โรเจอร์ โคตส์: อัจฉริยะที่นิวตันเสียดายที่สุด กับสูตรที่มาก่อนออยเลอร์
คำพูดของนิวตันที่ยังก้องอยู่สามศตวรรษ
เมื่อโรเจอร์ โคตส์ (Roger Cotes) เสียชีวิตด้วยไข้รุนแรงในปี ค.ศ. 1716 ขณะอายุเพียง 33 ปี ไอแซก นิวตัน เพื่อนร่วมงานและอาจารย์ผู้ใกล้ชิด ได้กล่าวประโยคที่ถูกจดจำมาจนถึงทุกวันนี้ว่า หากโคตส์มีชีวิตอยู่ต่อไป โลกคงจะได้รู้อะไรอีกมากมาย คำพูดนี้สะท้อนว่านิวตัน ผู้ไม่ค่อยยกย่องใครง่าย ๆ เห็นคุณค่าในตัวชายหนุ่มคนนี้มากเพียงใด
โรเจอร์ โคตส์ เกิดวันที่ 10 กรกฎาคม ค.ศ. 1682 (พ.ศ. 2225) ที่เมืองเบอร์บาจ (Burbage) ประเทศอังกฤษ แม้อายุสั้น แต่ผลงานของเขากลับกลายเป็นเสาหลักของคณิตศาสตร์ประยุกต์และการวิเคราะห์เชิงตัวเลขที่นักศึกษาทั่วโลกยังคงเรียนอยู่จนถึงปัจจุบัน
สูตร Newton-Cotes: เมื่อพื้นที่ใต้เส้นโค้งกลายเป็นเรื่องคำนวณได้
ปัญหาพื้นฐานที่สุดข้อหนึ่งในคณิตศาสตร์ประยุกต์คือ การหาค่าปริพันธ์ (integral)
$$ I = \int_a^b f(x), dx $$
เมื่อฟังก์ชัน $f(x)$ ซับซ้อนเกินกว่าจะหาปฏิยานุพันธ์ (antiderivative) ได้ในรูปปิด แนวคิดของโคตส์คือ แบ่งช่วง $[a,b]$ ออกเป็นจุดที่ห่างเท่า ๆ กัน แล้วประมาณค่าฟังก์ชันด้วยพหุนามที่ลากผ่านจุดเหล่านั้น จากนั้นอินทิเกรตพหุนามแทน ซึ่งทำได้ง่ายกว่ามาก
ตระกูลสูตรที่ได้เรียกว่า สูตร Newton-Cotes โดยกรณีที่ใช้จุดข้อมูล 2 จุด (พหุนามดีกรี 1) จะได้ กฎสี่เหลี่ยมคางหมู (Trapezoidal Rule)
$$ \int_a^b f(x),dx \approx \frac{b-a}{2}\left[f(a) + f(b)\right] $$
และเมื่อใช้จุดข้อมูล 3 จุด (พหุนามดีกรี 2) จะได้ กฎซิมป์สัน (Simpson’s Rule)
$$ \int_a^b f(x),dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f!\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)\right] $$
โคตส์เป็นผู้พัฒนากรอบทฤษฎีทั่วไปที่ครอบคลุมสูตรเหล่านี้ทั้งหมดในงานชื่อ Harmonia Mensurarum ซึ่งตีพิมพ์หลังเขาเสียชีวิตในปี 1722 โดยโรเบิร์ต สมิธ ลูกศิษย์ของเขา งานชิ้นนี้ให้สัมประสิทธิ์ (weights) สำหรับการอินทิเกรตเชิงตัวเลขด้วยจำนวนจุดต่าง ๆ ซึ่งเป็นรากฐานของวิธีเชิงตัวเลขที่ใช้กันในคอมพิวเตอร์ยุคปัจจุบัน
ก่อนออยเลอร์ 20 ปี: สูตรลอการิทึมเชิงซ้อน
ผลงานที่คนไม่ค่อยรู้จักแต่น่าทึ่งไม่แพ้กันคือ ในปี ค.ศ. 1714 โคตส์เขียนความสัมพันธ์
$$ i\varphi = \ln\left(\cos\varphi + i\sin\varphi\right) $$
ซึ่งเมื่อจัดรูปใหม่ก็คือรูปลอการิทึมของสิ่งที่ต่อมารู้จักกันในชื่อ สูตรของออยเลอร์ ($e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$) ที่ตีพิมพ์โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ในปี 1748 กว่า 30 ปีให้หลัง แม้โคตส์จะไม่ได้อยู่ในรูปเลขชี้กำลังแบบที่เราคุ้นเคย แต่ในทางคณิตศาสตร์ถือว่าเป็นความสัมพันธ์เดียวกัน ทำให้นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์บางส่วนถกเถียงกันว่าสูตรนี้ควรถูกเรียกว่า “สูตรของโคตส์” มากกว่าหรือไม่
ชีวิตสั้นแต่เข้มข้นที่เคมบริดจ์
