รูปสามเหลี่ยมปาสกาล
รูปสามเหลี่ยมที่ซ่อนความลับทางคณิตศาสตร์ไว้นับไม่ถ้วน ตั้งแต่สัมประสิทธิ์ทวินาม ลำดับฟีโบนัชชี ไปจนถึงรูปแบบเรขาคณิตจากธรรมชาติ
รูปสามเหลี่ยมปาสกาลคืออะไร?
รูปสามเหลี่ยมปาสกาล (Pascal’s Triangle) คือการจัดเรียงตัวเลขในรูปสามเหลี่ยม โดยแถวบนสุดมีตัวเลข 1 เพียงตัวเดียว จากนั้นแต่ละแถวถัดลงมาจะได้จากการบวกตัวเลขสองตัวที่อยู่เหนือขึ้นไปในแนวทแยง ส่วนตัวเลขด้านนอกสุดทุกตำแหน่งเป็น 1 เสมอ
แม้จะตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Blaise Pascal (ค.ศ. 1623–1662) แต่รูปแบบนี้ถูกค้นพบและศึกษามาก่อนหน้านั้นนานหลายศตวรรษ ทั้งในจีน อินเดีย เปอร์เซีย และอาหรับ นักคณิตศาสตร์ชาวจีน ยาง ฮุย บันทึกสามเหลี่ยมนี้ไว้ตั้งแต่ราวปี ค.ศ. 1261
วิธีสร้างรูปสามเหลี่ยมปาสกาล
กฎการสร้างมีเพียงข้อเดียวที่ต้องจดจำ:
นั่นคือ ตัวเลขแต่ละตัว ในแถวที่ n ตำแหน่งที่ k เท่ากับ ผลบวกของตัวเลขสองตัว ที่อยู่เหนือขึ้นไปทั้งซ้ายและขวา ส่วนขอบสุดทั้งสองด้านของทุกแถวกำหนดให้เป็น 1 เสมอ
ตัวเลขในสามเหลี่ยมปาสกาลนี้คือ สัมประสิทธิ์ทวินาม (Binomial Coefficients) ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ C(n,k) หรือ nCk หมายถึงจำนวนวิธีเลือก k สิ่งจาก n สิ่ง
สมบัติที่น่าสนใจ
รูปสามเหลี่ยมปาสกาลซ่อนรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่งไว้มากมาย เลือกเพื่อสำรวจ:
การประยุกต์ใช้ในทวินามนิยาม
สัมประสิทธิ์ในการกระจาย (a + b)ⁿ คือตัวเลขในแถวที่ n ของสามเหลี่ยมปาสกาล:
(a + b)¹ = a + b
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
สังเกตว่าสัมประสิทธิ์ 1 2 1 / 1 3 3 1 / 1 4 6 4 1 ตรงกับแถวที่ 2, 3, 4 ของสามเหลี่ยมปาสกาลพอดี นี่คือเหตุผลที่รูปสามเหลี่ยมปาสกาลสำคัญมากในพีชคณิตชั้นสูงและทฤษฎีความน่าจะเป็น
รูปสามเหลี่ยมซีเออร์ปินสกี้
ถ้าเราแรเงาเฉพาะตำแหน่งที่ตัวเลขเป็น เลขคี่ ในรูปสามเหลี่ยมปาสกาล จะปรากฏรูปทรงที่เรียกว่า สามเหลี่ยมซีเออร์ปินสกี้ (Sierpiński Triangle) ซึ่งเป็นตัวอย่างของ เศษส่วน (Fractal) รูปทรงที่ดูซ้ำตัวเองเมื่อซูมเข้าไป ความเชื่อม
โยงนี้แสดงให้เห็นว่าสามเหลี่ยมปาสกาลโยงกับทั้งทฤษฎีจำนวน เรขาคณิต และวิทยาศาสตร์ของความซับซ้อน