมเด อาดามาร์ ครูสอนภาษาละตินที่โรงเรียนลีเซหลุยส์-เลอ-กรองด์ ซึ่งเขาได้เข้าเรียนที่โรงเรียนเดียวกันตั้งแต่ปี ค.ศ. 1876 ครอบครัวมีเชื้อสายยิว เขาสำเร็จการศึกษาจากเอกอลนอร์มาลซูว์ปีรีเยอร์ในปี ค.ศ. 1888 และได้รับปริญญาเอกในปี ค.ศ. 1892

หลังจากสอนหนังสือที่มหาวิทยาลัยบอร์โดซ์ระหว่างปี ค.ศ. 1894-1897 เขาย้ายไปปารีส ดำรงตำแหน่งที่ซอร์บอนน์ และเป็นศาสตราจารย์ที่โกเลฌ เดอ ฟร็องซ์ (Collège de France) ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1897 จนถึงปี ค.ศ. 1935 พร้อมกับสอนที่เอกอลโปลีเทคนิกและเอกอลซองทราลในช่วงเวลาหนึ่ง ในปี ค.ศ. 1912 เขาได้รับเลือกเข้าราชบัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์ ในตำแหน่งที่ว่างลงหลังการเสียชีวิตของอ็องรี ปวงกาเร

ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ ปี ค.ศ. 1896

ผลงานที่มักถูกยกขึ้นมาก่อนเสมอคือการพิสูจน์ ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ (Prime Number Theorem) ในปี ค.ศ. 1896 ทฤษฎีบทนี้ระบุว่าจำนวนเฉพาะที่ไม่เกิน n จะมีค่าประมาณ n หารด้วยลอการิทึมธรรมชาติของ n เมื่อ n มีค่ามาก คำกล่าวนี้เป็นการตอบคำถามที่คนสงสัยมานานว่าจำนวนเฉพาะกระจายตัวอย่างไรเมื่อเข้าไปไกลๆ บนเส้นจำนวน

อาดามาร์ได้ข้อพิสูจน์นี้พร้อมกับชาร์ล-ฌอง เดอ ลา วาลเล ปุสแซ็ง (Charles-Jean de la Vallée Poussin) นักคณิตศาสตร์ชาวเบลเยียม โดยที่ทั้งสองคนทำงานอย่างอิสระต่อกัน และใช้ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ (Riemann zeta function) เป็นเครื่องมือหลัก จุดสำคัญของการพิสูจน์คือการแสดงว่าฟังก์ชันซีตาไม่มีศูนย์บนเส้นตรงที่ส่วนจริงเท่ากับ 1 ในปี ค.ศ. 1944 จี. เอช. ฮาร์ดี (G. H. Hardy) เรียกอาดามาร์ว่า “ตำนานที่ยังมีชีวิต” ของวงการคณิตศาสตร์ ซึ่งส่วนหนึ่งก็เพราะผลงานชิ้นนี้

แนวคิดและทฤษฎีบทที่ใช้ชื่อเขา

งานของอาดามาร์ครอบคลุมกว้างขวาง ในการวิเคราะห์เชิงซ้อน เขามีทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบของอาดามาร์ (Hadamard factorization theorem), ทฤษฎีบทช่องว่าง (gap theorem) และทฤษฎีบทสามวงกลม (three-circle theorem) ซึ่งส่วนใหญ่ตีพิมพ์ก่อนปี ค.ศ. 1900

อสมการของอาดามาร์ (Hadamard’s inequality) ให้ขอบเขตบนของค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ในรูปของความยาวของแถวเมทริกซ์ และมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีสมการปริพันธ์ของเฟรดโฮล์ม (Fredholm)

เมทริกซ์อาดามาร์ (Hadamard matrix) เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเป็น +1 หรือ -1 และมีแถวตั้งฉากกันทั้งหมด แนวคิดนี้ถูกนำไปใช้ในทฤษฎีรหัสแก้ไขข้อผิดพลาด (error-correcting codes) การออกแบบการทดลอง และการประมวลผลสัญญาณ ส่วนข้อความคาดการณ์ที่ว่าเมทริกซ์ชนิดนี้มีอยู่เมื่อขนาดเป็นพหุคูณของ 4 ทุกกรณีก็ยังเป็นปัญหาเปิดจนถึงปัจจุบัน และชื่อของเขายังปรากฏในวงการคอมพิวเตอร์ควอนตัมผ่านเกตอาดามาร์ (Hadamard gate)