โคตส์เข้าศึกษาที่วิทยาลัยทรินิตี มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ และได้รับแต่งตั้งเป็นศาสตราจารย์ดาราศาสตร์และปรัชญาธรรมชาติคนแรกในตำแหน่ง Plumian Professor เมื่ออายุเพียง 24 ปี ซึ่งเป็นตำแหน่งที่นิวตันเป็นผู้เสนอชื่อ เขาทำงานใกล้ชิดกับนิวตันในการเตรียมพิมพ์ Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง (1713) โดยตรวจสอบความถูกต้องทางคณิตศาสตร์ เพิ่มเชิงอรรถ และเขียนคำนำที่ปกป้องแนวคิดของนิวตันจากข้อโต้แย้งของสำนักคาร์ทีเซียน (Cartesian) อย่างเผ็ดร้อน
นอกจากงานคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ โคตส์ยังมีผลงานด้านการวัดค่าความคลาดเคลื่อนจากการทดลอง (theory of errors) ซึ่งถือเป็นจุดเริ่มต้นของแนวคิดที่ต่อมาพัฒนาเป็นวิธีกำลังสองน้อยที่สุด (least squares method)
มรดกที่ยังมีชีวิตอยู่ในห้องเรียนวันนี้
สูตร Newton-Cotes ยังเป็นหัวใจของวิชาระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (Numerical Methods) ที่สอนกันในมหาวิทยาลัยทั่วโลก ทั้งกฎสี่เหลี่ยมคางหมูและกฎซิมป์สันถูกนำไปใช้ในซอฟต์แวร์คำนวณทางวิศวกรรม ฟิสิกส์ และวิทยาศาสตร์ข้อมูล เมื่อไม่สามารถหาปริพันธ์ในรูปปิดได้ แนวคิดพื้นฐานเดียวกันนี้ยังต่อยอดไปสู่วิธีการอินทิเกรตเชิงตัวเลขขั้นสูง เช่น Gaussian Quadrature ที่เลือกตำแหน่งจุดอย่างเหมาะสมแทนที่จะใช้จุดห่างเท่ากัน
กิจกรรมสำหรับผู้เรียน
- คำนวณด้วยมือ: ประมาณค่า $\displaystyle\int_0^1 e^{x^2},dx$ ด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมูและกฎซิมป์สัน แล้วเปรียบเทียบความคลาดเคลื่อนกับค่าจริงที่ได้จากการอินทิเกรตเชิงตัวเลขที่แม่นยำ
- โจทย์อนุพันธ์ของสูตร: ลองอนุพันธ์สูตรซิมป์สันเองโดยลากพหุนามดีกรี 2 ผ่านสามจุด $(a,f(a))$, $\left(\frac{a+b}{2}, f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right)$, $(b,f(b))$ แล้วอินทิเกรตพหุนามนั้น
- เขียนโปรแกรม: เขียนฟังก์ชัน Python ที่รับฟังก์ชัน $f$, ช่วง $[a,b]$ และจำนวนช่วงย่อย $n$ แล้วคืนค่าประมาณอินทิเกรตด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมูแบบผสม (composite trapezoidal rule)
- อภิปราย: เชื่อมโยงสูตรลอการิทึมของโคตส์ ($i\varphi = \ln(\cos\varphi + i\sin\varphi)$) เข้ากับสูตรออยเลอร์ในรูปเลขชี้กำลังที่คุ้นเคยกันดี พิสูจน์ว่าทั้งสองสมการเทียบเท่ากันทางพีชคณิต
เอกสารอ้างอิง
- Cotes, R. (1722). Harmonia Mensurarum. (ตีพิมพ์หลังเสียชีวิต โดย Robert Smith). Cambridge.
- Cotes, R. (1714). “Logometria.” Philosophical Transactions of the Royal Society.
- Newton, I. (1713). Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, 2nd edition (บรรณาธิการโดย Roger Cotes).
- Gowing, R. (1983). Roger Cotes — Natural Philosopher. Cambridge: Cambridge University Press.
- Burden, R. L., & Faires, J. D. (2010). Numerical Analysis (9th ed.). Boston: Brooks/Cole.