ในด้านสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย อาดามาร์เสนอแนวคิดเรื่อง “ปัญหาที่วางตัวดี” (well-posed problem) ซึ่งหมายถึงปัญหาที่มีคำตอบ คำตอบนั้นเป็นหนึ่งเดียว และเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องตามข้อมูลตั้งต้น เกณฑ์นี้ยังเป็นมาตรฐานในการพิจารณาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ นอกจากนี้ มีรายงานว่าเขาเป็นผู้ตั้งชื่อสาขา “การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน” (functional analysis) และงานของเขาเรื่องเส้นจีออเดสิกบนพื้นผิวที่มีความโค้งเป็นลบก็นับเป็นต้นธารของพลศาสตร์เชิงสัญลักษณ์ (symbolic dynamics) ที่นำไปสู่ทฤษฎีความอลวนในเวลาต่อมา

จิตวิทยาของการประดิษฐ์ในสาขาคณิตศาสตร์

นอกจากงานเชิงเทคนิค อาดามาร์ยังเขียนหนังสือ “The Psychology of Invention in the Mathematical Field” (ค.ศ. 1945) ซึ่งใช้การสำรวจตนเอง (introspection) และคำตอบจากนักคณิตศาสตร์คนอื่น เพื่อพิจารณาว่าความคิดทางคณิตศาสตร์เกิดขึ้นได้อย่างไร

เขาอภิปรายถึงบทบาทของการ “ฟักตัว” (incubation) ของปัญหาในใจ ซึ่งความคิดสำคัญอาจโผล่ขึ้นมาหลังจากหยุดคิดเรื่องนั้นไปชั่วคราว โดยยกตัวอย่างประสบการณ์ที่ปวงกาเรเล่าไว้ และหนังสือยังมีภาคผนวกที่รวมคำตอบของอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ซึ่งบรรยายว่าความคิดของตนเองเกิดจากภาพที่ค่อนข้างชัดเจนมากกว่าจากถ้อยคำ หนังสือเล่มนี้ยังถูกอ้างถึงในงานเกี่ยวกับความคิดสร้างสรรค์และการศึกษาคณิตศาสตร์

ครูและบั้นปลายชีวิต

ลูกศิษย์ของอาดามาร์ประกอบด้วยมอริส เฟรเชต์ (Maurice Fréchet), ปอล เลวี (Paul Lévy), โซเลม มานเดลบรอยต์ (Szolem Mandelbrojt) และอ็องเดร ไวล์ (André Weil) ซึ่งล้วนเป็นนักคณิตศาสตร์ระดับแนวหน้าของฝรั่งเศสและของโลก ส่วนสัมมนาอาดามาร์ (Séminaire Hadamard) ที่เขาจัดที่ปารีสก็เป็นศูนย์กลางของความเคลื่อนไหวทางคณิตศาสตร์ในยุคนั้น

ชีวิตส่วนตัวของเขาเต็มไปด้วยความสูญเสีย บุตรชายสองคนแรกซึ่งเป็นนายทหารเสียชีวิตในสงครามโลกครั้งที่หนึ่ง และบุตรชายคนที่สามเสียชีวิตในสงครามโลกครั้งที่สอง ซึ่งในช่วงนั้นอาดามาร์เองก็ต้องลี้ภัยออกจากปารีสเพราะเชื้อสายยิว หลังสงครามเขากลับมาใช้ชีวิตในฝรั่งเศสและได้รับเหรียญทองของศูนย์วิจัยวิทยาศาสตร์แห่งชาติ (CNRS) ในปี ค.ศ. 1956 สำหรับผลงานตลอดชีวิต

อาดามาร์เสียชีวิตเมื่อวันที่ 17 ตุลาคม ค.ศ. 1963 ที่ปารีส ผลงานของเขาปรากฏอยู่ทั่วไปในตำราคณิตศาสตร์ ตั้งแต่ทฤษฎีจำนวน ไปจนถึงวิศวกรรมและวิทยาการคอมพิวเตอร์ ส่วนหนังสือเรื่องจิตวิทยาของการประดิษฐ์ก็ยังคงถูกอ่านโดยผู้ที่สนใจว่าความคิดทางคณิตศาสตร์เกิดขึ้นอย่างไร